Алгебра 9 класс Тригонометрия Формулы сложения Повторение
Оценка 4.8

Алгебра 9 класс Тригонометрия Формулы сложения Повторение

Оценка 4.8
pdf
математика
13.05.2020
Алгебра 9 класс Тригонометрия Формулы сложения Повторение
Алгебра 9 класс Тригонометрия Формулы сложения Повторение.pdf

                                      И.В.Яковлев       |       Материалы по математике      |       MathUs.ru

Формулы двойного и половинного угла

Формулы двойного угла — это формулы, выражающие тригонометрические функции угла 2α через тригонометрические функции угла α. Все формулы двойного угла выводятся из соответствующих формул сложения.

Синус двойного угла

Исходим из формулы синуса суммы:

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ. Полагаем в этой формуле β = α:

sin(α + α) = sinαcosα + cosαsinα,

то есть

 

sin2α = 2sinαcosα.

Мы получили формулу синуса двойного угла.

Косинус двойного угла

Исходим из формулы косинуса суммы:

cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ. Полагаем в этой формуле β = α:

cos(α + α) = cosαcosα − sinαsinα,

то есть

(1)

cos2α = cos2 α − sin2 α.

(2)

Это — первая формула косинуса двойного угла. Имеются ещё две. Они получаются из формулы (2) с помощью основного тригонометрического тождества.

Так, согласно основному тригонометрическому тождеству имеем: cos2 α = 1 − sin2 α. Подставляя это в (2), получим:

                                                                                           cos2α = 1 − 2sin2 α.                                                                (3)

С другой стороны, имеем также: sin2 α = 1 − cos2 α. Подставляем это в (2):

                                                                                           cos2α = 2cos2 α − 1.                                                               (4)

Как видите, в отличие от синуса двойного угла, где имеется одна-единственная формула, здесь нужно знать три формулы косинуса двойного угла (2)–(4).

Тангенс и котангенс двойного угла

Берём формулу тангенса суммы:

.

Полагаем в ней β = α и получаем формулу тангенса двойного угла:

                                                                                                                                                           (5)

Точно так же из формулы котангенса суммы:

получим:

Формулы понижения степени

Мы переходим к формуламполовинногоугла, которые связывают тригонометрические функции угла α и тригонометрические функции угла α/2. По сути это те же формулы двойного угла, только записанные несколько иным образом.

По формуле (3) косинуса двойного угла имеем:

 ,

откуда

                                                                                                                                                         (6)

А теперь точно так же воспользуемся формулой (4):

,

откуда

                                                                                                                                                        (7)

Тождества (6) и (7) называются формуламипонижениястепени. Название понятно: в левой части каждой формулы стоит квадрат тригонометрической функции, а в правой части — первая степень косинуса.

Формулы тангенса половинного угла

Взяв отношение равенств (6) и (7), получим:

Данная формула, как видите, выражает квадрат тангенса половинного угла. Имеются также две формулы, выражающие сам тангенс.

Первая формула:

Чтобы доказать это тождество, возьмём его правую часть и путём преобразований выведем из неё левую часть. Используем формулы (6) и (1).

.

Вторая формула:

Докажите её самостоятельно, используя формулы (1) и (7).

Универсальная подстановка

Оказывается, любую тригонометрическую функцию угла α можно выразить через тангенс половинного угла α/2.

1.    Формула для синуса:

                                                                                                                                                             (8)

Доказываем «справа налево», умножая числитель и знаменатель дроби на :

2.    Формула для косинуса:

                                                                                                                                                             (9)

Попробуйте доказать её самостоятельно. Приём тот же: умножаем числитель и знаменатель на . Но в данном случае вместо формулы синуса двойного угла вам понадобится формула (2) косинуса двойного угла.

3.    Формула для тангенса — это уже известная нам формула (5):

                                                                                                                                                            (10)

4.    Формула для котангенса — это «перевёрнутая» формула (10):

                                                                                                                                                           (11)

Формулы (8)–(11) называются универсальной подстановкой.

Задачи

1.    Вычислите:

                                         а) 2sin15cos15;                                       б) ;

                                         в) 4sin75cos75;                                       г) ;

                                          д)  ;                                е)  .

2.    Вычислите:

                                             а) cos2 15− sin2 15;                                   б) ;

                                              в) 2cos2 75− 1;                                            г) ;

                                              д) ;                                            е) 2sin2 165− 1.

3.    Упростите выражение:

                                           а)                                                   б)

                                          в) ;                                            г) ;

                                          д) ;                                е) .

4. Упростите выражение:

 

а) sin2α + (sinα − cosα)2 ;

б) sin2αctgα − 1;

                                   в) ;                                                         г) ;

                                    д) (cos3α + sin3α)(cos3α − sin3α);                            е) 1 − 2sin2 4x.

5.    Известно, что . Найдите sin2α и cos2α.

6.    Известно, что  и . Найдите sin2α и cos2α.

7.    В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 1/3. Найдите косинус угла при вершине этого треугольника.

8.    Вычислите .

9.    Упростите выражение:

                                        а)  ;                                          б)  ;

                                        в)  ;                                      г) ;

                                         д) (1 − tg2 α)cos2 α;                               е)  .

10. Докажите тождество:

 

а) (cosα + sinα)2 = 1 + sin2α;

б) cos4 α − sin4 α = cos2α;

             в) ctgα − sin2α = ctgαcos2α;                               г) ;

             д) sin2α − tgα = cos2αtgα;                                     е) (ctgα − tgα)sin2α = 2cos2α;

            ж) (1 + cos2α)tgα = sin2α;                                   з) ;

        и)  1;                        к) ;

          л) ;        м) ;

         н) ;                                о)

11.     Найдите sin2α, если  .

12.     Докажите тождество:

.

13.     Докажите тождество:

                         а) ;                    б)

14.     Выведите формулы тройного угла:

а) sin3α = 3sinα − 4sin3 α;

б) cos3α = 4cos3 α − 3cosα;

в)  .

15.     Исходя из равенства cos54= sin36, вычислите sin18.

16.     Покажите, что:

                                      а)  ;                              б)  .

И.В.Яковлев | Материалы по математике |

И.В.Яковлев | Материалы по математике |

Тангенс и котангенс двойного угла

Тангенс и котангенс двойного угла

Данная формула, как видите, выражает квадрат тангенса половинного угла

Данная формула, как видите, выражает квадрат тангенса половинного угла

Формулы ( 8 )–( 11 ) называются универсальной подстановкой

Формулы ( 8 )–( 11 ) называются универсальной подстановкой

Известно, что и . Найдите sin2 α и cos2 α

Известно, что и . Найдите sin2 α и cos2 α

Выведите формулы тройного угла : а) sin3 α = 3sin α − 4sin 3 α ; б) cos3 α = 4cos 3 α − 3cos…

Выведите формулы тройного угла : а) sin3 α = 3sin α − 4sin 3 α ; б) cos3 α = 4cos 3 α − 3cos…
Скачать файл