Деление многочлена на многочлен
Деление многочлена
на многочлен.
Салова С.В.
Учитель МБОУ «Гимназия №6»
Г.Мурманск
Цель: Познакомиться с действием деления многочленов от одной переменной
Цель:
Познакомиться с действием деления многочленов от одной переменной
Задачи:
рассмотреть действие деления многочлена на многочлен нацело и с остатком;
сформулировать теорему о делении многочленов и теорему Безу;
применить изученную теорию при решении упражнений.
Деление многочлена на многочлен
Деление многочлена на многочлен.
В некоторых случаях выполнимо и деление многочлена на многочлен. Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x), если существует такой многочлен g(x), что выполняется тождество
р(х) = s(x)·g(x). (1)
При этом употребляется та же терминология, что и при делении чисел: р(х) — делимое (или кратное), s(x) — делитель, q(x) — частное.
Тождество (1) можно прочесть иначе:
s(x) — частное, a q(x) — делитель.
Например, многочлен х3 – Зх2 + 5х – 15 делится на многочлен х2 + 5 и на многочлен х – 3, поскольку имеет место равенство…
Например, многочлен х3 – Зх2 + 5х – 15 делится на многочлен х2 + 5 и на многочлен х – 3, поскольку имеет место равенство
х3 – Зх2 + 5х – 15 = (х2 + 5) (х – 3).
Многочлены х2 + 5 и х – 3 — делители многочлена х3 – Зх2 + 5х – 15.
Деление многочлена на многочлен нулевой степени (т. е. на отличное от нуля число) всегда осуществимо.
Деление многочлена на многочлен с остатком
Деление многочлена на многочлен с остатком.
Теорема.
Для любых двух многочленов р(х) и s(x) существует, причем только одна, пара многочленов q(x) и s(х), такая, что выполняется тождество
p(x) = s(x)·q(x)+r(x) (2)
и степень многочлена r(х) меньше степени многочлена s(x).
Выполнить деление с остатком многочлена 2х 2 – х – 3 на х – 2
Выполнить деление с остатком многочлена 2х2 – х – 3 на х – 2.
Решение. Имеем
2х2 – х – 3 = 2х2 – 4х + Зх – 6 + 3 =
= 2х(х – 2) + 3(х – 2) + 3 =
= (х – 2)(2х + 3) + 3.
Итак, 2х2 – х – 3 = (х – 2)(2х + 3) + 3.
Здесь 2х2 – х – 3 – делимое,
х – 2 – делитель, 2х + 3 - частное (неполное частное), 3 — остаток. ■
Теорема Безу Теорема. Остаток от деления многочлена р(х) на двучлен х – а равен р(а) (т
Теорема Безу
Теорема. Остаток от деления многочлена р(х) на двучлен х – а равен р(а)
(т. е. значению многочлена р(х) при х = а).
Доказательство. Если р(х) — делимое, х – а –
делитель (многочлен первой степени), q(x) - частное и r — остаток (многочлен нулевой степени, т. е. отличное от нуля число), то, по формуле (2),
р(х) = (x – a)q(x) + r. (3)
Если в формулу (3) подставить вместо х значение а, получим р(а) = (a – a)q(a) + r,
т. е. р(а) = r, что и требовалось доказать.
Эту теорему обычно называют теоремой Везу в честь французского математика Этьена Безу (1730—1783).
Пример 2. Найти остаток от деления многочлена 2х2 — х — 3 на двучлен х — 2
Пример 2. Найти остаток от деления многочлена 2х2 — х — 3 на двучлен
х — 2.
Решение. По теореме Безу остаток от деления многочлена р(х) = 2х2 — х — 3 на двучлен х – 2 равен р(2). Значит,
r = p(2) = 2 · 22 – 2 – 3 = З.
Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т
Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена.
Тем самым доказана следующая важная теорема.
Если р(а) = 0, то в формуле
р(х) = (x – a)q(x) + r r = 0, и она принимает вид р(х) = (х – a)q(x).
Это значит, что многочлен р(х) делится на х – а.
Теорема. Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен х — а.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ.
Приемы разложения на множители:
Вынесение общего множителя за скобки;
Способ группировки;
Использование формул сокращенного умножения;
Разложение многочлена на множители с помощью его корней
Разложение многочлена на множители с помощью его корней
Разложение многочлена на множители с помощью его корней
Теорема 5. Пусть все коэффициенты многочлена р(х) — целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р(х), то а — делитель свободного члена многочлена р(х).
Разложить на множители многочлен р(х) = х3 - 4х2 + х + 6
Разложить на множители многочлен р(х) = х3 - 4х2 + х + 6.
Решение. Попробуем найти целочисленные корни этого многочлена. Если они есть, то, по теореме 5, их следует искать среди делителей свободного члена заданного многочлена, т. е. среди делителей числа 6. Выпишем эти делители -— «кандидаты в целочисленные корни»: ±1, ±2, ±3, ±6. Будем подставлять выписанные значения поочередно в выражение для р(х):
Р(1) = 4 0;
Р(- 1) = 0.
Итак, х = - 1 — корень многочлена р(х), значит, р(х) делится на х + 1
Итак, х = - 1 — корень многочлена р(х), значит, р(х) делится на х + 1.
Разделим многочлен р(х) на двучлен х + 1:
Итак, х3 - 4х2 + х + 6 = (х + 1)(х2 - 5 х + 6) =
= (х + 1)(х – 2)(х – 3)
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
