Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер және олардың жүйелері

Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер және олардың жүйелері

Оқу мақсаты:

9.4.2.1 мәтін есептерді теңдеулер жүйесінің көмегімен шешу

Бағалау критерийлері

Мәтін есептерді шешудің алгоритмін біледі;
Есептің математикалық моделін құрады;
Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесін құра алады;
Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесін шешу тәсілін біледі;
Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесін шеше алады;

Өткен білімді жаңғырту

Берілген түрдегі жүйенің неше шешімі болуы мүмкін:

𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘. 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦𝑦 𝑦 2 2 𝑦 2 = 𝑟 2 𝑟𝑟 𝑟 2 2 𝑟 2 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘. 𝑥𝑥𝑦𝑦=𝑘𝑘. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑥𝑦=𝑘.

Өткен білімді жаңғырту

2. Теңдеулержүйесіншешіңіздер:
𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0. 𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0. 𝑥𝑥+𝑦𝑦=10; 𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0. (𝑥𝑥−1)(𝑦𝑦+1)=0. 𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0. 𝑥+𝑦=10; (𝑥−1)(𝑦+1)=0.
𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6. 𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6. 𝑥𝑥−2𝑦𝑦=3; 𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6. 𝑦𝑦 (𝑥𝑥−2𝑦𝑦)=6. 𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6. 𝑥−2𝑦=3; 𝑦 (𝑥−2𝑦)=6.

Тапсырма

В және С жағалауларынан төмен өзен бойымен сәйкесінше 30 км және 45 км қашықтықта А жағалауы орналасқан. Моторлы қайық А жағалауынан шығып, С жағалауына дейін жетеді және бірден артқа айналып, В жағалауына келеді. Барлық жолға 7 сағат жұмсайды. Қайықтың меншікті жылдамдығы мен өзен ағысының жылдамдығын есептеңіздер.

Шешуі

Біріншікезең.Математикалықмоделінқұру
Екіайнымалыенгіземіз:
хкм/сағ. – қайықтыңменшіктіжылдамдығы
укм/сағ– өзенағысыныңжылдамдығы
Ондах+у км/сағ.– қайықтыңөзенағысыныңбойыменқозғалысыныңжылдамдығы, х-у км/сағ. – қайықтыңөзенағысынақарсықозғалысыныңжылдамдығы.
Қайықтыңбіріншірейсінқарастырайық. Олағысбойымен 45 км жәнеағысқақарсы 15 км жүзді. Демек:
45 𝑥+𝑦 45 45 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 45 𝑥+𝑦 сағ –қайықтыңА–дан до С-ғадейінгіқозғалысуақыты (біріншірейсте),
15 𝑥−𝑦 15 15 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 15 𝑥−𝑦 сағ– қайықтыңС–дан до В-ғадейінгіқозғалысуақыты (біріншірейсте),

Шешуі

Қайық барлығыбіріншірейсте4 сағ40 мин, яғни 4 2 3 2 2 3 3 2 3 = 14 3 14 14 3 3 14 3 сағ. жұмсады.
Осылайша, мынатеңдеудіаламыз:
45 𝑥+𝑦 45 45 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 15 15 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 15 𝑥−𝑦 = 14 3 14 14 3 3 14 3

Шешуі

Қайықтыңекіншірейсінқарастырайық. Олағысқақарсы 45 км жәнеағысқақарсы30 км жүзді. Демек:
45 𝑥−𝑦 45 45 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 45 𝑥−𝑦 – С-дан А-ғадейінгіқозғалысуақыты (екіншірейсте).
30 𝑥+𝑦 30 30 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 30 𝑥+𝑦 – А-дан В-ғадейінгіқозғалысуақыты (екіншірейсте).
Қайықекіншірейстебарлығы 7 сағатжұмсады. Осылайшымынатеңдеудіқорытыпаламыз:
45 𝑥−𝑦 45 45 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 30 30 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 30 𝑥+𝑦 =7

Шешуі

Есептіңматематикалықмоделінқұраотырып, мынатүрдегіекіайнымалысы бар теңдеулержүйесіналамыз:

45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥+𝑦 45 45 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 15 15 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 15 𝑥−𝑦 = 14 3 14 14 3 3 14 3 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥−𝑦 45 45 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 30 30 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7 45 𝑥+𝑦 + 15 𝑥−𝑦 = 14 3 45 𝑥−𝑦 + 30 𝑥+𝑦 =7

Шешуі

Екінші кезең.Құрылғанмоделменжұмысжасау
Теңдеулержүйесіншешуүшінжаңаайнымалыенгізуәдісінқолданамыз. Енгізейік:
15 𝑥+𝑦 15 15 𝑥+𝑦 𝑥𝑥+𝑦𝑦 15 𝑥+𝑦 =𝑎𝑎, 15 𝑥−𝑦 15 15 𝑥−𝑦 𝑥𝑥−𝑦𝑦 15 𝑥−𝑦 =𝑏𝑏.
Жаңа айнымалының мәндерін табамыз және
𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9 𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9 𝑥𝑥+𝑦𝑦=15 𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9 𝑥𝑥−𝑦𝑦=9 𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9 𝑥+𝑦=15 𝑥−𝑦=9
аламыз.𝑥𝑥=12, 𝑦𝑦=3 шешеміз.

Шешуі

Үшінші кезең.Тапсырмабойыншасқрақтарғажауапбереміз.
Есептіңшартыбойыншақайықтыңменшіктіжылдамдығы мен өзенағысыныңжылдамдығынанықтаудыталапетіптұр.
Біріншіжылдамдықтыбіз𝑥𝑥депбелгілепалдықжәне𝑥𝑥=12 анықтадық. Демек қайықтыңменшіктіжылдамдығы 12 км/сағ. Өзенағысыныңжылдамдығын𝑦𝑦белгілепалдықжәнеоның𝑦𝑦=3 екенін анықтадық. Демекөзенағысыныңжылдамдығы 3 км/сағ.

Жауабы: 12 км/сағ; 3 км/сағ.

Мәтін есепті шешу алгоритмі

Есептің шартына талдау жасау
Айнымалыларды енгіземіз
Екі жағдаятты қарастыру
Есептің шарты мен белгісіз арасындағы тәуелділікті орнату
Теңдеу құру
Теңдеулер жүйесін шешу
Жауапты негіздеу.

1. Екі пристаняның арақашықтығы 60 км тең. Теплоход бұл арақашықтықты ағыс бойымен және ағысқа қарсы 5,5 сағат жүзіп өтті. Теплоходтың тынық судағы және ағыс бойымен жүзгендегі жылдамдығын табыңыз, егер оның бірі екіншісінен 20 км/сағ артық болса.
2. Жеңіл автокөлік 360 км арқашықтықты жүк көлігінен 2 сағатқа тезірек жүрді. Егер әрбіреуінің жылдамдығын 30 км/сағ арттырсақ, онда жүк көлігі жеңіл автокөлікке қарағанда 1 сағат артық жұмсайды. Әрбір автокөліктің жылдамдығын табыңыздар.
3. А және В пунктерінен бірдей уақытта бір біріне қарама қарсы екі жаяу жолаушы шықты. Әрбіреуі тұрақты жылдамдықпен тоқтаусыз соңғы пункке жетіп қайта артқа бұрылады. Олар екінші рет кездескенде бірінші жолаушы екінші жолаушыға қарағанда 4 км артық жүрген. Екінші кездесуден кейін бірінші жолаушы А пунктінде бір сағат бұрын, ал екінші жолаушы В пунктіне 2,5 сағаттан кейін келеді. Жаяу жолаушылардың жылдамдықтарын табыңыздар.

HOME WORK

1. Арақашықтығы 70 км тең екі қаладан бір уақытта бір-біріне қарама-қарсы екі пойыз шығып 5 сағаттан кеін кездеседі. Егер екінші пойыз біріншіге қарағанда 7 сағат ерте шықса, онда олар бірінші пойыздыңшыққан уақытынан 2 сағаттан кейін кездеседі. Әр пойыздың жылдамдығын табыңыздар.
2. А пунктінен В пунктіне бір-біріне қарама-қарсы екі пойыз шығады. Егер А пунктінен пойыз В пунктінен шыққан пойыздан 2 сағатқа ерте шықса, онда олар жолдың ортасында кездеседі. Егер бір уақытта шықса, онда олар 3 сағ 45 мин кейін кездеседі. Пойыздардың жылдамдықтарын және А мен В пунктерінің арақашықтығын табыңыздар, егер бізге бір пойыздың жылдамдығы екіншісінен 40 км/сағ артық екені белгілі болса.
3. Ұзындығы 60 м тең шеңберді бір бағытта екі нүкте айналады. Олардың бірі басқасынан толық айналымды 5 с жылдамырақ жасайды және нүктелер 1 минут сайын бір бірімен кездесіп отырады. Нүктелердің қозғалыс жылдамдықтарын анықтаңыздар.

Рефлексия