Четырехугольники. Свойство четырехугольников. 8 класс.

Автор:
Сергеева Ирина Альбертовна,
учитель математики

2021год

Параллелограмм

𝑨𝑨𝑩𝑩∥𝑪𝑪𝑫𝑫 и 𝑩𝑩𝑪𝑪∥𝑨𝑨𝑫𝑫

Свойства углов параллелограмма

Свойство сторон параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Докажем, что
𝑨𝑩=𝑪𝑫 и 𝑩𝑪=𝑨𝑫.

Проведем диагональ BD. Получили два треугольника АВD и СDB.

Они равны, т.к.
BD – общая сторона,
∠ABD = ∠CDB (накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD),
∠ADB = ∠DBC (накрест лежащие при BС ∥ AD и секущей BD).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т.е. AB =CD , BC = AD

Свойство диагоналей параллелограмма

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Докажем, что точка О – середина диагоналей AC и BD.

Треугольники BOC и DOA равны, т.к.
BC = AD (по свойству сторон параллелограмма),
∠OBC =∠ODA (накрест лежащие при
BC ∥ AD и секущей BD),
∠BCO = ∠OAD (накрест лежащие при
BC ∥ AD и секущей AC).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т.е. BO = OD, CO = OA, значит O – середина диагоналей AC и BD.

Параллелограмм. Решение задач

Задача: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. ∠BCA = 30°, ∠BAC = 40°. Найдите все углы параллелограмма.

Решение:

Рассмотрим ΔBAC.
У него ∠BCA = 30°, ∠BAC = 40°,
значит ∠B = 180°−(𝟑𝟑𝟎𝟎°+𝟒𝟒𝟎𝟎°)=𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎°.

∠B = ∠D = 110°
(по свойству противоположных углов),

∠A+∠B=180°, ⇒
∠A=180°-110°=70°, ∠C=∠A=70°
(по свойству противоположных
углов параллелограмма)

Ответ: ∠C=∠A=70°, ∠B = ∠D = 110°

Параллелограмм. Решение задач

Задача: Найдите стороны параллелограмма, если две его стороны относятся как 4:5, а периметр равен 72 см.

Решение :

Т. к. отношение сторон равно 4: 5, то речь в условии задачи идет о соседних сторонах параллелограмма.
4+5 = 9 – частей на сумму
сторон AB и BC.
AB + BC = 72: 2 = 36 см,

36 : 9 = 4 (см) – одна часть,
AB = 4·4=16 (см), BC = 4·5=20 (см).
CD = AB = 16 см, AD = BC = 20 см
(по свойству сторон параллелограмма)

Ответ: CD = AB = 16 см,
AD = BC = 20 см

Параллелограмм. Решение задач

Задача: в параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А. Она разбивает сторону ВС на отрезки BH =6 см и HC =4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

∠3=∠2, т.к. АH – биссектриса,

∠1=∠3 (накрест лежащие
при BC∥AD и секущей AH), ⇒ ∠1=∠2,

ΔABH – равнобедренный ( по признаку),
⇒ AB = BH = 6cм.

BC = AD = 10 cм, AB = CD = 6 cм.
Р = 2·(10+6) = 32 см.

Ответ: P=32 см.

Параллелограмм. Решение задач

Задача: ABCD – параллелограмм. Высота BK равна 2 см, ∠A=30°, сторона BC=13 см. Найти периметр параллелограмма.

Решение.

ΔABK – прямоугольный, ∠A=30°, ⇒
BK = ½ AB, ⇒ AB=2 BK, AB=4см

P=2·(AB+BC), Р=2·(4+13)=34(см).

Ответ: 34 см

Решение задач по готовым чертежам с последующей самопроверкой

Параллелограмм. Решение задач

Задача: ABCD – параллелограмм. Найти углы C и D.

Ответ: ∠C=64°,∠D=116°.

Параллелограмм. Решение задач

Ответ: DC=10 см, AD=4 см.

Параллелограмм. Решение задач

Задача: ABCD – параллелограмм. Найти AD.

Ответ: AD=10 см.

Задача: ABCD – параллелограмм. Найти периметр ABCD и ∠AED.

Параллелограмм. Решение задач

Ответ: Р=30 см, ∠AED=90°.

Задача: ABCD – параллелограмм. Найти периметр ABCD.

Параллелограмм. Решение задач

Ответ: Р=16 см.

Задача: ABCD – параллелограмм. Найти периметр ΔCOD.

Ответ: Р=28 см

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

∠A=∠B=∠C=∠D=90°

Свойства прямоугольника

Противоположные стороны равны

Все углы прямые

Диагонали равны

Диагонали точкой
пересечения делятся
пополам

Свойство диагоналей прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство:
Прямоугольные треугольники BAD и CDA равны по двум катетам
(AB=CD, AD – общий катет).

Отсюда следует, что гипотенузы треугольников равны,
т.е. AC=BD.

Прямоугольник. Решение задач

Задача: ABCD – прямоугольник. Найти ∠COD, если BD=12 см, AB=6 см.

Ответ: 60°

Прямоугольник. Решение задач

Задача:
ABCD – прямоугольник. Найти OН, если BD=12 см, AB=6 см.

Ответ: 3 см

Прямоугольник. Решение задач

Задача:
ABCD – прямоугольник. АК – биссектриса ∠A, СК=2,7 см, КD =4,5 см. Найти периметр ABCD.

Ответ: Р=23,4 см

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

AB=BC=CD=DA

Свойства ромба

Все стороны равны

Противоположные углы равны

Диагонали ромба
перпендикулярны

Диагонали ромба –
биссектрисы углов ромба

Свойства диагоналей ромба

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:
Рассмотрим ромб ABCD.
По определению ромба AB=AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный.

Т.к. ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой О делятся пополам.
Следовательно, АО – медиана треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника.

Итак, AC⊥BD и ∠BAC=∠DAC, ч.т.д.

Ромб. Решение задач

Задача:
ABCD – ромб. Найдите углы ромба, если AB=AC

Ответ: 60°,60°,120°,12O°

Ромб. Решение задач

Задача:
ABCD – ромб. Найдите углы ромба, если сторона АВ ромба образует с диагоналями углы 70°,2O°.

Ответ: 40°,40°,14O°,14O°

Ромб. Решение задач

Задача:
ABCD – ромб. Найдите углы ромба, если сторона АВ ромба образует с диагоналями углы, такие, что один больше другого на 10°.

Ответ: 80°,80°,10O°,10O°

Ромб. Решение задач

Задача:
ABCD – ромб. Найти ∠CBE

Ромб. Решение задач

Задача:
ABCD – ромб.
Найти ∠С.

Ответ: 70°

Квадрат

Квадрат –
это прямоугольник,
у которого все стороны
равны.

AB = BC = CD = DA

Квадрат. Свойства квадрата

Все стороны равны

Диагонали равны

Все углы прямые

Диагонали
перпендикулярны

Диагонали делятся точкой
пересечения пополам

Диагонали – биссектрисы
углов квадрата

Литература

Л.С. Атанасян «Геометрия. 7-9 классы»
Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии, 8 класс
Н.Б. Мельникова «Контрольные работы по геометрии»
Л.С. Атанасян «Дидактические материалы по геометрии 8 класс»