алгебра и начало анализа

Урок геометрии в 7 классе

Тема:  Сумма углов треугольника

Цель: исследовать свойства треугольника, указать некоторые условия существования треугольника.

Задачи:

1.      повторить с углублением изученного материала теоремы о свойствах параллельных прямых,  о сумме углов треугольника и внешнем угле треугольника;

2.      повторить ранее изученные приемы решения задач и познакомиться с новым приемом;

3.      способствовать развитию комбинаторных способностей и пространственного воображения учащихся, умения анализировать, сравнивать, делать вы­воды;

4.      содействовать выработке умения самоконтроля через умышлено допущены ошибки, которые учащиеся должны обнаружить;

5.      создать условия для поддержания и развития интереса к предмету через представление исторических фактов;

6.      способствовать формированию коммуникативной культуры через организацию работы в группах;

7.      способствовать воспитанию чувства коллективизма, ответственности, активности, взаимопомощи.

Оборудование:

1.    интерактивная доска;

2.    презентация в Power Point;

3.    плакаты с высказываниями ученых, содержащие исторические сведения и познавательную информацию;

4.    раздаточный материал – карточки.

Класс разделен на четыре равные по силе группы. У каждой группы есть ассистент  (старшеклассник). На перемене производится жеребьевка. Капитаны случайным образом берут карточки, в которых указаны очередность ответов,  номера задач.

Ход урока.

I.     Организационный момент. Проверка готовности к уроку обучающихся, тестирование оборудования

II.  Целеполагание и мотивация учебной деятельности

Учитель: Добрый день! Сегодня у нас последний урок по теме: «Сумма углов треугольника». Этот урок является мостиком между темами «Параллельность прямых» и «Прямоугольные треугольники». Мы повторим признаки и свойства параллельных прямых, вспомним некоторые известные свойства треугольников и, может быть, сумеем открыть новые. Главное место в нашем разговоре займет, конечно же, теорема о сумме углов треугольника.

III.         Актуализация и коррекция опорных знаний

1.        Фронтальная устная работа по решению опорных задач

Обучающимся предложены  4 основные и 2 дополнительные задачи на готовых чертежах. Если группа справилась со своей задачей, можно подумать над дополнительными.

(На экране появляются чертежи, соответствующие задачам. Одна команда отвечает, другие комментируют ответ.)

Учитель: Что вы использовали при решении задач? 

После ответов учащихся на экране появляется вывод:

При решении задач  «на треугольники» оказываются полезными:

Теорема о внешнем угле треугольника.

Прием «считаем парами».

2.        Презентация домашней задачи.

Теорема о сумме углов треугольника была известна еще в Древней Греции. Геометрия получила широкое развитие, прежде всего, в связи с её практическим применением. Обогащенные геометрическими знаниями, люди производили те или иные расчеты, изобретали приборы. Вот один из них (на экране появляется рисунок). Для измерения величины угла между наклонной и  горизонтальными прямыми на местности используют эклиметр, принцип действия которого ясен из рисунка. (ОР – нить с грузиком, отвес) Доказать, что нить ОР показывает на шкале величину искомого угла. Эта дополнительная задача к домашней работе.

3.Проверка домашнего задания

Задача. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, на стороне АВ выбрана точка М так, что МС=МВ. Установить вид треугольника ВСМ.

Решение: ÐА+ÐВ+ÐС=180°, a + b + 90=180°, a + g =90°. Следовательно b = g. Треугольник ВСМ – равнобедренный.

Учитель: На основании рассмотренной задачи, сформулируем  свойство прямоугольного треугольника (на экране появляется текст с пропусками):

«Если точка М ... (гипотенузы) АВ такова, что МА=МС, то СМ - ... (медиана) треугольника АВС и равна ... (половине гипотенузы)».

Используем этот важный вывод для обоснования самого наглядного доказательства теоремы о сумме углов треугольника с помощью бумажного треугольника.

4.Презентация  по теме: «Обоснование «доказательства» теоремы о сумме углов треугольника с помощью листа бумаги» (индивидуальное домашнее задание)

5. Оценка готовности к  восприятию нового материала.

Командиры групп подводят промежуточные результаты, отмечают вклад каждого обучающегося в работу на данном этапе.

Учитель: в результате рассмотрения домашней задачи мы установили некоторые свойства прямоугольного треугольника. Подробнее о прямоугольных треугольниках мы поговорим на будущих уроках. А пока  еще раз обратимся к теме: «Равнобедренный треугольник».

IV.    Решение задач

1.                  Работа в группах с представлением результатов у доски и оцениванием решения представителями команд-соперников.

 Задача №1. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) на стороне ВС выбрана такая точка D, что ÐВАD = 2ÐDАС. Чему может равняться угол В этого треугольника, если известно, что треугольник АВD тоже равнобедренный?

Представитель одной из команд решает задачу на доске.  Представители других команд комментируют ответ.

 Решение:

а) По теореме о сумме углов треугольника ABD, Ð ADB = 180°-4x. ÐADB – внешний угол треугольника ADC, следовательно Ð ADB = 4x. Составив и решив уравнение, найдем, что ÐB = 45° 

б) Так как треугольник ADB - равнобедренный, то ÐABD = ÐADB = (180-2х):2=90-х. ÐADB – внешний угол треугольника ADC, следовательно ÐADB=4x. Составив и решив уравнение, получим что ÐB = 72° 

в) Рассматривая полученное аналогичным образом уравнение, приходим к выводу, что такой случай невозможен.

Отв. 72° или 45°.

Учитель: Какие выводы можно сделать на основании решения данной задачи?

(После ответов учащихся на экране появляется вывод)

Если в условии задачи присутствует неопределенность, то необходимо рассматривать все возможные случаи.

Прием «вычисление суммы двумя способами» помогает связать неизвестные величины уравнением

Задача №2. Отрезок AL делит треугольник АВС на два равнобедренных треугольника. Чему может быть равен наибольший угол исходного треугольника, если ÐВАС=48°?

Учитель: Некто решил  эту задачу. Разберитесь в чертежах и закончите решение.

(На экране появляются чертежи)

Решение:  а) ÐALC и ÐALB смежные, однако a + b = 180º  невозможно, т.к. ÐВ и ÐС односторонние Þ было бы АВïïАС

б) ÐALB – внешний угол треугольника ALC  Þ a = 2b. Сумма углов треугольника ALB  равна 180º , поэтому  ÐВАL = 180º - 2a.  Зная, что ÐВАС = 48°, составляем уравнение:  180 - 4b + b = 48, b=44. ÐА=48º, ÐВ=44º, ÐС=88º. Проверка: 48+44+88=180. Наибольший угол равен 88º. 

Учитель: Я предлагаю вам ознакомиться с третьим случаем, и сделать вывод, который пригодится нам при решении следующей задачи.

в) Так как ∆АСL – равнобедренный, то углы при основании равны. Пусть ÐАСL= ÐАLС=a. Так как ∆АВL – равнобедренный, то углы при основании равны. Пусть ÐLАВ= ÐАLВ=b.

ÐАLВ – внешний угол ∆АСL, следовательно, ÐCAL=b-a.  ÐАLС – внешний угол ∆АВL, следовательно, ÐABL=a-b. 

Зная, что ÐВАС=48°, составляем уравнение: 2b-a-48. Зная, что ÐАLС и ÐАLВ смежные, составляем уравнение: b+a=180

Решаем систему уравнений. Окончательно имеем: ÐА=48º (по условию), ÐВ=a-b=28º, ÐС=a=104º

Проверка: 48+28+104=180º

Все ли верно?

Обучающиеся,  многократно читая предложенный текст, проверяя  и перепроверяя себя и товарищей, чувствуют что «что-то здесь не так», хотя ошибку не находят.

На экране возникает чертеж с числовыми даными.

После ответов учащихся на экране появляется вывод:

в равнобедренном треугольнике углы при основании могут быть только острыми.

Замечание. Система должна была иметь вид: . Дальнейшее решение этой задачи будет рассмотрено на факультативе.

Задача №3. (Закрепление сделанного вывода.) Существует ли выпуклый четырехугольник АВСD и точка М внутри него такие, что МА=АВ, МВ=ВС, МС=СD, МD=АD?

 Решение. Так как ∆АВМ, ∆ВСМ, ∆МСD, ∆АМD – равнобедренные, то углы при основании острые. a<90°, b<90°, g<90°, j<90°. a+b+g+j<360°,

С другой стороны, сумма углов при вершине М равна 360º. Пришли к противоречию.

Ответ: Такого четырехугольника не существует.

После ответов учащихся на экране появляется вывод:

Оценка суммы помогает решить задачу.

2.        Индивидуальная работа с самопроверкой решения

Задача-аукцион. К треугольнику АВС (ÐА=20º, ÐВ=50º, ÐС=110º)  пристроили равнобедренный треугольник так, что получился новый треугольник. Сколькими способами это можно сделать? Вычислите углы нового треугольника.

Решение задачи каждый ученик выполняет на выданном ему листе с таблицей, в каждой ячейке которой изображен один и тот же треугольник. Постепенно на экране появляются карточки с ответами.

Ответы:

V.      Рефлексия. Группы используют методику «Я, мы, дело» для характеристики учебной деятельности каждого обучающегося, группы, класса в целом. Учитель оценивает работу на уроке, выставляет оценки.