ЕГЭ задания с параметром

Что такое параметр?
Параметр — это буквенный коэффициент в уравнении. Чаще всего его обозначают буквой a.

Уравнения с параметром — это уравнения, в которых помимо неизвестной переменной
есть ещё один буквенный коэффициент.
Например, в уравнении 𝑎𝑥+1=0, a — параметр.
Его точное значение определить невозможно:
оно зависит от условия задачи, и в некоторых случаях подходит не одно, а целое
множество значений.

Из алгебры мы знаем, что для решения уравнений с двумя неизвестными необходимо
иметь как минимум два уравнения (систему). В решении уравнений с параметром
такая система отсутствует, но нам и не нужно определять точное значение x.
Мы будем анализировать количество корней уравнения и их зависимость от параметра.

Рассмотрим пример того, как это работает. Решим уравнение 𝑎𝑥+2=0ax+2=0 и порассуждаем, как от значения параметра a зависит значение переменной x.

Задача 1.

Параметр можно использовать в уравнении любого типа:
рациональном и
иррациональном,
тригонометрическом,
логарифмическом и т. д.

Уравнения с параметром решаются разными методами:
Алгебраическим — путём непосредственного решения уравнения и анализа полученных корней относительно параметра а.
Графическим — через введение функции и построения её графика.
Мы сегодня будем использовать алгебраический метод решения уравнений с параметром.

Вне зависимости от типа уравнения всегда надо придерживаться следующего алгоритма:

Оценить ОДЗ (если необходимо).
Преобразовать уравнение таким образом, чтобы выразить неизвестную x.
На параметр как будто не обращаем внимания, считаем его второстепенным коэффициентом: поступаем с ним так же, как с другими свободными членами уравнения.
Проанализируем полученное выражение и ответим на вопрос по заданию.

Линейное уравнение с параметром
Общий вид линейного уравнения: 𝑎𝑥+𝑏=0,
где a и b — некоторые числа.

В линейном уравнении с параметром чаще всего вместо b стоит число, а коэффициент а остаётся.

Тогда возможны следующие развития событий:
если 𝑎=0, решений у уравнения нет,
если 𝑎≠0, то 𝑥=−𝑏/𝑎,
если 𝑎=0 и 𝑏=0, то уравнение имеет множество решений.

Задача 2
Решите уравнение с учётом всех значений параметра k: 3𝑥−2=𝑘.
Решение:
1. Выразим неизвестную переменную х через параметр k.

2. Проанализируем результаты через значения параметра. На параметр не распространяются никакие ограничения, он может быть как отрицательным, так и положительным. Поэтому решение

справедливо для любого значения k.

Квадратное уравнение с параметром
Общий вид квадратного уравнения: 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0

a, b, c — какие-то числа, при этом коэффициент а называют старшим, b — средним коэффициентом, c — свободным членом.

Параметр может стоять на месте любого из коэффициентов. Рассмотрим типовые задания на квадратное уравнение с параметром.

Задача 3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 𝑥𝑥2−(𝑎𝑎−1)𝑥𝑥+𝑎𝑎−2=0
имеет два корня.

Решение:
Для решения квадратных уравнений используют множество методов, в том числе через дискриминант. Вспомним, как значение дискриминанта влияет на количество корней уравнения:
𝐷>0, уравнение имеет 2 корня;
𝐷=0, уравнение имеет 1 корень;
𝐷<0, уравнение не имеет корней.
Соответственно, чтобы определить, при каких значениях параметра а уравнение не имеет корней, нужно составить формулу дискриминанта и оценить, когда D будет больше нуля.
Определим коэффициенты в уравнении:
a (в значении старшего коэффициента) = 1
𝑏=−(𝑎−1)=−𝑎+1
c=𝑎−2

Составим формулу для дискриминанта:

Ответ: уравнение имеет два корня при а∈(−∞;3)∪(3;+∞)а∈(−∞;3)∪(3;+∞).

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений





Имеет ровно 2 решения

https://skysmart.ru/articles/mathematic/zadachi-s-parametrom