Элективный курс "В мире комплексных чисел"

№
п/п

Тема

Количество часов

Формы проведения

Образовательный продукт

1

Вводный урок. Из истории возникновения комплексных чисел. Мнимая единица.

1 ч.

Лекция

Знакомство с новым множеством чисел и их применением в математике.

2

Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа

1 ч.

Комбинированный урок, групповая работа

Овладение умениями различать действительную и мнимую части комплексных чисел.

3

Сумма комплексных чисел

1 ч.

Мини-лекция, работа в парах

Овладение умениями складывать комплексные числа, выполнять сложение с мнимыми числами.

4

Произведение комплексных чисел

1 ч.

Комбинированный урок, урок-практикум

Овладение умениями умножать комплексные числа, выполнять умножение с мнимыми числами.

5

Сопряженные комплексные числа

1ч.

Мини-лекция, урок-практикум

Овладение умениями выполнять арифметические действия с комплексными числами и числами, им сопряженными.

6

Разность комплексных чисел

1 ч.

Комбинированный урок,
урок-практикум

Овладение умениями находить разность комплексных чисел, находить разность с мнимыми числами.

7

Частное комплексных чисел

1 ч.

Мини-лекция, групповая работа

Овладение умениями выполнять деление комплексных чисел.

8

Модуль и аргумент комплексного числа

1 ч.

Мини-лекция, лабораторная работа

Овладение умениями находить модуль комплексного числа.

9

Геометрическая интерпретация комплексного числа

1 ч.

Мини-лекция, работа в парах

Овладение умениями строить сумму и разность комплексных чисел, противоположные комплексные числа.

10

Комплексная плоскость. Решение задач

1 ч.

Урок-практикум

Овладение умениями находить множество точек комплексной плоскости.

11

Тригонометрическая форма комплексного числа

1 ч.

Мини-лекция, работа в парах

Овладение умениями записывать комплексные числа в тригонометрической форме.

12

Нахождение аргументов комплексных чисел

1 ч.

Урок-практикум

Овладение умениями находить аргументы комплексных чисел.

13

Свойства модуля и аргумента комплексного числа

1 ч.

Мини-лекция, групповая работа

Овладение умениями выполнения умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме.

14

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

1 ч.

Урок-практикум

Закрепление умений выполнения умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме, используя изученные свойства.

15

Квадратное уравнение с комплексным неизвестным

1 ч.

Мини-лекция, урок-практикум

Овладение умениями находить корни квадратных уравнений при отрицательном дискриминанте.

16

Примеры решения алгебраических уравнений

1 ч.

Урок-практикум

Закрепление умений нахождения корней алгебраических уравнений, используя комплексные числа.

17

Урок обобщения и систематизации знаний

1 ч.

Тестирование

Умение работать с комплексными числами.

А-10          КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.   

I.  Рассмотрим ранее изученные множества:                

Каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Необходимость расширения понятия о числе возникает потому, что действие извлечения корня из действительного числа не всегда возможно в области действительных чисел.

Некоторые условия для комплексных чисел:

    - новый элемент

ОПР.:

Комплексным числом  называется число вида , где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица. Число  называется действительной частью () комплексного числа ,

Число  называется мнимой частью

 () комплексного числа .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами:  или переставить мнимую единицу:  – от этого комплексное число не изменится.

 Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:  

Комплексное число – это двумерное число.

II.  Геометрическая интерпретация:

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
 – действительная ось
 – мнимая ось

По осям нужно задать размерность,   отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу  по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Задание №1:

Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, , 
, , 
, , , 

Числа , ,  – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , ,  –

это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , ,   и действительная и мнимая части не равны нулю.   Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены  на чертеже).

Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

III. Алгебраическая форма комплексного числа.
 – это и есть алгебраическая форма комплексного числа, существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел.

IV.    Сложение, вычитание, умножение и

                деление комплексных чисел.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Пр.1:

Сложить два комплексных числа , 

Решение.:

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
                  

Для комплексных чисел справедливо правило: 

 – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Пр.2:

Найти разности комплексных чисел       и ,

         если    , 

Решение:

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

У полученного числа две, а не три части.

Действительная часть – составная:   .

Для наглядности ответ можно переписать так: 

                                         .

Найдём вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:  

 Пр.3:

Короткий пример с «нехорошей» мнимой частью:      

           .

Здесь без скобок уже не обойтись.

Пр.4:

Найти произведение комплексных чисел  

              ,  

Решение:

Очевидно, что произведение следует записать так:
               

Раскроем скобки по правилу умножения многочленов. Главное, помнить, что                       

              и быть внимательным.

Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

где 

Внимание, чаще всего ошибка допускается в знаках.

Справедливо правило:      .

Пр.5:

Даны комплексные числа , . Найти частное     .

Решение:

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем формулу  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть   , поэтому сопряженным выражением в данном случае является    ,   то есть     

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на   , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число   :              

Пр.6:

          равно      ……

Пр.7:

 Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).         

Решение:

Пр.8:

Даны два комплексных числа     , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

А-10          КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.    (3-4 урок)

I.  

Задачник:  

№ 32.24(б; г);   32.25(в; г);   32.27(в; г);    32.28(в; г);   32.32(б; г);    32.35(в; г)

Пр.1:  Вычислите

Пр.2: 

Пр.3: 

II. Комплексные числа и координатная плоскость.

Задачник:    №  33.13(а; г);     33.14(б; г)

Учебник:   стр. 253  ПРИМЕР  1;  2 – прочитать.

Пр.4: 

Решение:

III. Самостоятельная работа.

А-10                                                             

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

I.  

Любое комплексное число (кроме нуля)  можно записать в   тригонометрической форме:

, где  – это модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа.

Изобразим на комплексной плоскости число   , где  : 

Модулем комплексного числа  называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора.

ОБОЗН.:           или 

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа:   , где  значения   a  и    b -  любые.

Аргументом комплексного числа   называется  угол      между    положительной полуосью действительной оси    и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке.

Аргумент не определён для единственного числа:  .

ОБОЗН.:        или    

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:

                           .

 Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой.

II.

Рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 1:

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

Напишем тригонометрическую форму комплексного числа:                          

Запомним:

модуль – длина  (которая всегда  неотрицательна),  аргумент – угол.

1) Представим в тригонометрической форме число  .

Найдем его модуль и аргумент.                  .

Расчет по формуле:  

                              
Очевидно, что     (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси).

Таким образом, число в тригонометрической форме:  

Проверочное действие:  

2) Представим в тригонометрической форме число  .

Найдем его модуль и аргумент.      

Расчет по формуле:  .
Очевидно, что        (или 90 градусов).

Таким образом, число в тригонометрической форме:   

                .

Проверка:

3) Представим в тригонометрической форме число

.

Найдем его модуль и аргумент.     

Расчет по формуле:    

                          
Очевидно, что        (или 180 градусов).

Таким образом, число в тригонометрической форме:

                      .

Проверка: 

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число .

Найдем его модуль и аргумент. .

Расчет по формуле:   

Аргумент можно записать двумя способами:

Первый способ:      (270 градусов),  тогда

                       .

Проверка:  

Второй способ:

Более стандартно следующее правило: 

Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус:        (минус 90 градусов).

Легко заметить, что      и      – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид:

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

III.

Теперь рассмотрим  более распространенные случаи.

С модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу           .

А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число   . 

 При этом возможны три варианта:

1) Если      (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле           .

2) Если        (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле 

3) Если      (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример 2:

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:  ,  ,  ,  .

Когда предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить.

Первое и третье числа для самостоятельного решения.

2) Представим в тригонометрической форме число

 .

 Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку         (случай 2),  то   

– вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:

– число  в тригонометрической форме.

Частный случай для способа проверки.

Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в  масштабе  (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.

Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа . Можно убедиться, что действительно . Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно  .

4) Представим в тригонометрической форме число

       .

Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку       (случай 1),   то   

(минус 60 градусов).

Таким образом: 
                         

 – число      в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Кроме графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 1.  

 Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол  – это в точности табличный угол   (или 300 градусов):
 

– число  в исходной алгебраической форме.

IV. 

Учебник: стр. 256-263 ПРИМЕР 1; 2; 3 – прочитать.

Задачник:    №  34.6;     34.11(б; в);    34.15;     34.17;

                           34.22(а; г)

V.  Самостоятельная работа-2.

А-10.         КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.          С/Р - 2

Вариант I.

Вариант II.

Вариант III.

Вариант IV.

А- 10      

I.             КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

              И   КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ:

Задачник: № 35.1;  35.6(б);   35.8(б);  35.9(г)

                    35.10(б);  35.12(а; г);   35.16(а; г)

II.            ВОЗВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ                                                                        

                           ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ.

Пример 1:

Возвести в квадрат комплексное число  

                                                       :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

            . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности.

Пример 2:                   .

Здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, 

                               формула Муавра:

 Если комплексное число представлено в тригонометрической форме

                              ,

то при его возведении в натуральную степень   справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме:

чтобы найти произведение чисел

 ,    нужно перемножить их модули и сложить аргументы:
              

III.

Задачник: №36.11(б); 36.12(б); 36.19; 36.14; 36.24(а)

IV.  Самостоятельная работа-3.

V.   Домашняя работа.  

        п.  35;   36

       №  35.2;  35.5(б);   35.8(а; г);  35.13(а; в)

            36.10(г);  36.12(в);   36.24(б)

А-10.         КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.         С/Р - 3

Вариант I.

Вариант II.

Вариант III.

Вариант IV.

Вариант V.

Вариант VI.