Алгебра_9.1В_Ньютон биномы_Дидактикалық материалдар

Дополнительные задания для самостоятельного выполнения

1. Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х.
2. Найти пятый член разложения бинома .
3. Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.
4. Найти седьмой член разложения бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.
5. Сколько членов разложения бинома  являются целыми числами?
6. Вычислить сумму .
7. Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома.
8. Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения  равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.
9. При каких значениях х четвертое слагаемое разложения  больше двух соседних с ним слагаемых?
10. При каком значении х четвертое слагаемое разложения  в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?
11. В какую наибольшую степень следует возвести бином  чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно ?

Самостоятельная работа

1. Вычислить значение бинома:

1) 

2) 

3) 

4) 

ОТВЕТЫ:

1) 

2) 

3) 4) 

№1. Вычислите степени бинома:

Ответы:

№2. Доказать, что значение выражения , где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение.

Представим первое слагаемое выражение как и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Практическая работа № 14. Бином Ньютона

Вопросы к работе

1. Прочитать формулу бинома Ньютона.

2. Как строится треугольник Паскаля для нахождения коэффициентов бинома Ньютона?

3. По какой формуле найти s-й член бинома Ньютона?

Образцы решения заданий

Пример 1. Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить .

Решение:

Пример 2. Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно x, получаемого в разложении бинома Ньютона . 

Решение.

Это равенство истинно при любом значении х.

При x = 1 левая часть равна , а в правой  части получаем алгебраическую сумму  коэффициентов: 

Следовательно, алгебраическая сумма коэффициентов данного многочлена равна –1.

Пример 3. Найти 13-й член разложения бинома

                                           .

Решение. Согласно формуле общего члена разложения бинома,

Пример 4. Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х.

Решение. Для общего члена разложения имеем                         

Член  разложения не зависит от x; это значит, что показатель степени x равен 0, только тогда, когда,  16 – 4m = 0, m = 4.

Итак, пятый член данного разложения не зависит от х.

Упражнения

1.                       Написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:

а)  ; Ответ: .

б) ; Ответ:.

в)  ; Ответ: .

2. Найти пятый и девятый член разложения:

а)  , б) .    Ответ: .

3. Найти два средних члена разложения . Ответ: .

4. Найти в биномиальном разложении член, не содержащий z. (Ответ: ).

5. Используя треугольник Паскаля найти коэффициенты разложения:

а) ,  .

Индивидуальные задания

1.      Разложить по формуле бинома Ньютона и упростить. Коэффициенты разложения найти, используя треугольник Паскаля:

1) ;                2) ;                3) ;

4) ;                5) ;                6) ;

7) ;                8) ;                9);

10) 

2. Найти два средних члена разложения:

1) ;      2) ;    3) ;     4);  5) ;

 6) ;    7) ;     8) ;    9) ;   10) .

Задание для самоконтроля

1.    Найти сумму:

1)   (Ответ: );

2)    (Ответ: 0).

2. Доказать справедливость равенства: .

12. Треугольник Паскаля.

Для вычисления биномиальных коэффициентов используется специальная таблица.

Таблица 2

Вычисление биномиальных коэффициентов

Биномиальные коэффициенты удобно выстроить в Треугольник Паскаля – равнобедренный треугольник, обладающий следующими закономерностями:

1) в  строке треугольника записываются биномиальные коэффициенты -й степени бинома;

2) число  располагается в  строке на  месте;

3) боковые стороны треугольника состоят только из единиц;

4) каждое внутреннее число строки равно сумме двух последовательных чисел предыдущей строки, стоящих над ним слева и справа.

На рисунке 7 представлен треугольник Паскаля, выстроенный для коэффициентов разложения бинома -й степени.

Рис. 1

Треугольник Паскаля

Например, при  треугольник Паскаля имеет вид:

Значит, .

Задачи и упражнения.

12.1. Найдите разложение бинома.

12.2. Докажите, что .

12.3. Проверьте выполнение равенства задачи 3.27 для 8 и 10 строк треугольника Паскаля.