Algebraik operatsiyalar

I              Понятие алгебраической операции        4

II           Некоторые типы алгебраических операций  27

III        Некоторые классические алгебры 34

III.1                Группоид      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36

III.2                Полугруппа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       38

III.3                Группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.4                Примеры группоидов, полугрупп и групп  . . . . . . .     41

III.5                Абелевы (коммутативные) группы      . . . . . . . . . .       51

III.6                Неабелевы (некоммутативные) группы      . . . . . . . .  54

III.7                Об ограничении операции на подмножество . . . . . . 58

III.8                Дистрибутивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   64

III.9                Кольцо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.10Тело . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 III.11Поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

                    III.12Об идентификации алгебры по ее носителю . . . . . .            81

I Понятие алгебраической операции

Что такое «алгебраическая операция»?

I   Понятие алгебраической операции Что такое «алгебраическая операция»?

Как найти ответ на этот вопрос?

Что такое «алгебраическая операция»?

Как найти ответ на этот вопрос?

1) Дедуктивный вариант: найти определение в учебнике, энциклопеции и др.

Что такое «алгебраическая операция»?

Как найти ответ на этот вопрос?

1) Дедуктивный вариант: найти определение в учебнике, энциклопеции и др. Неинтересно.

Что такое «алгебраическая операция»?

Как найти ответ на этот вопрос?

1)     Дедуктивный вариант: найти определение в учебнике, энциклопеции и др. Неинтересно.

2)     Индуктивный вариант: рассмотреть примеры и попытаться формализовать результат в виде определения.

Что такое «алгебраическая операция»?

Как найти ответ на этот вопрос?

1)     Найти определение в учебнике, энциклопеции и др. Неинтересно.

2)     Индуктивный вариант: рассмотреть примеры и попытаться формализовать результат в виде определения.

Такое учебное исследование гораздо полезнее, а результат усваивается лучше.

I        Понятие алгебраической операции

Что такое «алгебраическая операция»?

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Что такое «алгебраическая операция»?

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

Что такое «алгебраическая операция»?

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11;

Что такое «алгебраическая операция»?

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11; • + • = •.

Что такое «алгебраическая операция»?

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11; • + • = •.

Формализуем:

Что такое «алгебраическая операция»?

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11; • + • = •.

Формализуем: паре чисел — слагаемых суммы — мы сопоставляем число.

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11; • + • = •.

Формализуем: паре чисел — слагаемых суммы — мы сопоставляем число.

Какая стандартная математическая конструкция описывает такую Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11; • + • = •.

Формализуем: паре чисел — слагаемых суммы — мы сопоставляем число.

Какая стандартная математическая конструкция описывает такую

функция!

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11; • + • = •.

Формализуем: паре чисел — слагаемых суммы — мы сопоставляем число.

Какая стандартная математическая конструкция описывает такую

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11; • + • = •.

Формализуем: паре чисел — слагаемых суммы — мы сопоставляем число.

Какая стандартная математическая конструкция описывает такую ситуацию?

Нет, например, у операции

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11; • + • = •.

Формализуем: паре чисел — слагаемых суммы — мы сопоставляем число.

Какая стандартная математическая конструкция описывает такую ситуацию?

Нет, например, у операции (−x) один аргумент.

Рассмотрим для примера операцию сложения целых чисел.

Конкретизируем ситуацию:

2+3 = 5;

4+7 = 11; • + • = •.

Формализуем: паре чисел — слагаемых суммы — мы сопоставляем число.

Какая стандартная математическая конструкция описывает такую ситуацию?

Понятие функция! Всегда ли у этой функции два аргумента?

Нет, например, у операции (−x) один аргумент.

Получаем определение.

Определение 1. n-местной или n-арной алгебраической операцией на непустом множестве Ω называется функция с областью определения, область значений которой n множителей

включается в Ω.

Определение 1. n-местной или n-арной алгебраической операцией на непустом множестве Ω называется функция с областью определения, область значений которой n множителей

включается в Ω.

Например, операция сложения целых чисел отображает Z × Z в Z, она паре целых чисел a,b ставит в соответствие целое число a + b.

Определение 1. n-местной или n-арной алгебраической операцией на непустом множестве Ω называется функция с областью определения, область значений которой n множителей

включается в Ω.

Какие виды алгебраических операций наиболее интересны для изучения?

Определение 1. n-местной или n-арной алгебраической операцией на непустом множестве Ω называется функция с областью определения, область значений которой n множителей

включается в Ω.

Какие виды алгебраических операций наиболее интересны для изучения?

Во-первых, в соответствии со стратегией приоритетного изучения экстремальных ситуаций наиболее интересны операции с экстремальным количеством операндов.

Определение 1. n-местной или n-арной алгебраической операцией на непустом множестве Ω называется функция с областью определения, область значений которой n множителей

включается в Ω.

Какие виды алгебраических операций наиболее интересны для изучения?

Во-первых, в соответствии со стратегией приоритетного изучения экстремальных ситуаций наиболее интересны операции с экстремальным количеством операндов.

Во-вторых, операции с часто встречающимися свойствами, например, операции, для которых выполняется переместительный и сочетательный законы (коммутативность, ассоциативность).

Определение 1. n-местной или n-арной алгебраической операцией на непустом множестве Ω называется функция с областью определения, область значений которой n множителей

включается в Ω.

Если n = 1, то алгебраическая операция называется унарной, если n = 2 — то бинарной алгебраической операцией. Особую роль играют 0-арные операции, то есть константы. Например, числа 1 и 0 играют особую роль в теории целых чисел, их можно рассматривать как значения соответствующих 0-арных операций. Разумеется, 0-арные операции сейчас можно рассматривать, как некоторые «математические выкрутасы». Однако в дальнейшем мы увидим, что такой подход оказывается очень полезным.

Определение 1. n-местной или n-арной алгебраической операцией на непустом множестве Ω называется функция с областью определения, область значений которой n множителей

включается в Ω.

Примерами алгебраических операций на множестве действительных чисел являются операции сложения, умножения, вычитания. Деление ^[1] операцией не является, так как деление на 0 не определено, то есть пары вида (x,0) не входят в ее область определения. Это пример так называемой частичной операции, которые мы здесь рассматривать не будем.

Определение 1. n-местной или n-арной алгебраической операцией на непустом множестве Ω называется функция с областью определения, область значений которой n множителей

включается в Ω.

Вычитание на множестве натуральных чисел не является алгебраической операцией, это тоже частичная операция, так как, например, число −2 = 3 − 5 не является натуральным числом, то есть пара (3,5) не входит в область определения функции »вычитание».

Определение 1. n-местной или n-арной алгебраической операцией на непустом множестве Ω называется функция с областью определения, область значений которой n множителей

включается в Ω.

Обычно образ элемента x относительно операции f обозначают через f(x). Для бинарных алгебраических операций обычно используют другой способ обозначения образа: вместо f(x,y) его обозначают через x ∗ y, где ∗ — обозначение алгебраической операции. Например, мы пишем x + y, x · y, x − y и т.п.

Бинарная алгебраическая операция ∗ называется коммутативной, если выполняется тождество x ∗ y = y ∗ x; ассоциативной, есливыполняетсятождество(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Бинарная алгебраическая операция ∗ называется коммутативной, если выполняется тождество x ∗ y = y ∗ x; ассоциативной, есливыполняетсятождество(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Заметим, что сейчас мы осуществили качественный скачок в нашем развитии. В самом деле, до сих пор в выражениях типа (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) мы рассматривали в качестве переменных только буквы x,y,z, причем считали их числами. Сейчас мы уже можем считать, что x,y,z — не обязательно числа. Но главное достижение состоит в другом. Начиная с этого места мы в качестве переменной можем рассматривать обозначение операции ∗. Например, тождество (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) будет справедливым, если x,y,z целые числа, а под операцией ∗ понимается суммирование чисел. А можно вместо ∗ подставить операцию умножение чисел.

Бинарная алгебраическая операция ∗ называется коммутативной, если выполняется тождество x ∗ y = y ∗ x; ассоциативной, есливыполняетсятождество(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Следующий решительный шаг, который мы сделаем существенно позднее, состоит в превращении в «переменную» обозначения отношения, например символа =. В данной работе последняя идея не будет развиваться сколько-нибудь систематически, однако мы отметим, что на самом деле впервые с этой ситуацией Вы встречались еще в средней школе. Например, равенство треугольников — это всетаки »не совсем равенство», иногда важно, например, где нарисован треугольник, а не только его геометрические характеристики.

III         Некоторые классические алгебры

Определение 2. Алгеброй (в широком смысле) называется упорядоченная пара A = hA,Fi, где A — некоторое непустое множество, называемое носителем алгебры A, и F — множество операций алгебры A, определенных на A.

III               Некоторые классические алгебры

Определение 2. Алгеброй (в широком смысле) называется упорядоченная пара A = hA,Fi, где A — некоторое непустое множество, называемое носителем алгебры A, и F — множество операций алгебры A, определенных на A.

На одном и том же непустом множестве можно определить различные алгебры. Например, на множестве натуральных чисел можно определить алгебру hN,{+}i, а можно — алгебру hN,{·,1}i. Можно рассмотреть и «более богатую» (в смысле множества операций) алгебру hN,{+,·,1}i. Зачем же рассматривать «бедные» алгебры, если есть такая «богатая» алгебра? Ниже мы приведем некоторые ответы на этот вопрос.

III.1           Группоид

Определение 3. Пусть A — некоторое непустое множество, ∗ — бинарная операция на этом множестве. Тогда алгебра hA,{∗}i называется группоидом.

Группоидами являются алгебры hN,{+}i, hZ,{·}i, hN,{−}i, hQ,{max}i, где max — бинарная операция, выбирающая из элементов x,y максимальный, и т.п.

Группоид

Определение 4. Пусть A — некоторое непустое множество, ∗ — бинарная операция на этом множестве. Тогда алгебра hA,{∗}i называется группоидом.

Группоидами являются алгебры hN,{+}i, hZ,{·}i, hN,{−}i, hQ,{max}i, где max — бинарная операция, выбирающая из элементов x,y максимальный, и т.п.

Напомним, что здесь обозначение ∗ рассматривается, как переменная, но, в отличие от переменных x,y,..., значением переменной ∗ может быть только бинарная операция.

Полугруппа

Определение 5. Группоид hA,{∗}i называется полугруппой, если ∗ — ассоциативная операция, то есть выполняется тождество (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Иногда говорят, что A — полугруппа относительно операции ∗. При этом равенство (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) называют аксиомой полугруппы.

Группа

Определение 6. Пусть A — некоторое непустое множество, ∗ — бинарная операция, определенная на этом множестве, e — 0-местная операция на A, то есть e — некоторый элемент из A. Алгебра hA,{∗,e}i называется группой, если выполняются следующие утверждения (аксиомы группы):

G1. (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), то есть ∗ — ассоциативная операция.

G2. x ∗ e = e ∗ x = x (аксиома существования нейтрального элемента);

G3. для каждого элемента x ∈ A существует такой элемент x˜, что x ∗ x˜ = x˜ ∗ x = e (аксиома существования обратного элемента).

При этом операция ∗ называется групповой операцией.

III.3           Группа

Ясно, что группа является полугруппой. Множество целых чисел является группой относительно операции сложения и числа 0, то есть группой является алгебра hZ,{+,0}i. Во множестве натуральных чисел с операцией сложения нет «нейтрального» элемента, поэтому группой относительно операции сложения множество N не является. Но полугруппой множество N относительно операции + является. Во множестве натуральных чисел относительно операции умножения нейтральным элементом является, очевидно, число 1, так как n · 1 = 1 · n = n. Однако обратный элемент существует не для любого числа из N (имеется в виду обратный элемент, являющийся натуральным числом).

Пример 1. Рассмотрим на множестве A = {a,b,c} операции, заданные таблицами:

Выяснить, какие из этих операций являются коммутативными и какие из группоидов {}i, являются полугруппами. Выяснить, в каких из этих группоидов имеются нейтральные элементы и какие из них становятся группами после добавления во множество операций соответствующего нейтрального элемента.

Решение.

Решение. Эти таблицы (так называемые таблицы Кэли) задают операцию следующим образом.

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

Решение. Эти таблицы (так называемые таблицы Кэли) задают операцию следующим образом. Рассмотрим, например, таблицу для операции +. Элемент x + y стоит в строке, самый левый эле-

мент которой (отделенный вертикальной чертой от остальных элементов строки) равен x, и в столбце, самый верхний элемент которого

(отделенный горизонтальной чертой от остальных элементов столбца) равен y. В частности, из таблиц следует, что,

.

Решение. Как нетрудно увидеть, коммутативными являются операции , а операция  коммутативной не является, так как, например,.

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

Решение. Непосредственная проверка ассоциативности операции является громоздкой даже для такого «маленького» (всего три элемента в носителе!) группоида. Поэтому мы проведем эту проверку только относительно операции +, к тому же не для всех элементов.

Имеем

a +(a + a) = a + a = a,           (a + a)+ a = a + a = a ⇒        a +(a + a) = (a + a)+ a, a +(a + b) = a + b = b,        (a + a)+ b = a + b = b,            ⇒         a +(a + b) = (a + a)+ b, a +(a + c) = a + c = c,        (a + a)+ c = a + c = c, ⇒         a +(a + c) = (a + a)+ c.

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

Решение.

a +(a + a) = a + a = a,           (a + a)+ a = a + a = a ⇒        a +(a + a) = (a + a)+ a, a +(a + b) = a + b = b,        (a + a)+ b = a + b = b,            ⇒         a +(a + b) = (a + a)+ b, a +(a + c) = a + c = c,        (a + a)+ c = a + c = c, ⇒         a +(a + c) = (a + a)+ c.

Нетрудно подсчитать, что требуется перебрать 27 вариантов значений переменных x,y,z, то есть нам представит написать еще 24 строчек. Вы теперь уже достаточно грамотный, и мы можем с чистой совестью переложить эту работу на Вас. Здесь мы ограничимся тем, что разболтаем «военную тайну»: операции  ассоциативны, а операция  — не ассоциативная. Последнее легко проверяется:

, но.

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

Решение. Таким образом, группоиды hA,{+}i, hA,{∗}i и hA,{    }i, являются полугруппами. Группоид hA,{}i полугруппой не является, так как, например, , но

, то есть .

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

Решение. Очевидно, что в группоиде hA,{+}i элемент a является нейтральным. В группоиде hA,{∗}i также имеется нейтральный элемент: это b. А вот в группоидах {}i нет ни одного нейтрального элемента (легко показать, что если в группе нейтральный элемент существует, то он единственный).

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

Решение. Из рассмотренных четырех группоидов только hA,{+}i является группой. Обратные элементы задаются следующей табли-

цей:.

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

Решение. Обсудим некоторые интересные особенности рассмотренных группоидов. Алгебра hA,{+,a}i является группой с коммутативной групповой операцией. Такие группы играют настолько важную роль, что для них используется специальное название.

III.5             Абелевы (коммутативные) группы

Определение 7. Группа с коммутативной групповой операцией называется коммутативной группой или абелевой группой.

III.5             Абелевы (коммутативные) группы

Определение 7. Группа с коммутативной групповой операцией называется коммутативной группой или абелевой группой.

Не все группы коммутативны.

III.5             Абелевы (коммутативные) группы

Определение 7. Группа с коммутативной групповой операцией называется коммутативной группой или абелевой группой.

Невсегруппыкоммутативны.Например,множество{α,β,γ,δ,ε,ζ}

с операцией ◦, заданной таблицей, является

некоммутативной группой.

Определение 7. Группа с коммутативной групповой операцией называется коммутативной группой или абелевой группой.

Невсегруппыкоммутативны.Например,множество{α,β,γ,δ,ε,ζ}

с операцией ◦, заданной таблицей, является

некоммутативной группой. Можно эту группу задать иначе.

Можно иначе задать группу

Рассмотрим множество всех взаимно однозначных отображений множества {1,2,3} на себя.

Можно иначе задать группу

Пустьβ обозначаетотображение,заданноетаблицей, и δ обозначает отображение, заданное таблицей.

В качестве операции ◦ возьмем суперпозицию функций. Тогда достаточно положить α(x) ≡ x, γ(x) ≡ (β ◦ β)(x) ≡ β(β(x)), ε(x) ≡ (β ◦ δ)(x) = δ (β (x)), ζ(x) ≡ (β ◦ β ◦ δ)(x) = δ (β (β (x))).

Можно иначе задать группу

Можно предложить и другие интерпретации элементов α,β,γ,δ,ε,ζ с тем, чтобы получить ту же групповую операцию.

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

Вернемся к группоидам примера 1. В группоиде hA,{      }i операция «очень однообразная»: это функция-константа, каждой паре элементов из {a,b,c} ставящая в соответствие один-единственный элемент a.

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

В группоиде hA,{}i операция  обладает одним полезным свойством: для любых двух элементов u,v ∈ {a,b,c} разрешимы уравнения  относительно переменных x,y. Здесь уместно подчеркнуть, что в группе аксиомы G2, G3 широко используются именно для решения таких уравнений! Это свойство «роднит» группоид hA,{}i с группой, хотя этот группоид не является не только группой, но даже не является полугруппой.

                                        + a b c             ∗ a b c      a b c   a b c

Но особый интерес представляет для нас группоид hA,{∗}i. Рассмотрим подмножество B = {b,c} и ограничение^[2] ? операции ∗ на это подмножество:. Нетрудно понять, что h{b,c},{?,b}i является группой.

В большинстве случаев введение нового символа, например, ? для обозначения ограничения ∗ на {b,c}, представляется неким «излишеством», т.к. для любых элементов x,y ∈ B по определению ограничения имеем x ? y = x ∗ y. Поэтому обычно вместо символа ? можно пользоваться прежним символом ∗. По этому поводу мы примем специальное соглашение.

Соглашение 1. Для уменьшения количества обозначений мы вместо символа, обозначающего ограничение операции на подмножество (например, символа ?, обозначающего ограничение ∗ на {b,c}) будем использовать символ исходной операции (в рассматриваемом примере это ∗).

Соглашение 1. Для уменьшения количества обозначений мы вместо символа, обозначающего ограничение операции на подмножество (например, символа ?, обозначающего ограничение ∗ на {b,c}) будем использовать символ исходной операции (в рассматриваемом примере это ∗).

Это соглашение позволяет не вводить новый символ и использовать вместо него символ, обозначающий исходную операцию. В применении к рассматриваемому примеру мы будем говорить об операции ∗ на подмножестве B, хотя ∗ — операция на A, и, строго говоря, надо говорить о ? на множестве B. «Грамматические вольности» такого рода могут привести к серьезным недоразумениям, но в ситуациях, которые мы будем рассматривать, этого не произойдет.

III.8            Дистрибутивность

Но самое интересное состоит в том, что операции + и ∗ своеобразно «взаимодействуют» между собой. А именно, несложно проверить (перебором 27 вариантов), что на A = {a,b,c} выполняются тождества a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c и (b + c) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a. Эти формулы называются дистрибутивностью.

Определение 8. Кольцом или ассоциативным кольцом называется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1. x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

Определение 8. Кольцом или ассоциативным кольцом называется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1.    x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

2.    x +(y + z) = (x + y)+ z (ассоциативность «сложения»);

Значит, hK,{+}i — полугруппа

Определение 8. Кольцом или ассоциативным кольцом называется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1.    x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

2.    x +(y + z) = (x + y)+ z (ассоциативность «сложения»);

3.    в K существует элемент, который мы обозначим 0, такой, что для любого x из K выполняется соотношение x +0 = x (наличие нулевого элемента);

Определение 8. Кольцом или ассоциативным кольцом называется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1.    x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

2.    x +(y + z) = (x + y)+ z (ассоциативность «сложения»);

3.    в K существует элемент, который мы обозначим 0, такой, что для любого x из K выполняется соотношение x +0 = x (наличие нулевого элемента);

Значит, hK,{+}i — полугруппа с нейтральным элементом (с «единицей»).

ется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1.    x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

2.    x +(y + z) = (x + y)+ z (ассоциативность «сложения»);

3.    в K существует элемент, который мы обозначим 0, такой, что для любого x из K выполняется соотношение x +0 = x (наличие нулевого элемента);

4.    для любого x из K существует такой элемент (−x), что

(−x)+ x = 0 (элемент, обратный относительно +);

Значит, hK,{+}i — группа.

Определение 8. Кольцом или ассоциативным кольцом называется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1.    x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

2.    x +(y + z) = (x + y)+ z (ассоциативность «сложения»);

3.    в K существует элемент, который мы обозначим 0, такой, что для любого x из K выполняется соотношение x +0 = x (наличие нулевого элемента);

4.    для любого x из K существует такой элемент (−x), что

(−x)+ x = 0 (элемент, обратный относительно +);

ется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1.    x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

2.    x +(y + z) = (x + y)+ z (ассоциативность «сложения»);

3.    в K существует элемент, который мы обозначим 0, такой, что для любого x из K выполняется соотношение x +0 = x (наличие нулевого элемента);

4.    для любого x из K существует такой элемент (−x), что (−x)+ x = 0 (элемент, обратный относительно +);

Значит, hK,{+}i — абелева (коммутативная) группа — аддитивная группа кольца.

ется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1.    x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

2.    x +(y + z) = (x + y)+ z (ассоциативность «сложения»);

3.    в K существует элемент, который мы обозначим 0, такой, что для любого x из K выполняется соотношение x +0 = x (наличие нулевого элемента);

4.    для любого x из K существует такой элемент (−x), что

(−x)+ x = 0 (элемент, обратный относительно +);

5.    x · (y · z) = (x · y) · z (ассоциативность «умножения»);

ется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1.    x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

2.    x +(y + z) = (x + y)+ z (ассоциативность «сложения»);

3.    в K существует элемент, который мы обозначим 0, такой, что для любого x из K выполняется соотношение x +0 = x (наличие нулевого элемента);

4.    для любого x из K существует такой элемент (−x), что

(−x)+ x = 0 (элемент, обратный относительно +);

5.    x · (y · z) = (x · y) · z (ассоциативность «умножения»);

Значит, hK,{·}i — полугруппа.

ется алгебра hK,{+,·,0}i для которой выполняются следующие утверждения (аксиомы кольца):

1.    x + y = y + x (коммутативность «сложения»);

2.    x +(y + z) = (x + y)+ z (ассоциативность «сложения»);

3.    в K существует элемент, который мы обозначим 0, такой, что для любого x из K выполняется соотношение x +0 = x;

4.    для любого x из K существует такой элемент (−x), что

(−x)+ x = 0 (элемент, обратный относительно +);

5.    x · (y · z) = (x · y) · z (ассоциативность «умножения»);

6.    x · (y + z) = x · y + x · z, (y + z) · x = y · x + z · x (левая и правая дистрибутивности).

III.9           Кольцо

Часто это определение формулируют следующим образом: кольцом называется непустое множество K с операциями,

которые мы обозначим + и ·, в котором имеется элемент, который мы обозначим символом 0, причем выполняются приведенные выше аксиомы кольца.

hK,{+,0}i называется аддитивной группой кольца. hK,{·}i называется мультипликативной полугруппой кольца.

III.9                      Кольцо

Иногда в определении кольца отказываются от аксиомы 5 (ассоциативность «умножения») и заменяют ее какой-нибудь другой. В этом случае говорят о неассоциативных кольцах.

Выполнение аксиом 2-4 говорит о том, что K является группой относительно сложения, а выполнение при этом аксиомы 1 говорит о том, что это абелева или, иными словами, коммутативная группа.

III.10                Тело

Определение 9. Пусть A — непустое множество, +,· — операции на множестве A, и 0,1 — элементы множества A. Тогда алгебра hA,{+,·,0,1}i называется телом тогда и только тогда, когда выполняются следующие утверждения (аксиомы тела):

1.    hA,{+,0}i —абелева(коммутативная)группа;

2.    hA\{0},{·,1}i — группа (вообще говоря, некоммутативная);

3.    a · (b + c) = a · b + a · c        и (b + c) · a = b · a + c · a — законы дистрибутивности.

При этом группа hA,{+,0}i называется аддитивной группой тела, а группа hA\{0},{·,1}i называется мультипликативной группой тела.

Итак, мы имеем такую алгебру hA,{+,∗,a,b}i, что + и ∗ — такие коммутативные операции, что, во-первых, h{a,b,c},{+,a}i и h{b,c},{∗,b}i^[3] — абелевы (то есть коммутативные) группы, причем для ∗,+ выполняется дистрибутивность. Такие алгебры играют особую роль в современной математике. Такая алгебра называется полем (в алгебраическом смысле).

Определение 10. Пусть A — непустое множество, +,· — операции на множестве A, и 0,1 — элементы множества A. Тогда алгебра hA,{+,·,0,1}i называется полем тогда и только тогда, когда выполняются следующие утверждения (аксиомы поля):

1.    hA,{+,0}i —абелева(коммутативная)группа;

2.    hA\{0},{·,1}i —абелева(коммутативная)группа;

3.    a · (b + c) = a · b + a · c        и (b + c) · a = b · a + c · a — законы дистрибутивности..

При этом группа hA,{+,0}i называется аддитивной группой поля, а группа hA\{0},{·,1}i называется мультипликативной группой поля. Следуя физической традиции, элементы поля будем называть скалярами.

Помимо рассмотренного выше примера поля можно привести более важные примеры: поле рациональных чисел hQ,{+,·,0,1}i, поле действительных чисел hR,{+,·,0,1}i, и рассмотренное ниже поле комплексных чисел hC,{+,·,0,1}i.

Перейтиклекциипоматричнойалгебре?

Перейтиклекциипомногочленам?

III.12             Об идентификации алгебры по ее носителю

Соглашение 2. Нередко при проведении алгебраических исследований набор операций, определенных на данном носителе, ясен из контекста. Это позволяет идентифицировать алгебру по ее носителю. Поэтому в дальнейшем в ситуации, когда из контеста ясно, какие именно операции f₁,f₂,... определены на множестве A, мы нередко будем писать «алгебра A» вместо

«алгебра hA,{f₁,f₂,...}i».

Спасибо за внимание!

e-mail: melnikov@k66.ru,    melnikov@r66.ru

сайты: http://melnikov.k66.ru,       http://melnikov.web.ur.ru

Вернуться к списку презентаций?