Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )  в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще  называют шагом или разницей прогрессии. Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле 1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним  арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов  прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является  арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность. Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до  следующей В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах. 2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и  довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях. 3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k­го ее члена, то в Вам  пригодится следующая формула суммы 4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная  с k­го номера . Для этого используйте формулу Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;... Решение: Согласно условию имеем Определим шаг прогрессии По известной формуле находим сороковой член прогрессии  Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом  член прогрессии и сумму десяти. Решение: Распишем заданные элементы прогрессии по формулам . Найти первый От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической  прогрессии Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии Арифметическую прогрессию задано знаменателем  Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых. Решение: Запишем формулу сотого элемента прогрессии  и одним из ее членов  .  и найдем первый На основе первого находим 50 член прогрессии Находим сумму части прогрессии и сумму первых 100 Сумма прогрессии равна 250. Найти число членов арифметической прогрессии, если: а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111. Решение: Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме   Выполняем упрощения и решаем квадратное уравнение     Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых  восьми членов прогрессии составляет 111.   Решить уравнение 1+3+5+...+х=307. Решение:  Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем  разницу прогрессии Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными  величинами а1=1, d=2 равна Sn=307. Арифметическая прогрессия Примеры решения задач: Задача1 Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба  площадью 288м2.Приобретая опыт, студенты в каждый следующий день, начиная со второго,  выкладывали на 2 м2 больше чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобиться еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать,  если 1 коробки хватает на 1,2 м2 пола, а для замены некачественных плиток понадобиться 3 коробки?  Решение По условию задачи понятно ,что речь идет об арифметической прогрессии в которой пусть а1=х, Sn=288, n=16 Тогда используем формулу: Sn= (2а1+d(n­1))*n/0.86=200мм рт. ст. 288=(2х+2*15)*16/2 2х+30=36 х=3  Расчитаем, сколько м2 выложат студенты за 11 дней: S11=(2*3+2*10)*11.2=143м 2 288­143=145м2осталось после 11 дней работы,т.е. на 5дней 145/1,2=121(приближенно) коробок нужно заказать на 5 дней. 121+3=124 коробки нужно заказать с учетом брака Ответ:124 коробки  Задача2 После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в  немвоздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если  первоначально давление было 760 мм рт. ст.  Решение Так как после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха ,то остается  80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде послеочередного движения поршня , нужно  давление предыдущего движения поршня уиножить на 0,8. Мы имеем геометрическую прогрессию ,первый член которой равен 760, а знаменатель равен 0,8.  Число, выражающее давление воздуха в сосуде (в мм. рт. ст. ) после шести движений поршня, является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно 760*0.86=200мм.рт. ст. Ответ:200 мм.рт.ст. Пример 1. Задана арифметическая прогрессия, где пятый и десятый члены равны соответственно 38 и 23. Найти пятнадцатый член  прогрессии и сумму ее десяти первых членов. Пример 2. Найти число   членой арифметической прогресии 5,14,23,..., , если ее  ­ый член равен 239. Пример 3. Найти число   членов арифметической прогресии 9,12,15,..., , если ее сумма равна 306. №1. Найдите х, при котором числа х-1, 2х-1, х2-5 составляют арифметическую прогрессию Решение: Найдем разность 1 и 2 членов прогрессии: d=(2x-1)-(x-1)=x Найдем разность 2 и 3 членов прогрессии: d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4 Т.к. разность одинакова, то и члены прогрессии можно приравнять: x=x2-2x-4 x2-3x-4=0 D=9+16=25 x1=(3+5)/2=4 x2=(3-5)/2=-1 При проверке в обоих случаях получается арифметическая прогрессия Ответ: при х=-1 и х=4 №2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом a3=5; a7=13. Найти первый член прогрессии и сумму десяти. Решение: а3=а1+2d=5 a7=a1+6d=13 От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, значит d=2 Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии а1+2d=5 а1=5-2d=5-4=1 Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100 Ответ: а1=1; S10=100 Пример 1. В арифметической прогрессии, первый член которой равен ­3,4, а разность равна 3, найдите пятый и  одиннадцатый члены. Итак, мы знаем, что a1 = ­3,4; d = 3. Найти: a5, a11. Решение. Для нахождения n­ого члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой:  an = a1+ (n – 1)d. Имеем: a5 = a1 + (5 – 1)d = ­3,4 + 4 ∙ 3 = 8,6; a11 = a1 + (11 – 1)d = ­3,4 + 10 ∙ 3 = 26,6. Как видим, в данном случае, решение не сложное. Пример 2. Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 74, а разность равна ­4. Найдите тридцать четвертый член  данной прогрессии. Нам сказано, что a12 = 74; d = ­4, а найти надо a34. В данной задаче сразу применить формулу an = a1 + (n – 1)d не представляется возможным, т.к. не известен первый член a1.  Такая задача может быть решена в несколько действий. 1. С помощью члена a12 и формулы n­ого члена находим a1: a12 = a1 + (12 – 1)d, теперь упростим и подставм d: a12 = a1 + 11 ∙ (­4). Из этого уравнения находим a1: a1 = a12 – (­44); Двенадцатый член нам известен из условия задачи, поэтому без проблем вычисляем a1 a1 = 74 + 44 = 118. Переходим ко второму действию – вычислению a34. 2. Опять же по формуле an = a1 + (n – 1)d, так как уже известно a1, будем определять a34, a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 ∙ (­4) = 118 – 132 = ­14. Ответ: тридцать четвертый член арифметической прогрессии равен ­14. Как видно, решение второго примера более сложное. Два раза используется одна и та же формула для получения ответа. Но все так сложно. Решение можно сократить, если использовать дополнительные формулы. Как уже отмечалось, если в задаче известно a1, то формулу для определения n­ого члена арифметической прогрессии  применять очень удобно. Но, если в условии задан не первый член, то на помощь может прийти формула, которая связывает  между собой нужный нам n­ый член и заданный в задаче член ak. an = ak + (n – k)d. Решим второй пример, но уже с использованием новой формулы. Дано: a12 = 74; d = ­4. Найти: a34. Используем формулу  an = ak + (n – k)d. В нашем случае будет: a34 = a12 + (34 – 12) ∙ (­4) = 74 + 22 ∙ (­4) = 74 – 88 = ­14. Ответ в задаче получен значительно быстрей, потому что не пришлось выполнять дополнительных действий и искать первый  член прогрессии. С помощью приведенных выше формул можно решать задачи по вычислению разности арифметической прогрессии. Так,  применяя формулу an = a1 + (n – 1)d можно выразить d: d = (an – a1) / (n – 1). Однако задачи с заданным первым членом встречаются не так часто, и решать их можно применяя нашу  формулу an = ak + (n – k)d, из которой видно, что d = (an – ak) / (n – k). Давайте рассмотрим такую задачу. Пример 3. Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что a3 = 36; a8 = 106. Используя полученную нами формулу, решение задачи можно записать в одну строчку: d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14. Не будь в арсенале этой формулы, решение задачи заняло бы гораздо больше времени, т.к. пришлось бы решать систему  двух уравнений. Геометрические прогрессии     1. Формула  ­го члена (общего члена прогрессии)  .      2. Формула суммы первых  членов прогрессии:  о сходящейся геометрической прогрессии; в этом случае можно вычислить сумму всей прогрессии по принято говорить  . При  формуле  .      3. Формула "среднего геометрического": если  ,  ,  ­ три последовательных члена  геометрической прогрессии, то в силу определения имеем соотношения:  или  или  .     Пример 1.  Найти 4 числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумму крайних членов равна 27,  а произведение средних равно 72. Решение.  Запишем условие задачи. Имеются четыре числа:  ,  ,  ,  . Известно, что  и  что  . Воспользовавшись формулой общего члена геометрической прогрессии, получим,  и . Из второго уравнения  , что можно подставить  в первое уравнение и получить: , откуда следует квадратное  уравнение  , корнями которого являются числа 24 и 3. Находя  (что очевидно), мы  получим два набора чисел ­ первый начинается с 24:  и соответствует ,  ,  второй ­      (То, что один набор числе образует две прогрессии ­ со знаменателями  подобных задачах ситуация). ).  ( ,  и  ­ обычная в      Пример 2.  Имеется шесть последовательных членов геометрической прогрессии. Сумма первых трех в восемь раз меньше суммы последних трех. Найти знаменатель геометрической прогрессии.     Комментарий. Поскольку прогрессия определяется двумя параметрами, а в задаче только одно  условие, мы сможем найти только знаменатель.      Решение.  Запишем условие задачи:  члена прогрессии:  , выразим все числа с помощью формулы общего  откуда после сокращения      Ответ:  . и  .      Пример 3.  В геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 9, а сумма первых шести членов равна  ­63. Найти сумму первых десяти членов прогрессии. Комментарий. На самом деле мы сделаем больше ­ мы просто найдем и первый член ­  знаменатель ­  этой прогрессии. Тем самым мы, как принято говорить, "зададим" или "построим" ее.  Как результат ­ мы сможем найти все, что только нас спросят про эту прогрессию, в том числе и  сумму первых десяти ее членов. Заметим, что два условия позволяют определить два параметра.  Задача предлагалась абитуриентам Воронежского Государственного Университета.      Решение.  и  Нам пригодится то, что было проделано в предыдущем примере.  ; , откуда  и в качестве следствия из  предыдущего примера получим  . Найдем теперь    и  откуда окончательно: Пример 1. . Задана геометрическая прогрессия 2,6,18,... Найти десятый член прогрессии и сумму её двенадцати первых членов. Пример 1. Дана геометрическая прогрессия b1, b2, b3, ..., bn, ... . Известно, что b1 = 2/3,  q = ­ 3. Найти b6 Решение. В этом случае в основе решения лежит формула n­го члена геометрической прогрессии. Подставив в эту формулу n = 6 получим: b6 = b1 ∙ q5 = 2/3 ∙ (­3)5 = ­162 Ответ ­162. Пример 2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , … Решение b1= 12, b2= 4, q = 4/12 = 1/3 S = 12 / (1 ­ 1/3) =  12 / (2/3) = 12 ∙ 3 / 2  = 18 Ответ 18. Пример 3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150. Найти b1, если q = 1/3 Решение 150 = b1 / (1­ 1/3) b1 = 150∙ 2/3 b1= 100 Ответ 100.