Арифметические основы компьютера.
Системы счисления.
Понятия о системах счисления.
Числа принято изображать с помощью специальных символов, называемых цифрами.
|
Совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются, называют системой счисления. |
Системы счисления разделяются на две группы: позиционные и непозиционные.
В непозиционной системе счисления смысл каждой цифры числа не зависит от занимаемой ею позиции. Примером такой системы счисления является римская система. В числе ХХХ, записанном в этой системе, цифра Х в любой позиции означает 10 (десять).
Поскольку выполнять арифметические действия с числами в непозиционных системах счисления достаточно сложно, то постепенно во всем мире перешли к позиционным системам счисления.
В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее места (позиции). Например, в числе 737,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основанием позиционной системы счисления называется число используемых цифр в системе.
За основание системы можно принять любое натуральное число - два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения:
a n-1 qn-1 + an-2 qn-2 + ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m , где a1 - цифра системы счисления; n и m - число целых и дробных зарядов, соответственно.
Десятичная система счисления.
Со школьной скамьи, имея дело с числами, мы привыкли пользоваться одной системой счисления - десятичной. Название "десятичная" объясняется тем, что в основе этой системы лежит основание десять. В этой системе для записи чисел используются десять цифр 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9.
Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции, или местоположения, в числе.
|
Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом. |
Например, запись 425 означает, что число состоит из 4 сотен, 2 десятков и 5 единиц. Цифра 5 стоит в разряде единиц, цифра 2 - в разряде десятков, цифра 4 - в разряде сотен.
Если записать эти же цифры в другом порядке, например, 524, то это число содержит 5 сотен, 2 десятка и 4 единицы.
При этом цифра 5 имеет наибольший вес и называется старшей цифрой числа, а цифра 4 - наименьший вес и называется младшей цифрой этого же числа. Различие весов цифр в числе 524 становится очевидным, если это число записать в виде суммы
5 * 102 + 2 * 101 + 4 * 100 ,
в этой записи число 10 - основание системы счисления. Для каждой цифры числа основание 10 возводится в степень, зависящую от позиции цифры, и умножается на эту цифру. Степень основания для единиц равна нулю, для десятков - единице, для сотен - двум и т.д.
Если десятичное число дробное, то оно тоже легко записывается в виде суммы, в которой степень основания для каждой цифры дробной части отрицательная и равна -1 для старшей цифры дробной части, - 2 для следующей цифры дробной части и т.д.
Например, десятичное число 384,9506 выразится суммой:
384,9506 = 3 * 102 + 8 * 101 + 4 * 100 + 9 * 10-1 + 5 * 10-2 + 0 * 10-3 + 6 * 10-4
856,25 = 8 * 102 + 5 * 101 + 6 * 100 + 2 * 10-1 + 5 * 10-2
12937,1 = 1 * 104 + 2 * 103 + 9 * 102 + 3 * 101 + 7 * 100 + 1 * 10-1 .
Таким образом, вес любой цифры десятичного числа представляет собой определенную целую степень десяти, а значение степени диктуется позицией соответствующей цифры.
Вопросы и задание
1. Что называют системой счисления?
2.В чем отличие позиционных систем счисления от непозиционных?
3. Что называют основанием позиционной системы счисления?
4. Представьте в виде суммы степеней основания числа:
а) 3678,89810; б) 7,2908310; в) 37000,000110; г) 0,003210.
Двоичная система счисления.
В компьютерах применяется, как правило, не десятичная, а позиционная двоичная система счисления, т.е. система счисления с основанием 2.
|
В двоичной системе любое число записывается с помощью двух цифр 0 и 1 и называется двоичным числом. |
Для того что бы отличить двоичное число от десятичного числа, содержащего только цифры 0 и 1, к записи двоичного числа в индексе добавляется признак двоичной системы счисления, например 110101,1112.
|
Каждый разряд (цифру) двоичного числа называют битом. |
Важное достоинство двоичной системы - удобство физического представления цифр (например, цифре 1 может соответствовать наличие электрического напряжения, а цифре 0 - отсутствие напряжения) и простота аппаратуры компьютера, в частности, арифметическо - логического устройства, предназначенного для выполнения арифметических и логических операций над двоичными числами.
Как и десятичное число, любое двоичное число можно записать в виде суммы, явно отражающей различие весов цифр, входящих в двоичное число. В этой сумме в качестве основания используется число 2. Например, для двоичного числа 1010101,101 сумма примет вид:
1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 * 2-3.
Эта сумма записывается по тем же правилам, что и сумма для десятичного числа. В данном примере двоичное число имеет семизначную целую и трехзначную дробную части. Поэтому старшая цифра целой части, т.е. единица, умножается на 27-1 = 26, следующая цифра целой части, равная нулю, умножается на 25 и т.д. по убывающим степеням двойки до младшей, третьей, цифры дробной части, которая будет умножена на 2-3. Выполняя в этой сумме арифметические операции по правилам десятичной системы, получим десятичное число 85,625. Таким образом, двоичное число 1010101,101 совпадает с десятичным числом 85,625, или 1010101,1012 = 85,62510.
|
Правило перевода. Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления, нужно двоичное число представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами – цифрами и найти эту сумму. |
Существенным недостатком двоичной системы является то, что для записи в этой системе требуется довольно много цифр 0 и 1. Это затрудняет восприятие двоичных чисел человеком. Например, десятичное число 156 в двоичной системе имеет вид 10011100. Поэтому двоичную систему применяют, как правило, для "внутренних нужд" компьютера, а для работы человека с компьютером выбирают систему счисления с большим основанием. При этом часто используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы, поскольку как будет показано дальше между этими двумя системами и двоичной системой существует простая связь, облегчающая перевод чисел из одной системы в другую.
Задания:
1. Представьте в виде суммы степеней основания числа:
а) 1001,0112; б) 1,100012; в) 0,0001012; г) 1000,00012; д) 0,10001102; е) 110100,112.
2. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную:
а) 101000112; б) 11010112; в) 10110112; г) 110110012; д) 111012; е) 0111000012;
ж) 10010012; з) 11101112; и) 101101112.
Восьмеричная система счисления.
В восьмеричной системе, т.е. системе счисления с основанием 8, числа выражаются с помощью восьми цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7. Например, в восьмеричном числе 357 есть семь единиц, пять восьмерок и три восьмерки в квадрате, т.е. 3578 = 3 * 82 + 5 * 81 + 7 * 80, где индекс "8" у числа 357 означает систему счисления. Выполняя в записанной сумме арифметические действия по правилам десятичной системы, получим, что 3578 = 23910, т.е. восьмеричное число 357 совпадает с десятичным числом 239.
Задание:
Переведите из восьмеричной системы счисления в десятичную:
а) 5558; б) 2358; в) 5178; г) 6368; д) 7318; е) 12348; ж) 2378; з) 3548; и) 123,418.
Шестнадцатеричная система счисления.
Напомним, что двоичная система счисления для использования вне компьютера очень громоздка. Например: 89512810 = 110110101000100110002.
Для сокращения записи двоичных числе используют систему счисления с основанием 16. Эту систему называют шестнадцатеричной.
В шестнадцатеричной позиционной системе счисления для записи чисел используются цифры десятичной системы счисления 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и для обозначения шести недостающих цифр используются первые прописные буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F, имеющие значения десятичных чисел 10,11,12,13,14 и 15 соответственно. Таким образом, "цифрами" шестнадцатеричной системы счисления являются все цифры десятичной системы и, кроме того, шесть латинских букв.
Приведем все цифры шестнадцатеричной системы: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. В шестнадцатеричной системе счисления за числом F следует число F + 1, что в десятичной системе соответствует 15 + 1 = 16.
Поэтому шестнадцатеричное число может иметь, например, вид 3Е5А1. Расписывая это число суммой с учетом основания 16, получим:
3Е5А116 = 3 * 164 + Е * 163 + 5 * 162 + А * 161 + 1 * 160.
Выполняя арифметические операции по правилам десятичной системы и учитывая, что А = 10, Е = 14, получим 3Е5А116 = 25539310. Заметьте, что в шестнадцатеричной системе более компактно, чем в десятичной системе.
Задание:
Переведите из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную:
|
а) 9116 |
б) 23516 |
в) 1F16 |
|
г) 4D16 |
д) 7С116 |
е) АВС16 |
|
ж)5А316 |
з) F5416 |
и) 101016 |
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Нередко возникает необходимость переводить числа из одной системы в другую. Перевод чисел из двоичной, восьмеричной или шестнадцатеричной систем в десятичную систему был показан выше.
Перевод целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.
При переводе десятичного числа в двоичное нужно это число делить на 2.
Пример. Число 891 перевести из десятичной системы в двоичную систему счисления.
Решение:
891 : 2 = 445 (1) 27 : 2 = 13 (1)
445 : 2 = 222 (1) 13 : 2 = 6 (1)
222 : 2 = 111 (0) 6 : 2 = 3 (0)
111 : 2 = 55 (1) 3 : 1 = 1 (1) (старшая цифра двоичного числа)
55 : 2 = 27 (1)
Записываем одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Ответ: 98110 = 11011110112.
|
Правило перевода. Чтобы перевести целое положительное десятичное число в двоичную систему счисления, нужно это число разделить на 2. Полученное частное снова разделить на 2 и т. д. до тех пор, пока частное не окажется меньше 2. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
|
Задание:
Переведите десятичные числа в двоичную систему счисления:
а) 32210; б) 15010; в) 28310; г) 42810; д) 31510; е) 18110; ж) 17610; з) 12510; и) 22910;
к) 8810.
Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления.
Перевод десятичных дробей и двоичную систему счисления заключается в поиске целых частей при умножении на 2.
Пример. Переведем десятичную дробь 0,625 в двоичную систему счисления.
Чтобы найти первую после запятой цифру двоичной дроби, нужно умножить заданное число на 2 и выделить целую часть произведения.
Решение:
0,625 * 2 = 1,250, целая часть равна 1;
0,250 * 2 = 0,500, целая часть равна 0;
0,500 * 2 = 1,000, целая часть равна 1.
Дробная часть последнего произведения равна нулю. Перевод закончен. Записываем в одну строку полученное значение целой части, начиная с первой цифры.
Ответ: 0,62510 = 0,1012.
Каждый раз в умножении на 2 участвует только дробная часть десятичного числа.
|
Правило перевода. Чтобы перевести положительную десятичную дробь в двоичную, нужно дробь умножить на 2. Целую часть произведения взять в качестве первой цифры после запятой в двоичной дроби, а дробную часть вновь умножить на 2. В качестве следующей цифры двоичной дроби взять целую часть этого произведения, а дробную часть произведения снова умножить на 2 и т.д. |
При переводе конечной десятичной дроби в двоичную может получится периодическая дробь.
Пример. Переведем десятичную дробь 0,3 в двоичную систему счисления.
Решение:
0,3 * 2 = 0,6, целая часть равна 0;
0,6 * 2 = 1,2, целая часть равна 1;
0,2 * 2 = 0,4, целая часть равна 0;
0,4 * 2 = 0,8, целая часть равна 0;
0,8 * 2 = 1,6, целая часть равна 1;
0,6 * 2 = 1,2, целая часть равна 1 и т.д.
Дробная часть 0,6 уже была на втором шаге вычислений. Поэтому вычисления начнут повторяться. Следовательно, в двоичной системе счисления число 0,3 представляется периодической дробью.
Ответ: 0,310 = 0,0 (1001)2.
На практике эти операции продолжают до тех пор, пока после запятой не получится заданное количество цифр.
Задание:
Переведите дробные десятичные числа в двоичную систему счисления:
а) 0,32210; б) 150,700610; в) 283,24510; г) 0,42810; д) 315,07510; е)181,36910; ж) 176,52610; з) 37,2510; и) 206,12510.
Перевод десятичных чисел в восьмеричную систему счисления.
Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяется тот же прием, что и при переводе в двоичную систему.
Преобразуемое число делят на 8 по правилам десятичной системы с запоминанием остатка, который, конечно, не превышает 7. Если полученное частное больше 7, его тоже делят на 8, сохраняя остаток. Новое частное, если оно больше 0, в свою очередь делят на 8. Этот процесс деления на 8 продолжается до тех пор, пока полученное частное не станет равно нулю. Затем выписывают подряд все остатки, начиная с последнего. Это и будет результирующее восьмеричное число.
Пример. Переведем число 891 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему.
Решение:
892 : 8 = 111 (3)
111 : 8 = 13 (7)
13 : 8 = 1 (5) (старшая цифра двоичного числа)
Ответ: 89110 = 15738.
Задание:
Переведите десятичные числа в восьмеричную систему счисления:
а) 32210; б) 15010; в) 283,24510; г)42810; д) 315,07510; е)181,36910; ж) 176,52610;
з) 700610; и)12510; к) 22910; л) 8810; м) 37,2510; н) 206,12510.
Перевод десятичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления.
Аналогично преобразуют десятичное число в шестнадцатеричное с той лишь разницей, что это число вместо 8 делят на 16.
Пример. Число 891 перевести из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение:
891 : 1 6 = 55 (11)
55 : 16 = 3 (7) ("цифра 11" в шестнадцатеричной системе обозначается латинской буквой В)
остаток 3 (старшая цифра шестнадцатеричного числа).
Ответ: 89110 = 37В16.
Задание:
Переведите десятичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:
а) 32210; б) 150,700610; в) 283,24510; г) 42810; д) 315,07510; е)18110; ж) 176,52610; з)36910; и) 12510; к) 22910; л) 8810; м) 37,2510; н)206,12510.
Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную систему счисления.
Весьма прост процесс преобразования двоичного числа в восьмеричное или шестнадцатеричное число.
Для записи любой цифры восьмеричного числа необходимы три двоичные цифры (триады). Поэтому преобразуемое двоичное число разделяют справа налево на группы по три двоичные цифры, при этом самая левая группа может содержать меньше трех двоичных цифр. Например, двоичная цифра 011 есть цифра три в восьмеричной системе счисления. Затем каждую группу двоичных цифр выражают в виде восьмеричной цифры, представленной в таблице:
|
Двоичная система |
Восьмеричная система |
|
000 |
0 |
|
001 |
1 |
|
010 |
2 |
|
011 |
3 |
|
100 |
4 |
|
101 |
5 |
|
110 |
6 |
|
111 |
7 |
Например, двоичное число 1101111011, разбитое на группы по три двоичные цифры, можно записать как 1 101 111 011 и затем после записи каждой группы одной восьмеричной цифрой получить восьмеричное число 1573.
Задание:
Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления:
а) 111101100112; б) 11011010010012; в) 10011010110012; г) 110111110112; д) 10101110111012; е) 11101111010112; ж)1001111110111,01112; з) 1110101011,10111012; и) 10111001,1011001112; к) 1011110011100,112; л) 10111,11111011112; м) 1100010101,110012.
Перевод чисел двоичной системы в шестнадцатеричную систему счисления.
Аналогично преобразуют двоичное число в шестнадцатеричное с той лишь разницей, что преобразуемое двоичное число делят на группы на четыре двоичных цифры в каждой (тетрады), поскольку для записи любой цифры шестнадцатеричного числа необходимы четыре двоичных цифры.
|
Десятичная система |
Двоичная система |
Шестнадцатеричная система |
|
|
0 |
0000 |
0 |
|
|
1 |
0001 |
1 |
|
|
2 |
0010 |
2 |
|
|
3 |
0011 |
3 |
|
|
4 |
0100 |
4 |
|
|
5 |
0101 |
5 |
|
|
6 |
0110 |
6 |
|
|
7 |
0111 |
7 |
|
|
8 |
1000 |
8 |
|
|
9 |
1001 |
9 |
|
|
10 |
1010 |
A |
|
|
11 |
1011 |
B |
|
|
12 |
1100 |
C |
|
|
13 |
1101 |
D |
|
|
14 |
1110 |
E |
|
|
15 |
1111 |
F |
|
Поэтому двоичное число 1101111011, используемое в предыдущем примере, после разбиения на группы по четыре двоичных цифры, можно записать как 11 0111 1011 и после выражения каждой группы одной шестнадцатеричной цифрой получить шестнадцатеричное число 37В.
Эти тождества легко проверить.
Например, 10112 = 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 1110 = В16.
Задание:
Переведите в двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления по таблице:
а) 111101100112; б) 11011010010012; в) 10011010110012; г) 110111110112; д) 10101110111012; е) 11101111010112; ж) 100100102; з) 10100101,01112; и) 10011000,000101012; к) 1001111110111,01112; л) 1011110011100,112; м) 1110101011,10111012; н) 10111,11111011112; о) 1100010101,110012; п) 10111001,1011001112.
Арифметические основы компьютера
Арифметические основы компьютера
Арифметические основы компьютера
Арифметические основы компьютера
Арифметические основы компьютера
Арифметические основы компьютера
Арифметические основы компьютера
Арифметические основы компьютера
Арифметические основы компьютера
Арифметические основы компьютера
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
