5 Нелинейные уравнения с двумя переменными и их системы_КСП_урок_2

Раздел долгосрочного плана: Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы

Школа:

Дата:

ФИО учителя:

Класс: 9

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Нелинейные  уравнения с двумя переменными и их системы

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

9.2.2.2 решать системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Цели урока

Рассмотреть    графический метод и способ алгебраического  сложения  для решения системы нелинейных уравнений с двумя переменными

Критерии оценивания

Учащийся  достиг  цели, если:

- правильно выбирает метод решения  системы;

- правильно использует метод   решения системы;

- получает верный  результат

Языковые цели

Учащиеся  будут:

обосновывать  выбор  метода и комментировать  процесс  решения  системы  уравнений.

Лексика и терминология, специфичная для предмета:

уравнение  второй степени - second degree equation;

нелинейное уравнение - nonlinear equation;

система уравнений - system of equations;

решить систему уравнений – to solve a system of equations;

график уравнения -  equation graph.

Полезные выражения для диалогов и письма:

Решим систему уравнений способом…; выразим одну переменную через другую…; подставим полученное  выражение…; умножим обе части уравнения…; сложим почленно…; найдем соответствующее значение второй переменной….

Привитие ценностей

Привитие таких ценностей  как уважение, честность  осуществляется через соблюдение правил групповой и парной работы, оценивание и взаимооценивание.   Сотрудничество,  толерантность – через работу в группах; трудолюбие и творчество  - через решение задач, применение знаний.  Обучение на протяжении всей жизни – через решение прикладных задач. Трёхъязычие  – через использование и решение задач англоязычных ресурсов.

Межпредметные связи

География (сейсмология): рассматривается задача  о  сейсмографе.

Предварительные знания

Решение систем линейных уравнений. Решение квадратных уравнений.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

3 мин

1.    Орг.момент. Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку.

2.    Постановка темы и целей урока.

3.    Девиз урока:

Середина урока

5 мин

10 мин

12 мин

7 мин

1. Актуализация знаний

Вопросы на повторение:

1)      Как записывается линейное уравнение с двумя переменными в общем виде?

(ax+by+c=0)

2)      Что такое график уравнения с двумя переменными?

(изображение точками на координатной плоскости всех решений  уравнения с двумя переменными)

3)      Какая линия является графиком уравнения  ?

(окружность радиуса  с центром )

4)      Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

(Пара значений переменных (x, y), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство) 

5)      Что значит решить систему уравнений,

(Значит, найти множество ее решений, причем оно может быть пустым)

6)      Назовите основные методы решения систем линейных уравнений.

(Графический метод, метод сложения, метод подстановки)

7)      Ответьте ДА или НЕТ. Является ли уравнение линейным? (задание на демонстрацию знаний по цели 9.2.2.1 из предыдущего урока):

Дескрипторы для оценивания: различает линейные и нелинейные уравнения с двумя переменными

2. Постановка  проблемы. Задача о сейсмографе.

Сейсмолог определяет местоположение и интенсивность землетрясения, используя инструмент, который измеряет энергетические волны, образованные в результате движений в земной коре.

Сейсмограф измеряет интенсивность землетрясения. Хотя сейсмограф определяет расстояние до эпицентра землетрясения, он не может определить, в каком направлении расположен эпицентр. Используйте следующую информацию, полученную  из трех сейсмографов, чтобы найти эпицентр землетрясения:

сейсмограф № 1: 500 миль от эпицентра;

сейсмограф №  2: 100 миль на запад и 400 миль к югу от сейсмографа №  1, 400 миль от эпицентра;

сейсмограф №  3: 300 миль на восток и 600 миль к югу от сейсмографа № 1, 200 миль от эпицентра.

Вопросы:

1)        Если нам неизвестно в каком направлении расположен эпицентр, но задано его расстояние до одного сейсмографа, то где предполагается расположение эпицентра?

(в круге с центром, где расположен сейсмограф, радиусом равным заданному расстоянию)

2)        Как запишутся  уравнения таких окружностей для каждого из сейсмографов, если принять точку расположения первого сейсмографа за начало координат, а каждые 100 миль за единицу?

(сейсмограф № 1:

сейсмограф № 2:

сейсмограф № 3: )

3)      Как найти  координаты эпицентра землетрясения?

(нужно решить систему, составленную из уравнений этих окружностей)

Таким образом, мы составили математическую модель данной  задачи, которая  представляет собой систему трех уравнений второй  степени с двумя  переменными:

 Теперь  требуется решить систему уравнений и затем ответить на вопрос задачи.

3. Объяснение нового материала

(фронтальная работа с классом)

Система уравнений, в которой хотя бы одно из уравнений не является линейным, называется системой нелинейных уравнений.

     Для решения системы нелинейных уравнений применяют несколько способов, и основными из них являются:

- графический,

- алгебраического сложения,

- подстановки,

- введения новой переменной.

Помимо перечисленных есть способ разложения на множители, метод решения однородных и симметрических систем уравнений и другие. Иногда необходимо применение комбинации нескольких методов.

3.1. Графический способ решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными  заключается в  построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.

Алгоритм решения:

1)   постройте графики уравнений системы в одной прямоугольной системе координат;

2)   определите координаты точек пересечения графиков уравнений;

3)   запишите ответ в виде пар числовых значений переменных.

Пример. Решим систему уравнений в задаче о сейсмографе графическим  способом.

Решение:  графиками уравнений являются  окружности, а решением системы – точка их  пересечения. Построим их на координатной плоскости. Точке 1 соответствует центр первой окружности (0;0) радиуса 5, точке 2 – центр второй окружности (-1;-4) радиуса  4  и точке 3 – центр третьей окружности (3;-6) радиуса 2.   Все три окружности пересекаются в  точке   Это и будет решением системы.

Значит, эпицентр землетрясения имеет координаты  относительно расположения первого сейсмографа.

Ответ:  эпицентр землетрясения расположен в 300 милях восточнее и 400 милях южнее места расположения сейсмографа № 1.

Замечание: графический способ не всегда позволяет находить точные решения системы, а  лишь приближенные.

3.2. Для решения системы способом алгебраического сложения обычно используют следующий алгоритм:

1) умножьте левые и правые части уравнений системы на некоторые числа, подбирая их так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложите почленно левые и правые части уравнений системы;

3) решите получившееся при сложении уравнение с одной переменной;

4) найдите  соответствующие значения второй переменной;

5) запишите ответ в виде пар числовых значений переменных.

Замечание: иногда требуется неоднократное применение способа сложения.

Пример. Решим систему в задаче о сейсмографе методом алгебраического сложения.

Решение.  Раскроем  скобки во втором и третьем уравнениях системы и получим систему:

Умножим обе части первого уравнения на -1. Теперь почленно сложим левые и правые части   сначала первого  и второго уравнений:

или  ,

затем первого и третьего:

или 

Результаты сложений образуют равносильную систему линейных уравнений:

Применим еще раз  способ сложения. В результате получим уравнение с одной переменной, из которого найдем:

Найдем соответствующее  значение другой переменной: х=3.

4. Закрепление изученного материала

Индивидуальная  работа.

Учащимся  предлагаются уровневые  задания по карточкам: уровень А – базовый, В – средний, С – высокий.

Дескрипторы к заданию 1:

1) строит график первого уравнения системы;

2) строит график второго уравнения системы;

3) определяет на координатной плоскости координаты  точек пересечения  графиков, если они есть;

4) записывает ответ в виде пар значений.

Дескрипторы к заданию 2:

1) подбирает множитель для обеих частей уравнения так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами, если это необходимо, и умножает обе части уравнения на это число;

2) складывает почленно правые и левые части уравнений;

3) решает полученное уравнение с одной переменной;

4) находит значение второй переменной;

5) записывает ответ в виде пар значений.

https://schoolfiles.net/1985049

http://www.classzone.com/eservices/home/pdf/teacher/LA210GAD.pdf

Шыныбеков А.Н. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательной школы. – Алматы: Атамұра, 2011.- 288 с. (Глава 1, § 2, п.2.2, стр. 18-20)

Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – М.: Мнемозина, 2013. – 447 с., Гл.3, § 8, пп. 19-21, стр. 130-140

Приложение 2.1

Александрова Л.А. Алгебра. 9 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2010. - 88 с

Конец урока

3 мин

Домашнее задание: Приложение 2.2

Рефлексия:

Приложение 2.2

Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И.Е. Феоктистов. – М.: Мнемозина, 2013. – 447 с.

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Дифференциация выражена в подборе разноуровневых заданий

1) самооценивание  по образцу ответов при выполнении задания на актуализацию знаний;

2) индивидуальная  работа оценивается самим учеником по образцу ответов и учителем для выяснения причин допущенных ошибок и проверки алгоритма решения

Соблюдение  гигиенических требований (свежий воздух, хорошая освещенность, чистота, осанка, расположение парт); благоприятный эмоциональный настрой, соблюдение правил Техники безопасности.