4функция, ее свойства и график_Свойства функции_Презентация_2

График функции её свойства.

10.4.1.4 уметь описывать по заданному графику функции её свойства:
1) область определения функции;
2) область значений функции;
3) нули функции;
4) периодичность функции;
5) промежутки монотонности функции;
6) промежутки знакопостоянства функции;
7) наибольшее и наименьшее значения функции;
8) четность, нечетность функции;
9) ограниченность функции;
10) непрерывность функции;
11) экстремумы функции.

Критерии оценивания:
1) По графику фукции верно находит наибольшее и наименьшее значения функции;
2) По графику функции определяет четная функция или нечетная функции;
3) По графику функции определяет ограниченность функции;
4) По графику функции определяет непрерывна ли функция на интервале;
5) По графику функции определяет экстремумы функции.

Функцию y=f(x) называют ограниченной снизу на множестве X⊂D(f), если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа, то есть если существует число m такое, что для любого значения хϵХ выполняется неравенство f(x)>m.

Функцию y=f(x) называют ограниченной свер-ху на множестве X⊂D(f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа, то есть если существует число М такое, что для любого значения хϵХ выполняется неравенство f(x)<М.

Если множество Х не указано, то подра-зумевается, что речь идет об ограниченности функции сверху или снизу на всей области ее определения.
Если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то ее называют ограниченной.

Ограниченность функции легко читается по графику:

Пример

Исследовать на ограниченность функцию:
y= 16− 𝑥 2 16− 𝑥 2 16− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 16− 𝑥 2
Решение:
По определению арифметического квадратного корня:
16− 𝑥 2 16− 𝑥 2 16− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 16− 𝑥 2 ≥0
Это значит, что функция ограничена снизу.

С другой стороны 16- 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 ≤16, а поэтому
16− 𝑥 2 16− 𝑥 2 16− 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 16− 𝑥 2 ≤4
Это означает, что функция ограничена сверху.
Итак, функция ограничена и сверху и снизу; или другими словами: ограниченная функция.

𝑎𝑎>𝑏𝑏
𝑎 > 𝑏

Число m называют наименьшим значением функции f(x) на множестве X⊂D(f), если:
существует точка х0ϵХ такая, что f(x0)=m;
для любого значения хϵХ выполняется неравенство f(x)≥f(x0)
Наименьшее значение функции обозначают символом yнаим

Число М называют наибольшим значением функции f(x) на множестве X⊂D(f), если:
существует точка х0ϵХ такая, что f(x0)=М;
для любого значения хϵХ выполняется неравенство f(x)≤f(x0)
Наибольшее значение функции обозначают символом yнаиб

Если множество Х не указано, то подразумевается, что речь идет об поиске наименьшего или наибольшего значения функции на всей области ее определения.

Утверждения:

1) Если у функции существует yнаим, то она ограничена снизу.
2) Если у функции существует yнаиб, то она ограничена сверху.
3) Если функция не ограничена снизу, то у нее не существует унаим .
4) Если функция не ограничена сверху, то у нее не существует унаиб .

Если график функции f(x) на промежутке Х не имеет точек разрыва (то есть представляет собой сплошную линию), то это значит, что функция f(x) непрерывна на промежутке Х.

Функцию f(x), xϵX называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство:
f(-x)=f(x)
Функцию f(x), xϵX называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство:
f(-x)=-f(x)

В определениях идет речь о значениях функции в точках -х и х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х и в точке -х. Это значит, что точки х и -х одновременно принадлежат области определения функции. Если числовое множество Х вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то такое множество называют симметричным множеством.
Например: отрезок [-5, 5] ̶ симметричное множество, а отрезок [-4, 5] ̶ не симметричное множество (в него входит число 5, но не входит противоположное ему -5)

Если функция у=f(x), хϵХ четная или нечетная, то ее область определения Х – симметричное множество.

Если же Х – несимметричное множество, то функция у=f(x), хϵХ не может быть ни четной ни нечетной.

Алгоритм исследования функции y=f(x), хϵХ на четность.

Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то перейти ко второму шагу алгоритма.
Составить выражение f(-x).
Сравнить f(-x) и f(x):
а) если f(-x)=f(x), то функция четная;
б) если f(-x)=-f(x), то функция нечетная;
в) если хотя бы в одной точке хϵХ выполняется соотношение f(-x)≠f(x) и хотя бы в одной точке хϵХ выполняется соотношениеf(-x)≠-f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример

Исследовать на четность функцию: y= 𝑥 4 𝑥𝑥 𝑥 4 4 𝑥 4 + 2 𝑥 6 2 2 𝑥 6 𝑥 6 𝑥𝑥 𝑥 6 6 𝑥 6 2 𝑥 6
Решение:
D(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞) – симметричное множество

Для любого значения х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=f(x).
Таким образом, y= 𝑥 4 𝑥𝑥 𝑥 4 4 𝑥 4 + 2 𝑥 6 2 2 𝑥 6 𝑥 6 𝑥𝑥 𝑥 6 6 𝑥 6 2 𝑥 6 - четная функция

Пример

Исследовать на четность функцию: y= 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 − 3 𝑥 5 3 3 𝑥 5 𝑥 5 𝑥𝑥 𝑥 5 5 𝑥 5 3 𝑥 5
Решение:
D(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞) – симметричное множество

Для любого значения х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x).
Таким образом, y= 𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥 3 3 𝑥 3 − 3 𝑥 5 3 3 𝑥 5 𝑥 5 𝑥𝑥 𝑥 5 5 𝑥 5 3 𝑥 5 − нечетная функция

Пример

Исследовать на четность функцию: y= 𝑥−4 𝑥 2 −9 𝑥𝑥−4 𝑥−4 𝑥 2 −9 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 −9 𝑥−4 𝑥 2 −9 .
Решение:
D(f)=(-∞; -3)∪(-3; 3) ∪ (3; +∞) – симметричное множество.

Сравнив f(-x) и f(x), замечаем, что, скорее всего, не выполняются ни тождество f(-x)=f(x), ни тождество f(-x)=-f(x). Например, x=4, f(4)=0, f(-4)=- 8 7 8 8 7 7 8 7 , то есть f(-x)≠f(x), f(-x)≠-f(x).
Таким образом, функция не является ни четной ни нечетной.

График четной функции симметричен относительно оси у.





Если график функции y=f(x), хϵХ симметричен относительно оси ординат, то y=f(x), хϵХ – четная функция.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.







Если график функции y=f(x), хϵХ симметричен относительно начала координат, то y=f(x), хϵХ - нечетная функция

Прочитать функцию:

Найти область определения функции D(f)
Найти область значения функции E(f)
Исследовать функцию на монотонность
Исследовать функцию на периодичность
Найти интервалы знакопостоянства и нули функции
Исследовать функцию на ограниченность
Найти наибольшее и наименьшее значение функции, если это возможно
Исследовать функцию на четность