БРОШЮРА "Интересные формулы для вычисления площади трапеции"

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №4» г. Краснослободска Интересные способы вычисления площади трапеции Работу выполнила: ученица 9А класса Шерстнева Анна. Учитель математики: Лабутова Л.В. «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия» Наше время очень точно характеризуют слова,  сказанные великим французским архитектором Ле  Корбюзье в начале XX века. Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов, улиц, гор и полей,  творениями природы и человека.  Геометрия возникла  очень давно из потребностей людей. Человек применял  свои знания о формах, размерах, измеряя расстояния и  площади, строя жилища, размечая землю. Он  использовал знания, которые получил из наблюдений,  опытов. Одной из древнейших практических задач была задача  на определение площадей геометрических фигур. Уже  древние греки умели правильно находить площади  многоугольников. В школьном курсе геометрии мы изучили различные многоугольники, рассмотрели их  свойства, признаки, узнали основные элементы. Одной  из задач по геометрии ОГЭ является задача вычисления площади многоугольника. Для этого надо знать много  формул и уметь их применять при решении задач.  Одним из многоугольников, рассматриваемых в курсе  геометрии, является трапеция. Исследуя различные  источники, я нашла много формул, позволяющих  вычислить площадь трапеции. Я хочу поделиться с  одноклассниками этими формулами.  Трапеция (в переводе означает «столик», «трапеза»)­  это выпуклый четырёхугольник, у которого две  стороны параллельны, а две другие не параллельны.  Параллельные стороны называются основаниями, а две  другие боковыми сторонами.                        В                   С                      М                       К                                    А                            Д ВС     АД – основания, АВ и СД – боковые стороны,  МК – средняя линия. Виды трапеции                                                                                                                                                    равнобедренная                    прямоугольная            (боковые стороны равны)           (два угла прямые) Исследование 1. «Вычисление площади по учебнику» Дано: АВСД – трапеция Найти: SАВСД      В                                С                  М  А                                                        Д         К Решение. Проведем диагональ ВД. Получили два  треугольника. По свойству площадей SАВСД = S   АВД+S   ВСД =  1 2 АД*ВК +  1 2  ВС*МД= 1 2  ВК (АД +ВС) Вывод: площадь трапеции равна произведению  полуссумы оснований на высоту трапеции. Исследование 2. «Вычисление площади через построение внешних  высот трапеции» Дано: АВСД – трапеция Найти: SАВСД     М       В                     С                  К    А                                                     Д Решение. Проведём высоты АМ и ДК, АМ=ДК, АД=  МК. Трапеция состоит из разности прямоугольника  АМКД и двух прямоугольных треугольников АМВ и  СКД.  SАВСД=SАМКД    ­  SАМВ ­ SСКД= АД*АМ ­  1 2 МВ*АМ ­ 1 2   СК*КД = АД*АМ ­  1 2   АМ(МВ + СК)=  АД*АМ ­ 1 2  АМ (АД­ВС)= АМ  (АД ­    1 2  АД + 1 2   ВС)=  1 2 АМ(  АД+ВС)  Вывод: площадь трапеции равна произведению  полуссумы оснований на высоту трапеции. Исследование 3. «Вычисление площади трапеции через среднюю линию»      В                                С                      М                                           Р         А                                                        Д         К Дано: АВСД – трапеция, МР –средняя линия Найти: SАВСД Решение. Мы знаем, что средняя линия равна  полусумме оснований трапеции. Получаем, что SАВСД=  1 2  (АД +ВС) *ВК= МР*ВК Вывод: площадь трапеции равна произведению   средней линии на высоту трапеции. Исследование 4. «Вычисление площади трапеции с помощью построения внутренних высот трапеции» Дано: АВСД – трапеция, МР –средняя линия Найти: SАВСД                              В                      С                         А            К              Р          Д Решение.  Проведём высоты ВК и СР, ВК=СР, ВС= КР. Трапеция состоит из  суммы прямоугольника  КВСР  и  двух прямоугольных треугольников АКВ и СРД.  SАВСД=SВКРС    +  SАКВ + SСРД= ВС*ВК +  1 2 АК*ВК + 1 2   СР*РД = ВС*ВК +  1 2  АК + 1 2 РД)= ВК (2*  1 2  ВК (АК + РД)= ВК (ВС + 1 2 ВС + 1 2  АК + 1 2 РД)=  1 2  ВК(ВС+ АД) Вывод: площадь трапеции равна произведению  полуссумы оснований на высоту трапеции Исследование 5. «Вычисление площади трапеции через диагонали и углу между ними» Для четырехугольников в геометрии часто используется формула площади через диагонали и углу S= αsin21dd , где α  между ними.  ‒  угол между диагоналями   и  1d 2d Дано: АВСД – трапеция, АС и ВД – диагонали, α  угол между диагоналями. Найти: SАВСД  ‒ В                   С                           О      А                                          Д Решение. SАВСД  =  SАВО  + SВСО +SСОД+ SАОД=           α 1 2  АО*ВО*sinα +  1 2  CО*ВО*sin(1800­α) + 1 2   CО*ДО*sinα + 1 2  АО*ДО*sin(1800­α) =  1 2  sinα  (ВО(АО +ОС) + ДО (СО+АО))=  +ДО))=  1 2  sinα АС*ВД 1 2  sinα (АС * (ВО  Вывод: площадь трапеции равна произведению   диагоналей трапеции на синус угла между ними,  деленному на 2. Исследование 6. «Вычисление площади трапеции через построение прямой, проходящей через середину боковой стороны» Дано: АВСД – трапеция, ВК=КА, СР ­ высота Найти: SАВСД                                 В                      С                               К                          М                  А                                       Д                                                         Р Решение. Через середину стороны ВА провели прямую, которая пересекает продолжение стороны АД в точке  М. Треугольники МАК и ВКС равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, ВС=МА. SМАК=SКВС. SАВСД= SАКСД + SКВС                                 SАВСД =     SМСД SМСД= SАКСД + SКАМ           Вывод: площадь трапеции равна произведению  полуссумы оснований на высоту трапеции. Исследование 7. «Вычисление площади трапеции при проведении перпендикуляра к боковой стороне из  середины другой боковой стороны» Дано: АВСД – трапеция, СК=КД, КМ      АВ Найти: SАВСД           В               С        Р       М                          К   А                            О               Д Решение. Через середину отрезка СД проводим  прямую, параллельную АВ. Треугольники СРК и КОД  равны по стороне и двум углам, прилежащим к этой  стороне.  SАВСД=SАВСКО +SОКД=SАВРО = АВ*КМ Вывод: площадь трапеции можно найти как  площадь параллелограмма, то есть как  произведение боковой стороны трапеции на высоту,  опущенную из середины другой боковой стороны. Исследование 8. «Вычисление площади трапеции через построение прямой, параллельной одной из боковых сторон» Дано: АВСД – трапеция, СМ// АВ Найти: SАВСД                  В               С          А                ММ       Д                     Р    М    К        Решение. Трапеция разбивается прямой СМ на  параллелограмм и треугольник. SАВСД  = SАВСМ +SСМД= АМ*ВР +  (2АМ+МД)=  1 2  ВР*(АД+ВС) 1 2  МД*СК=  1 2  ВР  Вывод: площадь трапеции равна произведению  полуссумы оснований на высоту трапеции. Исследование 9. «Вычисление площади трапеции с помощью построения перпендикуляров через середины боковых сторон» Дано: АВСД – трапеция, ВК=КА, Найти: SАВСД М       В               С   К   Е                             Р А  О                        Т   Д Решение.    Через середины боковых сторон провели  перпендикуляры МО и КТ. Треугольники АОЕ и ЕМВ,  ТДР и СКР равны как прямоугольные по гипотенузе и  острому углу.  SАВСД = SОМКТ Вывод: площадь трапеции равна площади  прямоугольника. Исследование 10 «Вычисление площади трапеции с помощью формулы Пика» Открыта   австрийским   математиком   Георгом Пиком в 1899 году. Теорема П ка:ии   площадь многоугольника(в том числе   трапеции)   с   целочисленными   вершинами   равна S=В  +  Г / 2  − 1, где  В — количество целочисленных точек   внутри   многоугольника,   а  Г —   количество целочисленных точек на границе многоугольника. В=7,  Г=9 S=7+ 9/2­1=10,5 Исследование 11. «Вычисление площади трапеции через вторую среднюю линию» Дано: АВСД – трапеция, МР – вторая средняя линия Найти: SАВСД В М С А Р Д Решение. Соединив точки А и М, С и Р,  получим что  площадь трапеции AМCР,  S AМCР =  1 2  АС*МР*sin ,  где  ­ угол между отрезками МР и AC. SАСР= SСРД и  SАВМ=SМСР. Значит, площадь трапеции ABCD равна  удвоенной площади трапеции AМCР. Вывод: площадь трапеции равна произведению  второй средней линии на диагональ трапеции и на  синус угла между ними. Решение задач на вычисление площади трапеции. 1. Основания трапеции равны 10 см и 6 см,  вторая средняя линия – 4 см, угол между  средними линиями 30º. Найти площадь  трапеции. Решение:                В         М         С                        К                    О          Е                           А            Т       Р                      Д       Дано: АВСД –трапеция, ВС=6см, АД=10см , МР=4 см – вторая средняя линия. Угол КОМ=300 Найти: S АВСД Решение: опустим высоту МТ, она равна половине МР,  так как в прямоугольном треугольнике МРТ угол ТРМ  равен 300. 1 2  (ВС +АД)*МТ= 8*2=16см2 S АВСД=  2.Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 9, а угол между ними составляет 1500.  Решение. S= 1 2  d1*d2*sin1500= 33,75 3. Учащиеся школы №4 поздравили весь  педагогический коллектив школы с праздником, заказав поздравление в газете «Звезда». Найдите стоимость  объявления, если стоимость 1см2 объявления 4рубля. Заключение. Как   сказал   Алексей   Николаевич   Крылов:  «Рано или   поздно   всякая   правильная   математическая   идея находит применение в том или ином деле».  Я считаю, что   формулы   для   вычисления   трапеции,   которые   я знала и, которые разобрала, пригодятся для успешной сдачи   экзамена.   Эти   формулы   позволяют   расширить свои   возможности:   с   одной   стороны   они   экономят драгоценное   время,   а   с   другой   стороны   существенно облегчают вычисления при решении задач. Кроме того, многие из  них нетрудно запомнить. СОДЕРЖАНИЕ. 1. Введение 2. Способы вычисления площади трапеции 3. Применение формул к решению задач 4. Заключение 5. Содержание 6. Литература. Литература 1. Л. С. Атанасян и др. «Геометрия 7­9» Учебник  для образовательных учреждений/­ М.,  Просвещение, 2015 2. Глейзер   Г.И.   История   математики   в   школе.   Под   ред.   В.Н. Пособие   для   учителей.   Молодшего. ­ М.: Просвещение, 1964. ­ 376 с. 3. Фестиваль идей – portfolio.1september.ru/work 4. ОГЭ 2017: Математика. 9 класс. 3 модуля. ОГЭ.  30 вариантов типовых тестовых заданий/ под ред. И. В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен».  МЦНМО, 2017 – 167 с.