8 класс, геометрия

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ПО ГЕОМЕТРИ (8 класс)  Номер параграфа Название темы Глава V. Четырехугольники Кол­во часов 14 ч § 1 § 2 § 3 § 1 § 2 § 3 § 1 § 2 § 3 § 4 § 1 § 2 § 3 § 4 Многоугольники Параллелограмм и трапеция Прямоугольник. Ромб. Квадрат Решение задач Контрольная работа № 1 Глава VI. Площадь Площадь многоугольника Площади параллелограмма, треугольника и трапеции Теорема Пифагора Решение задач Контрольная работа № 2 Глава VII. Подобные треугольники Определение подобных треугольников Признаки подобия треугольников Контрольная работа № 3 Применение подобия к доказательству теорем и решению задач Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Контрольная работа № 4 Глава VIII. Окружность Касательная к окружности Центральные и вписанные углы Четыре замечательные точки треугольника Вписанная и описанная окружности Решение задач Контрольная работа № 5  Повторение. Решение задач Всего 2 6 4 1 1 14 ч 2 6 3 2 1 19 ч 2 5 1 7 3 1 17 ч 3 4 3 4 2 1 4 ч 68 ч У р о к   1 МНОГОУГОЛЬНИКИ Ц е л и :   ­ ввести   понятия   многоугольника   и   выпуклого   многоугольника и рассмотреть четырехугольник как частный вид многоугольника; научить объяснять, какая фигура называется многоугольником, и называть его элементы; повторить в ходе решения задач признаки равенства треугольников; ­   содействовать   развитию   умения   выделять   главное,   анализировать,   сравнивать, классифицировать, обобщать познавательные объекты;  ­   содействовать   воспитанию   требовательности   к   себе,   аккуратности, добросовестности. Х о д   у р о к а I. Объяснение нового материала. 1.  Н а п о м н и т ь   учащимся   определение   треугольника.   Вспомнить   элементы треугольника (сторона, вершина, угол). 2. Что общего у этих геометрических фигур? 3. В в о д и т с я   п о н я т и е   многоугольника. 4. Р а с с м а т р и в а ю т с я   элементы многоугольника (вершины, стороны, диагонали, углы). 5. О т м е ч а е т с я , что каждый многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. 6. Д а е т с я   п о н я т и е   выпуклого многоугольника. II. Закрепление изученного материала. 1. О т в е т и т ь   на вопросы (устно): а) б) в) г) е) д) Какие фигуры, изображенные на доске, являются многоугольниками? Учитель после обсуждения убирает те рисунки, на которых изображены фигуры, не являющиеся многоугольниками. Какие многоугольники являются выпуклыми? 2. З а д а н и е  для каждого ряда: Начертите выпуклый семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник и проведите все диагонали из какой­нибудь его вершины. Сколько получилось треугольников? III. Повторение. Найти пары равных треугольников и доказать их равенство: на рис. 1–9. 1 2 3 4 7 5 8 6 9      Д а н о :  АD = BF 10     Д а н о :  АС = ВС 11 12 IV. Итоги урока. Домашнее   задание:  вопросы   1,   2,   с.   114;   №№   366,   363;   найти   пары   равных треугольников и доказать их равенство на рис. 10–12. У р о к   2 МНОГОУГОЛЬНИКИ Ц е л и :   ­   вывести формулу суммы углов выпуклого многоугольника; научить решать задачи с   помощью   этой   формулы;   при   решении   задач   повторить   признаки   параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых и секущей; ­   содействовать   развитию   умения   выделять   главное,   анализировать,   сравнивать, классифицировать, обобщать познавательные объекты;  ­   содействовать   воспитанию   требовательности   к   себе,   аккуратности, добросовестности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. I. Устные упражнения. 1.   Назовите   многоугольник,   все   виды   которого   являются   выпуклыми Х о д   у р о к а многоугольниками. (Треугольник.) 2. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины n­угольника, если n = 4, n = 5, n = 6, n – произвольное число, больше 2? 3. Из одной вершины выпуклого n­угольника проводятся все его диагонали. Сколько   при   этом   образуется   треугольников, если  n  = 4,  n  = 5,  n  = 6,  n  – произвольное натуральное число, больше 2? 4.   С   помощью   разбивки   на   треугольники   найдите   суммы   углов   выпуклых девятиугольника и одиннадцатиугольника. II. Объяснение нового материала. С ф о р м у л и р о в а т ь   и   д о к а з а т ь   теорему   о   сумме   углов   выпуклого  n­ угольника. III. Закрепление изученного материала.  Р е ш и т ь   задачи №№ 364 (а), 365 (а, г), 370. IV. Повторение. Параллельны ли прямые а и b? 1 2 3 5 7 4 6 8           Д а н о :  АВ = ВС V. Итоги урока. Домашнее задание: вопросы 3–5, с. 114; №№ 365 (б, в), 368, 369. У р о к   3 ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ЕГО СВОЙСТВА Ц е л и :   ­   ввести определение параллелограмма, рассмотреть его свойства; ­ содействовать развитию умений использовать научные методы познания; ­ создать условия для воспитания требовательности к себе, ответственности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Орг. момент. Проверка домашнего задания. Обсудить решения домашних задач, ответить на вопросы учащихся. II. Самостоятельная работа. В а р и а н т   I 1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника. 2. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°. Найдите число сторон этого многоугольника. В а р и а н т   II 1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника. 2.   Сумма   углов   выпуклого   многоугольника   с   равными   друг   другу   углами   равна 1260°. Найдите число сторон этого многоугольника. В а р и а н т   III (для более подготовленных учащихся) Каждый угол данного выпуклого многоугольника равен 150°. Найдите сумму углов выпуклого многоугольника, число сторон которого в два раза меньше, чем число сторон данного многоугольника. III. Изучение нового материала. 1.   Дать   определение   параллелограмма.   Воспроизвести   рисунок   157   из   учебного пособия   на   доске   (учащиеся   –   в   тетрадях)   и   записать:   «Параллелограмм  АВСD». Предложить учащимся записать пары параллельных сторон: АВ || CD, BC || AD.  Обратить внимание учащихся на то, что определение параллелограмма позволяет сделать два вывода: 1) Если известно, что некоторый четырехугольник является параллелограммом, то можно сделать вывод о том, что его противоположные стороны параллельны. 2) Если известно, что у некоторого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом. 2.   На   закрепление   определения   параллелограмма   можно   предложить   учащимся у с т н ы е   з а д а н и я : 1)   Дан   АВС.   Параллельно сторонам  АВ  и  АС  проведены прямые  ЕF  и  DЕ.   Определите   вид четырехугольника АDЕF. 2) В  параллелограмме   АВСD  проведена  диагональ   ВD.  Докажите, что АВD =  СDВ. 3)   Прямая  EF  параллельна   стороне  АВ  параллелограмма  АВСD.   Докажите,   что АВЕF – параллелограмм. 3. Р а с с м о т р е т ь   свойства параллелограмма. 4. Д о к а з а т ь , что в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. IV. Закрепление изученного материала. Р е ш и т ь   задачи № 376 (а) – устно; № 376 (б),  № 372 (а). V. Итоги урока. Если в условии задачи дано, что  АВСD  – параллелограмм, то можно использовать его свойства: АВСD – параллелограмм АВ || CD, ВС || АD АВ = CD, ВС = АD  А =  C,  В =  D  А +  В = 180° и т. д. АО = ОC, ВО = ОD Домашнее задание: вопросы 6–8, с. 114; №№ 372 (б), 376 (в, г), 374. Для желающих можно выдать  и н д и в и д у а л ь н о е   з а д а н и е : 1. В параллелограмме АВСD на сторонах АD и ВС взяты точки К и Е соответственно так, что  KВЕ = 90° и отрезок ЕK проходит через точку О пересечения диагоналей. Докажите, что ВО = ОЕ. 2. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно, а внутри   треугольника   –   точка  М  так,   что   четырехугольник  DСЕМ  является параллелограммом и DЕ || АВ. Прямая DМ пересекает отрезок АВ в точке K, а прямая ЕМ – в точке Н. Докажите, что АK = НВ. У к а з а н и я   к   р е ш е н и ю   з а д а ч . 1.   Последовательно   доказываем,  ЕD   =   ВK, =   ВKЕ,  KЕВ =  DВЕ. Значит, ОВ = ОЕ.  ЕD   ||   ВK,   ВОЕ   =   KОD,   что   ВKЕ   =   ВЕD,   ВKЕ   =   ВDЕ,   ВDЕ   =   2. В параллелограммах  АDЕН  и  KDЕВ,  АН = DЕ  и  KВ = DЕ. Значит,  АН = KВ. Следовательно, АK = НВ. У р о к   4 ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА  Ц е л и :   ­   доказать  признаки  параллелограмма  и  рассмотреть  решение задач; ­   содействовать   развитию   умения   выделять   главное,   анализировать,   сравнивать, классифицировать, обобщать познавательные объекты;  ­   содействовать   воспитанию   требовательности   к   себе,   аккуратности, добросовестности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Проверка домашнего задания. 1. О т в е т и т ь   на вопросы учащихся по домашнему заданию. 2. В ы п о л н и т ь   задания (устно): 1)   На   рисунке   а)   1   =   4,   2   =   3.  Является   ли   четырехугольник  АВСD параллелограммом? 2)   На   рисунке   б)   1   =   2   =   3.   Докажите,   что   четырехугольник  АВСD  – параллелограмм. 3) На рисунке в) ММ || РQ,  М =  Р. Докажите, что МNPO – параллелограмм. 4)   Является   ли   четырехугольник  АВСD,   изображенный   на   рисунке   г),   2   +   3   =   180°;   3   =   110°;   параллелограммом,     если     а)   1   =   70°;   б)  1 =  2,  2 ≠ 4?          а)                                                      б)                       в)                                                       г)              3. А н а л и з   самостоятельной работы. II. Изучение нового материала. 1.   Перед   тем   как   приступить   к   изучению   признаков   параллелограмма,   следует н а п о м н и т ь   учащимся, что означает слово «признак» и что такое обратная теорема. 2.  П р е д л о ж и т ь   учащимся   самим   сформулировать   теоремы,   обратные утверждениям о свойствах параллелограмма. 3.  П о д ч е р к н у т ь , что некоторое утверждение верно, но отсюда еще не следует, что верно и обратное ему утверждение. 4. Д о к а з а т е л ь с т в о   признаков можно провести силами учащихся. III. Закрепление изученного материала. Р е ш и т ь   задачи №№ 379,  382. № 379. Р е ш е н и е 1) Так как ВK   АС и DМ   АС, то ВK || DМ. 2)   Прямоугольные   треугольники АВK  и  СDМ  равны по острому углу и гипотенузе   ( ВАK   =   DСМ  как внутренние накрест лежащие при  АВ || СD и секущей АС, АВ = DС по свойству параллелограмма). 3) Тогда ВK = DМ. 4)   Четырехугольник   ВK || DМ, ВK = DМ. № 382.  ВМDK    является     параллелограммом,     так     как Р е ш е н и е 1)   По   свойству   параллелограмма АО = ОС, ВО = ОD. 2) По условию  ВВ1  =  В1О  =  ОD1  = = D1D и АА1 = А1О = ОС1 = С1С. 3) Четырехугольник  А1В1С1D1  – параллелограмм,   так   как   его диагонали   пересекаются   и   точкой пересечения делятся пополам. IV. Итоги урока. Если в задаче необходимо доказать, что  АВСD  – параллелограмм, то применяют один из признаков: АВ || СD и ВС || СD АВСD – параллелограмм АВ || СD и АВ = СD АВСD – параллелограмм АВ = СD и АD = ВС АВСD – параллелограмм АО = ОС и ВО = ОD АВСD – параллелограмм Домашнее задание: вопросы 6–9, с. 114; №№ 380, 373, 377, 384. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ "ПАРАЛЛЕЛОГРАММ"  У р о к   5  Ц е л и :   ­   закрепить   навыки   в   решении   задач   на   применение   признаков   и   свойств параллелограмма; проверить знания учащихся по этой теме; ­   содействовать   развитию   умения   выделять   главное,   анализировать,   сравнивать, классифицировать, обобщать познавательные объекты;  ­   содействовать   воспитанию   требовательности   к   себе,   аккуратности, добросовестности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Орг. момент. Проверка домашнего задания. АВСD – параллелограмм: а) Найти все углы АВD, если  А = 42°. б) Сумма двух из них равна 112°. в)   Найти   периметр   треугольника  ВОА, если DС = 10 см, ВD = 18 см, АС = 20 см. г)   В   окружности   проведены   диаметры  АВ  и  СD.   Докажите,   что  АВСD  – параллелограмм. II. Решение задач. № 372 (б). Пусть АВ = х см, а ВС = (х + 7) см. Так как периметр параллелограмма 48 см, имеем уравнение: Р е ш е н и е 48 2 , х + х + 7 =  2х + 7 = 24, 2х = 14, х = 7. О т в е т :  АВ = 7 см, ВС = 14 см. № 373. О т в е т :  12, 13 см. № 374. Р е ш е н и е 1)   А   =   С  по   свойству параллелограмма. 2)   АВН  –   прямоугольный;   катет ВН  лежит   против   угла   в 30°,  поэтому гипотенуза  АВ  в два раза больше него. Итак, АВ = 13 см. ВС = (50 – 13 ∙ 2) : 2 = 12 см. 1) Р е ш е н и е   1  =   2,  так   как  АК   – биссектриса,   2  =   3   как   внутренние накрест   лежащие   углы   при  ВС   ||   АD  и секущей АK. Имеем  1 =  2 =  3. 2)  АВK – равнобедренный, так как  1 =  3. Получили АВ = ВK = 15 см. 3) ВС = ВK + KС = 15 + 9 = 24 (см). 4) РАВСD = (15 + 24) ∙ 2 = 78 (см). О т в е т :  78 см. III. Самостоятельная работа. В а р и а н т   I 1. В параллелограмме АВСD диагонали равны 8 см и 5 см, сторона ВС равна 3 см, О – точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника АОD? 2.  В   параллелограмме  АВСD  проведена   биссектриса   угла  А,  которая   пересекает сторону ВС в точке Е. Докажите, что  DЕС равнобедренный. 3.  АС  и  ВD  – диаметры окружности с центром  О. Докажите, что  А,  В,  С  и  D  – вершины параллелограмма. В а р и а н т   II 1. Определите стороны параллелограмма, если его периметр равен 38 дм, а одна из сторон на 11 дм больше другой. 2. В параллелограмме ВСDЕ диагонали пересекаются в точке М. Найдите периметр  ВМС, если DЕ = 7 см, ВD = 12 см, СЕ = 16 см. 3. В параллелограмме  ВDЕF на сторонах ВF и DЕ отложены равные отрезки ВО и DN. Докажите, что четырехугольник ONEF также является параллелограммом. Домашнее  задание:  вопросы  6–9,  с. 114;  №№  420,  425;  повторить п. 25, 29. У р о к   6 ТРАПЕЦИЯ. ТЕОРЕМА ФАЛЕСА Ц е л и :   ­   ввести понятия «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция»; рассмотреть решение задач, в которых раскрываются свойства трапеции; ­ содействовать развитию умений использовать научные методы познания; ­ создать условия для воспитания требовательности к себе, ответственности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Орг. момент. Анализ ошибок, сделанных в самостоятельной работе. У с т н о : определите х, у, z. 1) 2) 3) 110° + 70° = 180°   а || b, тогда х + х + 20° = 180°, х = 80°. у = 100°. 140° + 40° = 180°   a || b, тогда 120° +  1 +  2 = 180°  1 +  2 = 60°  1 =  2 = 30°  1 = z = 30°, так как a || b. II. Изучение нового материала. 1. В с п о м н и т ь   с учащимися определение параллелограмма. 2.  Р а с с м о т р е т ь   такой   четырехугольник,   у   которого   две   противолежащие стороны параллельны, а две другие – непараллельны. 3. О п р е д е л е н и е   трапеции и ее элементов (рис. 161 из учебника). 4. В и д ы   т р а п е ц и и   (рис. 162 из учебника). 5. На закрепление понятия можно предложить учащимся следующие в о п р о с ы : Какие четырехугольники на рисунке являются трапециями? Назовите их основания             и боковые стороны.        а)                                           б)                                     в)                    III. Решение задач. № 385 (решена в учебнике), № 386 (по теореме Фалеса). Можно после решения этой задачи дать определение средней линии трапеции. IV. Итоги урока. 1. АВСD, ВЕFC – трапеции. 2. Ч а с т н ы е   в и д ы   т р а п е ц и и :  Прямоугольная трапеция Равнобокая трапеция (равнобедренная) 3.   В   решении   задач   на   трапецию можно   использовать   свойства   углов при   параллельных   прямых   и   секущей  1   =   2   (как   внутренние   накрест лежащие при ВС || АD и секущей ВD).  3 +   4 = 180° (как внутренние односторонние при СD || ВЕ и секущей ВС).  5 +  6 (как соответственные при ОР || MR и секущей ОМ). 4. П р и м е н е н и е   т е о р е м ы   Фалеса в трапеции: а) ВС || MN || KР || QS || АD и МВ = МK = KQ = QA, то CN = NP = PS = SD; б) МВ = МK = KQ = QA и CN = NP = PS = SD, то ВС || MN || KP || QS || AD. Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 114; № 384, № 387. Дана трапеция MPOK с основаниями МK и ОР. 1) Найти углы трапеции, если  М = 72°,  О = 105°. 2) Найти  ОРK и  РОМ, если  ОМK = 38°,  РKM = 48°. 3) Углы  МKN   (N – точка  пересечения  диагоналей  трапеции),  если    ОРK = 72°,  РОМ = 48°. У р о к   7 ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ Ц е л ь :   ­   рассмотреть свойства и признаки равнобокой трапеции при решении задач; ­   содействовать   развитию   умения   выделять   главное,   анализировать,   сравнивать, классифицировать, обобщать познавательные объекты;  ­   содействовать   воспитанию   требовательности   к   себе,   аккуратности, добросовестности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Проверка домашнего задания. 1. О т в е т и т ь   на вопросы учащихся по домашнему заданию. 2. В ы п о л н и т ь   задание (устно). АВСD – квадрат. Вид   четырехугольника  АОKВ определить. Найти его углы. Р е ш е н и е  ОАВ = 45° по свойству квадрата,  АОK = 180° – 45° = 135°,  ОKВ =  KВА = 90°. 3.  АВС – равносторонний. Определить вид   четырехугольника  МNCA.   Найти   его углы. Р е ш е н и е  А =  С = 60°,  М =  N = 180° – 60° = 120°. 4. АВ – ? II. Решение задач. № 388 (а). План решения. I  с п о с о б : 1) Проведем СЕ || АВ. 2) Докажем, что АВСЕ – параллелограмм, тогда АВ = СЕ. 3) Докажем, что  СDЕ – равнобедренный, тогда  1 =  2. 4)   Докажем,   что   А  =   2. (Используя, что  АВ  || CЕ,   А  и   1 – соответственные.) 5)   Докажем,   что   В   =   ВСD (используя,   что  АD   ||   ВС,   В  и   А,  ВСD  и   2 – пары внутренних одно­ сторонних углов). II  с п о с о б : 1) Проведем ВМ  АD и СН  АD. 2)  Докажем,   что  ВСНМ   – параллелограмм, тогда ВМ = ЕН. 3)   Докажем,   что   АВМ   =   DСН   тогда (по   катету   и   гипотенузе),  А =  D. № 388 (б) – устно. 4) Аналогично I способу докажем, что  АВС =  ВСD.  А   =   D  по   свойству   равнобокой трапеции АВ = СD. АD – общая.  АВD   =   DСА  по   I   признаку       тогда равенства   треугольников, АС = ВD. № 389 (признаки равнобокой трапеции; обратная теорема № 388 (а; б). Проведем  СЕ || АВ,   тогда   А   =   а)  =  Е =  D.  СЕD  –   равнобедренный,   поэтому СD   =   СЕ,   а   так   как  АВСZ  – параллелограмм, то АВ = СЕ. Имеем АВ = = = СD. СЕ     б)  АВСD – равнобокая трапеция.  АСD   =   DВА    по     I     признаку     равенства   треугольников, АВ = СD.   тогда № 389. Можно решить устно (если класс является более подготовленным). № 390 (устно). III. Самостоятельная работа. В а р и а н т   I Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°. В а р и а н т   II Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если ее большее основание равно 16 см, боковая сторона – 10 см, а один из углов равен 60°. В а р и а н т   III Диагональ  АС  равнобедренной   трапеции  АВСD  делит   пополам   угол  ВАD.  Найти периметр трапеции, если основание АD равно 12 см, а угол АDС равен 60°. П р о в е р и т ь   самостоятельную   работу   можно   на   этом   же   уроке   с   помощью закрытой доски (устно): В а р и а н т   I СD = 2ND = 6 см. В а р и а н т   II 1 2 CD = 5 см. ND =  В а р и а н т   III 1 2 АD = 6 см. СD =  ВС = 6 см. IV. Итоги урока. Свойства равнобокой трапеции.             АВСD – равнобокая трапеция 1)  А =  D,  В =  С 2) АС = ВD 3)  АВМ =  DСN Признаки равнобокой трапеции. АВСD – трапеция.  А =  D или  В =  С АС = ВD АВСD –  равнобокая трапеция АВСD –  равнобокая трапеция Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 114–115; №№ 392 (а, б), 438; повторить § 4 и № 222, п. 38, задача 1; принести циркуль. Д л я   ж е л а ю щ и х . В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его   на   два   отрезка,   один   из   которых   равен   полусумме   оснований,   а   другой   – полуразности оснований. У р о к   8 ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ Ц е л и :   ­   продолжить   знакомить   учащихся   с   задачами   на   построение.   Научить   делить отрезок на n равных частей; ­   содействовать   развитию   умения   выделять   главное,   анализировать,   сравнивать, классифицировать, обобщать познавательные объекты;  ­   содействовать   воспитанию   требовательности   к   себе,   аккуратности, добросовестности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Организационный момент. Проверка домашнего задания. Трое учащихся на доске готовят решение домашних задач. № 392 (а). АN = 7 – 4 = 3 (cм) АВ = 2АN = 6 (cм) 392 (б). KD = АD – АK = 15 – 10 = 5 (см) KD = KС = 5 (см) 1) АD = АK + МD + ВС, так как  АK  = МD АD – ВС = 2МD 1 2 (АD – ВС) МD =  2) АD + ВС = АМ + МD + ВС АD   +   ВС   =   АМ   +   KD,   так   как АМ = KD АD + ВС = 2АМ 1 2 (АD + ВС). АМ =  В это время остальные  р е ш а ю т   у с т н о   задачу: Меньшее   основание   равнобокой трапеции равно боковой стороне и в 2 раза меньше другого основания. Н а й т и  углы трапеции. Р е ш е н и е АЕ = ЕD, проведем СЕ. 1) АВСЕ – параллелограмм, так   как  ВС   ||   АЕ  и  ВС   =   АЕ.     Имеем    АВ   = = СЕ = ЕD = СD. 2)  СЕD равносторонний   D = 60°. 3)  А = 60°,  В =  С = 180° – 60° = 120°. II. Решение задач. Н а п о м н и т ь   основные этапы решения задач на построение: 1) Анализ задачи. 2) Выполнение построения по намеченному плану. 3) Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи. 4) Исследование задачи. № 393 (в) (решение в учебнике). № 394. Пусть А, В, С – данные точки. Соединим   попарно   эти   точки   и через   каждую   вершину   треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Четырехугольники  В1ВАС,  С1АСВ, –   параллелограммы   по В1АВС  определению. Задача   имеет   только   эти   три   решения,   так   как   не   существует   других   прямых, проходящих через точки А, В, С и параллельных прямых ВС, АС, АВ соответственно. № 395. Д а н о : Построить АВСD – параллелограмм. П о с т р о е н и е  А = kh, АВ = Р1Q1 P2Q – расстояние между АВ и СD. У с т н о   провести   анализ,   доказательство   и   исследование,   в   тетрадях   –   только построение: 1) построить  А, равный данному  hk; 2) отложить на его стороне отрезок Р1Q = АВ и отметить точку В; 3)   через   точку  В  провести   прямую,   перпендикулярную   прямой  АВ  и   отложить отрезок ВK = Р2Q2; 4) через точку В провести прямую, параллельную другой стороне угла; 5) через точку K провести прямую, параллельную стороне АВ; 6) АВСD – параллелограмм по определению. № 397 (а). Д а н о : Построить трапецию АВСD: АD || ВС, АВ = СD, АD = MN, АВ = М1N1,  А = hk. П о с т р о е н и е 1) Строим  АВD так, чтобы АD = МN, АВ = М1N1,  А = hk. 2) Через точку В проведем прямую, параллельную прямой АD. Для этого проведем две окружности: окружность ω1 с центром В радиуса ВD и окружность ω2 с центром D радиуса АВ. Пусть С  – точка пересечения этих окружностей, лежащая по ту сторону от прямой АD, что и точка В. Тогда ВС  ′ || АD. 3) Окружность ω2 пересекает прямую ВС еще в одной точке – точке С. Соединив эту точку с точкой D, получаем искомую трапецию  АВСD. Если  hk = 90°, то задача не имеет решения. ′ Домашнее задание:  №№ 393 (в), 396, 398, 397 (б); повторить свойства и признаки параллелограмма. У р о к   9 ПРЯМОУГОЛЬНИК.  Ц е л и :   ­   дать определение прямоугольника, изучить свойства прямоугольника; ­ содействовать развитию умений использовать научные методы познания; ­ создать условия для воспитания требовательности к себе, ответственности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Орг. момент. Проверка домашнего задания. 1. О т в е т и т ь   на вопросы учащихся.  АВС – равнобедренный.  ВАС =  ВСА = х°,  ВСА   =   DАС   =   х°,   как внутренние накрест лежащие при  ВС  || АD  и секущей  АС,   ВАD =   СDА = 2х°.    прямоугольного   АСD     САD   +   СDА   =  90°,    х   +  2х   =  90°, Из   х = 30°. В трапеции  А =  D = 60°,  В =  С = 120°. 2. В ы п о л н и т ь   задания (устно): 1)   Найдите   углы   выпуклого   четырехугольника,   если   их   градусные   меры пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. 2) Докажите, что расстояния  АМ  и  СN от вершин  А  и  С  параллелограмма  АВСD до прямой ВD равны. 3)   Найдите   углы   параллелограмма АВСD, если  А = 3 В. II. Изучение нового материала. 1. О п р е д е л е н и е   прямоугольника. 2. Так как прямоугольник – параллелограмм, то какими свойствами он обладает? 3. Каким особенным свойством обладает прямоугольник?                  4. Д о к а з а т е л ь с т в о   теоремы  о  равенстве  диагоналей  прямоугольника. 5. Будет ли верно обратное утверждение? Докажите. 6. В параллелограмме АВСD  А = 90°. Докажите, что АВСD – прямоугольник. 7. АС – диагональ  прямоугольника АВСD,  САD = 35°.  Чему равен  АСD? 8. О п р е д е л и т е   периметр прямоугольника, если две его стороны 5 см и 8 см. 9. АВСD – прямоугольник. Докажите, что  АОВ равнобедренный. III. Решение задач. № 400. 1. В прямоугольнике АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке М. 1) Докажите, что  АDМ  – равнобедренный. 2) Найдите периметр прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача? Р е ш е н и е АD = 3, РАВСD = 22                             АD = 5, РАВСD = 26              IV. Итоги урока. Любой   прямоугольник   является   параллелограммом,   значит,   обладает   всеми   его Свойства прямоугольника свойствами: АВСD – прямоугольник АВ || CD, ВC || АD, АВ = СD, ВС = АD, АО = ОС, ВО = ОD Кроме того, у прямоугольника имеются свои свойства: АВСD – прямоугольник а)  А =  В =  C =  D = 90° (все углы прямые) б) АС = ВD (диагонали равны) Признаки прямоугольника АВСD – параллелограмм  А =  В =  C =  D = 90° АВСD – параллелограмм и АС = ВD  АВСD – прямоугольник АВСD – прямоугольник Домашнее задание:  вопросы  12, 13, с. 115; задачи №№ 403, 413 (а), 401 (а). Доказать признак прямоугольника: четырехугольник, у которого есть три прямых угла, является прямоугольником. У р о к   10 РОМБ. КВАДРАТ Ц е л и :   ­   ввести понятие ромба и квадрата; изучить их свойства; ­ содействовать развитию умений использовать научные методы познания; ­ создать условия для воспитания требовательности к себе, ответственности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Орг. момент. Проверка домашнего задания.  АD   АВ, 1.  ВС   АВ  (по   условию),   тогда АD || ВС (как два перпендикуляра к одной прямой). 2.  АВ ВС,  СD ВС  (по   условию),   тогда АВ || СD (как два перпендикуляра к одной прямой). 3. Так как АD || ВС и АВ || СD, тогда АВСD – параллелограмм (по определению). 4.  D =  В (как противолежащие углы параллелограмма). 5.  В параллелограмме  АВСD:   А  =   В  =   С  =   D  =  90°, значит,  АВСD  – прямоугольник (по определению). В ы п о л н и т ь   задания (устно): 1) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, высота которого равна 6 см, а угол при вершине равен 120°.  А = 30°, АВ = 2ВD = 12 (см). 2) Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны. Докажите, что все его стороны равны.  ВОС =  DОС =  ВОА = =  DОА по двум катетам. Имеем АВ = ВС = DС = АD. II. Изучение нового материала. 1. О п р е д е л е н и е   ромба. 2. Так как ромб – параллелограмм, то какими свойствами он обладает? 3. Какими особыми свойствами обладает ромб?                   4. Д о к а з а т е л ь с т в о   свойств ромба: а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны; б) диагонали являются биссектрисами углов. 5. Будут ли верны обратные утверждения? Докажите. 6. О п р е д е л е н и е   квадрата как прямоугольника, у которого все стороны равны. 7. О п р е д е л е н и е   квадрата как ромба, у которого все углы прямые. 8.   Так   как   квадрат   является   ромбом   и   прямоугольником,   то   он   обладает   их свойствами. Перечислите их. III. Решение задач. № 405 (а). а) АВ = ВС = АС,  АВС – равносторонний,  А =  В =  С = 60° в ромбе  АВС = 60°,  ВАD = 120°. № 410 (а, б) признаки квадрата. IV. Итоги урока. Свойства ромба АВСD –  ромб АВСD –  ромб АВ || CD, ВC || АD,  А =  С,  В =  D, АО = ОС, ВО = ОD АВ = ВC = CД = АD АС ВD АС – биссектриса  А ВD – биссектриса  В свойства параллелограмма все стороны равны диагонали перпен­ дикулярны каждая диагональ – биссектриса углов ромба   Признаки ромба АВ = ВС = СD = АD АВСD – параллелограмм АС  ВD АВСD – параллелограмм и АС – биссектриса  А Свойства квадрата АВСD – ромб АВСD – ромб АВСD – ромб АВСD – квадрат АВ || CD, ВC || АD АВ = ВC = CD = АD  А =  В =  C =  D = 90° АО = ВО = CО = DО АС  ВD АС,  СА,  ВD, биссектриса угла  DВ  – все стороны равны все углы прямые отрезки   диагоналей равны диагонали перпендикулярны каждая является биссектрисой угла   диагональ Признаки квадрата Для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является квадратом, можно: доказать, что четырехугольник является прямоугольником с равными сторонами; доказать, что четырехугольник является ромбом с прямыми углами. Домашнее задание: вопросы 14–15, с. 115; №№ 405 (б), 409. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ "ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ" Ц е л ь :   ­   закрепить   изученный   материал   о   прямоугольнике,   ромбе,  квадрате   в   процессе У р о к   11 решения задач; ­ содействовать развитию умений использовать научные методы познания; ­ создать условия для воспитания требовательности к себе, ответственности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Орг. момент. Проверка домашнего задания. 1. I. Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол? II. Обязательно ли является  прямоугольником  четырехугольник, у которого есть МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ прямой угол? 2. I. Верно ли, что каждый прямоугольник является параллелограммом? II. Верно ли, что каждый параллелограмм является прямоугольником? 3. I. Диагонали прямоугольника  АЕKМ  пересекаются в точке  О. Отрезок  АО  = 3. Найдите длину диагонали ЕМ. II. Диагонали параллелограмма равны 3 и 5 дм. Является ли этот параллелограмм прямоугольником?  4.   I.   Диагонали   четырехугольника   равны.   Обязательно   ли   этот   четырехугольник является прямоугольником? II. Сумма длин диагоналей прямоугольника 13 см. Найдите длину каждой диагонали. 5. I. Периметр ромба равен 12 см. Найдите длины его сторон. II. Верно ли, что каждый ромб является параллелограммом? 6. I. Верно ли, что каждый параллелограмм является ромбом? II. Периметр ромба равен 30 см. Найдите его стороны. 7. I. Диагонали ромба делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника, если один из углов ромба 30°. II. Ромб АВСD имеет прямой угол. Является ли этот ромб квадратом? 8. I. Две соседние стороны параллелограмма равны и образуют прямой угол. Как называется такой параллелограмм? II. Диагонали квадрата делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника. II. Решение задач. №№ 404, 407 (устно). № 412. 1.   АВС   –  прямоугольный   и равнобедренный   1 =  4 = 45°. 2.  АFE – прямоугольный.  1 = 45°   3 = 45°   DВ = DE. 3.  DВЕ – прямоугольный.  4 = 45°    2 = 45°   AF = FE. 4.  СDЕF   –  квадрат     СD   =   DE   = = EF = CF. 5. АC = 12 cм.  AF = CF = 6 cм. № 414 (а) наметить план решения. III. Самостоятельная работа обучающего характера с проверкой в классе. В а р и а н т   I 1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого. 2. № 413 (б). 1.   Угол   между   диагоналями   прямоугольника   равен   80°.   Найдите   углы   между В а р и а н т   II диагональю прямоугольника и его сторонами. 2. № 414 (б). В а р и а н т   III (для более подготовленных учащихся) 1. В  ромбе   АВСD   биссектриса  угла   ВАС   пересекает  сторону   ВС и диагональ ВD  соответственно  в  точках  M  и  N.  Найдите  АNВ, если  АМС = 120°. 2.   Постройте   прямоугольник  АВСD  по   стороне  АВ  и   углу  АОВ,   где  О  –   точка пересечения диагоналей. Р е ш е н и е   на закрытой доске: В а р и а н т   I 1.  АВО на 30° больше  ВАО.  АВО – прямоугольный;  ВАО = х°,  АВО = х + 30°;  ВАО +  АВО = 90°; х + х + 30 = 90°; х = 30°. 2. Д а н о : Построить прямоугольник АВСD.          Р е ш е н и е 1) Разделить АС пополам, отметить середину – точку О. 2) От луча ОС отложить угол, равный углу О. 3) На его другой стороне отложить отрезок ОD = АО. 4) На дополнительном луче к лучу ОD отложить отрезок ОВ = ОD. 5)  АВСD  –   прямоугольник   (его   диагонали   равны   и   точкой   пересечения   делятся пополам). В а р и а н т   II 1.  ОС   =   ОВ    DОС  – равнобедренный  ОСD =  СDО = 50°. 2. Д а н о : П о с т р о и т ь : ромб АВСD.             Р е ш е н и е 1) Отложим угол, равный углу В. 2) На  сторонах  угла  отложим  отрезки,  равные  MN,  получим  точки А и С. 3) Через   точки   А   и   С    проведем   прямые,   параллельные   прямым   АВ  и  ВС, получим точку D. 4) АВСD – ромб. (Если у параллелограмма смежные стороны равны, то он является ромбом.) В а р и а н т   III 1.  ВСО =  ВАО. Пусть  ВАN =  САМ = х°;  ВСА = 2х°;  АМС: 2х + х + 120° = 180°;               х = 20°.  ВОА:  АВО = 90° – 40° = 50°;  ВNА:  ВNА = 180° – 50° – 20°;               ВNА = 110°. 2. Д а н о : П о с т р о и т ь : АВСD – прямоугольник.                    Р е ш е н и е 1) Построим угол, смежный с углом О и его биссектрису, получаем углы 1 и 2. 2) Откладываем АВ и строим в одну полуплоскость от лучей АВ и ВА углы, равные  1 и  2. 3) Получили  АВО. 4) На  дополнительных  лучах  лучам  ОВ  и  ОА  откладываем  отрезки ОС = АО и ОD = ОВ. 5)  АВСD – прямоугольник. (Диагонали его точкой пересечения делятся пополам и равны.) IV. Итоги урока. Домашнее  задание:  вопросы  14–15,  с. 115;  №№ 406,  411,  413 (а), 415 (б). П о   ж е л а н и ю .  АВСD – ромб.  DВЕ = 20° Н а й т и :   ВАD. Р е ш е н и е 1)  ВDЕ = 70° из прямоугольного ВЕD. 2)  ВАD – равнобедренный.  АВD =  АDВ. 3)   ВDЕ   =   АВD   =  70°     как     внутренние     накрест     лежащие     при АВ || СD и секущей ВD. 4)  АВD =  АDВ = 70°. 5)  ВАD = 180° – 70° – 70° = 40°. Готовиться к проверочной работе по теме § 1–3 главы V. ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ У р о к   12 Ц е л и :   ­  дать  определение симметричных  точек  и фигур относительно  точки и прямой, научить строить симметричные точки; рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур; ­   содействовать   развитию   умения   выделять   главное,   анализировать,   сравнивать, классифицировать, обобщать познавательные объекты;  ­   содействовать   воспитанию   требовательности   к   себе,   аккуратности, добросовестности. Оборудование: учебники по геометрии. Х о д   у р о к а I. Орг. момент. Проверка домашнего задания. О т в е т и т ь   на вопросы учащихся по домашнему заданию. II. Изучение нового материала. Объяснение   нового   материала   по   теме   «Осевая   и   центральная   симметрии» целесообразно   построить   в   виде   лекции,   сопровождающейся   показом   большого иллюстративного материала: чертежей, рисунков, орнаментов и т. п. III. Решение задач. №№ 416, 417, 418 (устно). № 420. Пусть  АВС  – данный равнобедренный  треугольник с основанием  АС  и  ВD  – его Р е ш е н и е биссектриса. 1.   По   теореме   о   биссектрисе равнобедренного треугольника  ВD  АС и АD = = DС.   Следовательно,   точки  А  и  С симметричны относительно прямой ВD. 2.   Возьмем   произвольную   точку  М  на основании  АС.  Пусть, например, точка  М лежит   между   точками  А  и  D.   Отметим точку  М1  между точками  D  и  С  так, что   DМ1 = DМ. Точка М1 симметрична точке М относительно прямой ВD. Имеем для каждой точки на основании АС симметричную ей относительно ВD точку. 3.   Возьмем   теперь   произвольную   точку  N  на   одной   из   боковых   сторон   АВС, например на стороне АВ. Отложим от вершины В на луче ВС отрезок ВN1, равный ВN. Так как BN < АВ, то ВN1 < N1 лежит на стороне ВС. Треугольник BNN1 равнобедренный, ВК – его биссектриса, следовательно, NN1  ВК, NК = N1К, а поэтому точки и N и N1 симметричны относительно прямой ВD. Мы доказали, что для каждой точки   АВС  точка, симметричная ей относительно прямой  ВD, также принадлежит этому треугольнику. Это означает, что прямая  ВD  – ось симметрии треугольника АВС. № 422 (устно). IV. Итоги урока. Домашнее задание:  вопросы  16–20,  с. 115;  №№ 421, 419, 423;  предложить учащимся приготовить свои примеры осевой и центральной симметрии. У р о к   13 ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК ПО ТЕМЕ: "ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ" Ц е л и :   ­   закрепить в процессе решения задач полученные знания и навыки; ­   содействовать   развитию   умения   выделять   главное,   анализировать,   сравнивать, классифицировать, обобщать познавательные объекты;  ­   содействовать   воспитанию   требовательности   к   себе,   аккуратности, добросовестности. Оборудование: учебники по геометрии; карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Орг. момент. Проверка домашнего задания. У с т н о : 1.   Определите   вид   четырехугольника  АВСD,   если  АС  и  ВD  –   диаметры   одной окружности. О т в е т :   АВСD  – параллелограмм, так как его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Из равенства диагоналей делаем вывод о том, что он является прямоугольником. 2.   Верно   ли,   что   четырехугольник,   у   которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом. О т в е т :   нет.   Посмотрите   на   чертеж.   Какое   еще условие должно выполняться? 3.   Дан   четырехугольник,   у   которого   два противоположных угла прямые. Можно ли утверждать, что   такой   четырехугольник   всегда   будет прямоугольником? О т в е т :   Нет.   Смотрите   на   рисунок.   Какое   еще условие должно выполняться? В ы в о д : – Если по условию задачи дано, что четырехугольник является параллелограммом (или прямоугольником, или ромбом, или квадратом), то можно использовать в решении любое его свойство; –   Признаки   используются,   когда   нужно   доказать,   что   данный   четырехугольник является  параллелограммом  (прямоугольником,    квадратом или ромбом).  При  этом нужно  привести  определенный  набор  фактов,  достаточный   для  того, чтобы  сделать вывод о виде четырехугольника. 4. Всякий ли четырехугольник, у которого есть две параллельные стороны, является трапецией? О т в е т :   Нет.   Параллелограмм,   у   которого   есть   две   параллельные   стороны,   не является трапецией. трапецией? 5.   Является   ли   данный   четырехугольник О т в е т :  Да, ВС || АD, АВ P CD. II. Решение задач. №№ 428, 434, 438. № 428. Р е ш е н и е   1 =  2. 1) РD – биссектриса (cid:222) 2)   1 =   3, как внутренние накрест лежащие при ВС || АD и секущей РD. Имеем  1 =  2 =  3. 3) Аналогично для биссектрисы угла В имеем  4 =  5 =  6. 4) Но  АВС =  АDС, поэтому  1 =  2 =  3 =  4 =  5 =  6.  5 и  3  соответственные  при  прямых РD и ВК и секущей ВС     ВD || ВК. 5) Аналогично доказывается, что АМ || NC. 6) STQR – параллелограмм по определению. 7)  РСD – равнобедренный, так как  3 = 2, CQ – биссектриса и высота. 8) В параллелограмме STQK один угол прямой (cid:222) № 438.  он является прямоугольником. Р е ш е н и е 1)   2 = 3 как накрест лежащие при  ВС  || АD  и секущей АС. 2)  1 = 2 =  3 = 30°,  1 +  2 = 60°   АВСD – равнобокая трапеция. 3)   АВС  – равнобедренный треугольник, так как  1 =  3. 4) СD против угла 30°, поэтому АD = 2СD. 5) По условию АВ + ВС + СD + АD = 20 3СD + 2СD = 20 СD = 4 АD = 2СD = 8 (см). III. Самостоятельная работа. В а р и а н т   I 1. Через   точку   пересечения    диагоналей   параллелограмма    АВСD    проведена прямая,  пересекающая   стороны  АD  и  ВС  соответственно   в  точках  Е  и  F.  Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см. АЕ = 5 см, BF = 3 см. О т в е т :  6 и 8 см. 2. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов равен 45°. О т в е т :  4 см. 3. Разделите данный отрезок на 5 равных частей. В а р и а н т   II 1.   Биссектрисы   углов  А  и  D  параллелограмма  АВСD  пересекаются   в   точке  М, лежащей на стороне ВС. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см. О т в е т :  6 и 12 см. 2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен 120°. О т в е т :  6 см. 3. Разделите данный отрезок на 6 равных частей. В а р и а н т   III 1. В равнобедренный   прямоугольный   треугольник  АВС  с   гипотенузой  АВ  вписан прямоугольник КMNP, как показано на рисунке. Периметр этого прямоугольника равен 30 см, а смежные   стороны  КМ  и  КР  пропорциональны числам 2 и 3, то есть  КМ  :  КР  = 2 : 3. Найдите гипотенузу треугольника. О т в е т :   2 1   см. 2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 60°, а диагональ трапеции делит этот угол пополам. Найдите периметр трапеции, если ее большее основание равно 14 см. О т в е т :  35 см. 3. Данный отрезок разделить на 7 равных частей. Домашнее задание: вопросы 1–20, с. 114–115. 1. В  ромбе  АВСD  D = 140°.  Определите  углы   треугольника  АОD (О – точка пересечения диагоналей). 2. На диагонали  MP  прямоугольника  MNPQ  отложены равные отрезки  МА  и  РВ. Докажите, что ANBQ – параллелограмм. 3. Найти ВС. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я  РАБОТА ПО ТЕМЕ: "ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ" Ц е л ь :   ­   проверить   знания,   умения   и   навыки   учащихся   по   усвоению   и   применению У р о к   14 изученного материала; ­   создать условия для развития умения осуществлять самооценку, самоконтроль, самокоррекцию УД; ­   содействовать   воспитанию   ответственности,   самостоятельности,   аккуратности, добросовестности. Оборудование: карточки с индивидуальными заданиями. Х о д   у р о к а I. Организация учащихся на выполнение работы. II. Выполнение работы по вариантам. В а р и а н т   I 1. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если  АВО = 30°. 2. В параллелограмме KМNP проведена биссектриса угла МKР, которая пересекает сторону MN в точке Е. а) Докажите, что треугольник KМЕ равнобедренный. б) Найдите сторону KР, если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см. В а р и а н т   II 1. Диагонали ромба  KМNP  пересекаются в точке  О. Найдите углы треугольника KОМ, если угол МNP равен 80°. 2. На  стороне  ВС  параллелограмма  АВСD  взята  точка  М  так,  что АВ = ВМ. а) Докажите, что АМ – биссектриса угла ВАD. б) Найдите периметр параллелограмма, если СD = 8 см, СМ = 4 см. В а р и а н т   III 1.   Через   вершину  С  прямоугольника  АВСD  проведена   прямая,   параллельная диагонали ВD и пересекающая прямую АВ в точке М. Через точку М проведена прямая, параллельная   диагонали  АС  и   пересекающая   прямую  ВС    в     точке    N.     Найдите периметр четырехугольника АСМN, если диагональ ВD равна 8 см. 2.   Биссектрисы   углов  А  и  D  параллелограмма  АВСD  пересекаются   в   точке  М, лежащей на стороне ВС. Луч DМ пересекает прямую АВ в точке N. Найдите периметр параллелограмма АВСD, если АN = 10 см. III. Итоги урока. Домашнее задание: повторить материал гл. I, § 4, с. 13–16.