Элективный курс 11 класса по математике: «Обоснования в математике (от Евклида до компьютера)».

Элективный курс 10 класса по математике: «Обоснования в математике (от Евклида до компьютера)». Е.А. Ермак,  к.п.н., доцент кафедры математического анализа Псковского ГПИ И. А. Иванов, к.п.н.,  доцент кафедры общей математики Сочинского института информационных технологий и  математики В. В. Орлов, д.п.н., профессор кафедры методики обучения математике РГПУим. А.И. Герцена Н.С. Подходова, д.п.н., профессор кафедры методики обучения математике РГПУим. А.И. Герцена Пояснительная записка Курс, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса математики, направлен на   систематизацию   знаний,   в   том   числе   и   методов   обоснований   (методов   решения   задач), реализацию   внутрипредметных   связей,   способствует   лучшему   освоению   базового   курса математики,   а   с   другой   —   служит   для   внутрипрофильной   дифференциации   и   построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической   теории,   направлен   на   рассмотрение   фундаментальных   понятий   математики (действительное число и др.), способов конструирования локальных математических теорий, самостоятельной деятельности по построению микроисследований. Как один из результатов его освоения может быть осознанный выбор других элективных математических курсов, а также профессиональной деятельности в области теоретической или прикладной математики. Объем аудиторных часов — 68 (по два часа в неделю). Курс целесообразно изучать в 10 классе. Он предназначен для реализации в рамках естественно­математического профиля. Часть его ма­ териалов   может   быть   включена   в   базовый   курс   математики   либо   реализована   в   рамках предпрофильной подготовки. Основное содержание курса Вводный раздел (10 ч) Обоснования   в   математике   и   в   жизни,   рациональные   рассуждения.   Математические   задачи. Стратегии   поиска   решения   задач.   Методы   решения   задач.   Числа   и   действия   над   ними, обоснование свойств действий. Геометрические задачи на доказательство, методы доказательств (прямое и косвенное), выбор обоснований, аксиомы и теоремы. Тема I. Построение числовых систем (12 ч) История   числовых   систем.   Натуральные,   целые,   рациональные   числа.   Аксиоматика   Пеано, аксиоматическое   определение   множества   действительных   чисел.   Построение   системы комплексных   чисел   и   дальнейшее   расширение   числовых   систем.   Алгебраические   структуры. Математическая индукция. Тема П. Геометрия Евклида как первая научная система (10 ч) Геометрические знания Древнего мира. Фалес и первые доказательства. Евклид и его «Начала». Различные системы аксиом геометрии Евклида. Непротиворечивость, независимость и полнота системы  аксиом.   Гильберт  и  его  роль  в  аксиоматическом   построении  геометрии.  Векторное построение геометрии Евклида. Тема III. Геометрия Лобачевского как пример аксиоматической теории (10 ч) История пятого постулата. Построение геометрии Лобачевского и ее модели (модель Пуанкаре на плоскости и в пространстве, модель Клейна, иные модели). О других геометриях. Тема IV. Элементы логики (10 ч) Отношения   между   множествами.   Диаграммы   Эйлера—Венна.   Кванторы.   Операции   над высказываниями. Необходимые и достаточные условия. Некоторые законы логики и правила вывода.   Структура   математических   определений   и   теорем.   Доказательства   с   точки   зрения логики. Тема V. Вероятностно­статистические методы обоснования (10 ч) Случайные   величины:   непрерывные   и   дискретные;   описание   случайных   величин   (закон распределения,   функция   распределения);   числовые   характеристики   случайных   величин. Основные   законы   распределения   случайных   величин   и   их   числовые   характеристики (равномерное,   биномиальное,   Пуассона,   нормальное   распределение).   Основные   понятия математической   статистики.   Генеральная   и   выборочная   совокупности.   Основные   задачи математической статистики. Оценка закона распределения. Гистограмма распределения. Критерии   согласия.   Постановка   задачи.   Критерий   согласия  X2.  Проверка   статистических гипотез.   Нулевая   и   альтернативная   гипотезы.   Уровень   значимости   и   мощность   критерия. Проверка гипотез о математическом ожидании. Проверка гипотез о равенстве двух выборочных средних. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух выборок. Тема VI. Компьютерное моделирование как средство обоснования (6 ч) Проблема   формализации   построения   доказательств   с   помощью   компьютера   на   основании формальной   логики.   Рациональные   рассуждения.   Определение   рационального   рассуждения, типы   рациональных   рассуждений.   Примеры   применения   рациональных   рассуждений   для построения   некоторых   математических   моделей.   Метод   Монте­Карло.   Компьютерное обоснование   проблем,   связанных   с   вычислениями.   Вычисление   основных   математических ,  π е).  Решение   частичных   проблем  математического  характера   (вычисление констант   (числа   пределов, определенных интегралов, некоторые задачи линейной алгебры и т.д.). Новизна курса состоит в том, что он строится в логике личностно ориентированного обучения, опирается   на   субъектный   опыт   ученика,   его   органическое   соединение   с   общественно историческим   опытом.   В   деятельностном   плане   его   отличает   направленность  на  активную самостоятельную познавательную деятельность разного уровня строгости, возможность выбора приоритетных   видов   деятельности.   В   содержательном   плане   понятно,   что   каждый   из   пере­ численных разделов мог стать предметом изучения в самостоятельном курсе, однако в нашем курсе рассмотрение  этих вопросов направлено на осознание школьниками  многоаспектности математики, органического соединения теоретических и прикладных аспектов, рассмотрению собственного   опыта   школьника   с   позиций   оснований   математики,   что   способствует установлению   фундаментальных   внутрипредметных   связей,   возможности   выбора   сферы   са­ мостоятельной   исследовательской   деятельности,   подготовке   к   исследовательской   работе   на стыке различных разделов математики. Организация изучения материала Занятия   проводятся   в   форме   семинаров,   посвященных   разрешению   проблемных   ситуаций, разработке мини­теорий в группах, обсуждению результатов индивидуальных и коллективных исследований  и т.д. При изучении  компьютерного моделирования  как средства  обоснований проводятся лабораторные работы. Учебный материал представлен в форме диалога. Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания   в   соответствии   со   своими   познавательными   приоритетами   и   возможностями,   на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих заданий, рефератов и т.п. Соединение   теоретических   и   прикладных   аспектов   в   рамках   одного   курса   имеет   и профориентационное значение. Предлагаемый элективный курс направлен на:     систематизацию   опыта,   приобретенного   при   изучении   математики   и   иных   предметов, обобщение   различных   подходов   к   поиску   обоснований   (доказательств)   и   различных подходов к доказательствам; знакомство со способами конструирования научных теорий на примере геометрии; знакомство   с   моделями   математической   теории   (поле   вычетов   по   простому   модулю, модели геометрии Лобачевского как средства проверки требований к аксиоматической теории: независимости, непротиворечивости); рассмотрение основных этапов развития математики как науки в контексте построения аксиоматических теорий;  знакомство с элементами логики и теории множеств, необходимыми для обоснований, в том числе для математических доказательств. УМК содержит учебное пособие для ученика, методическое пособие для учителя, книгу для чтения. элективного курса «Обоснования в математике (от Евклида до компьютера)». Календарно­тематическое планирование  Учитель Вашкеба Е.В. № Тема                          Дата проведения Элементы содержания Требования к уровню подготовки Знать/понимать уметь Общеучебные  умения и навыки . 1 1 ( 1 ) Обоснование в  математике и в  жизни,  рациональные  рассуждения.                                Вводный раздел (10 час) Систематизация знаний  основной школы.  Определение простого и  составного числа; теорема о делении с остатком. Знать:  определение  простого и составного  числа. Понимать:  теоретические  обоснования,  применение Т1 (свойства делимости  чисел),развитие  вычислительных  навыков. Применять  изученные теоремы при составлении  модели (формулы)  заданной задачи,  доказательства  суждений. форма У.О. Контрольно­оценочная деятельность вид ­текущий  ­самопроверка Цель: определение  уровня  теоретических  знаний, создание  простейших моделей  по изученному  алгоритму. 1)Отыскание  связи между  условием задания и изученным  теоретическим материалом. 2) Обоснование суждения и  конструирование алгоритма  решения задач на  доказательство . 3) Оценивание необходимости  применения изученного  материала в практической  деятельности и при изучении  других предметов. 4) Исследование несложных  практических ситуаций при  создании модели. 1)Обоснование суждений при  использовании алгоритма  действий 2) Обобщение и систематизация полученных знаний ­текущий ­внешний  Цель: определить  уровень усвоения  учебного материала. 1)Обоснование суждений при  использовании алгоритма  действий 2) Обобщение и систематизация полученных знаний ­текущий ­внешний  Цель: определить  уровень усвоения  учебного материала. 1)Обоснование суждений при  использовании алгоритма  действий 2) Обобщение и систематизация полученных знаний ­текущий ­внешний  Цель: определить  уровень усвоения  учебного материала. С.Р. С.Р. Т. С.Р. С.Р. . 1 2 ( 2 ) Математические  задачи. Стратегии  поиска решения  задач. . 1 3 ( 3 ) Математические  задачи. Стратегии  поиска решения  задач. . 1 4 ( 4 ) Математические  задачи. Стратегии  поиска решения  задач. . 1 5 ( 5 ) Математические  задачи. Стратегии  поиска решения  задач. ) Методы решения  6 ( 6 . 1 задач. ) Методы решения  7 ( 7 . 1 задач. Решение текстовых задач  алгебраическим способом. Решение текстовых задач  алгебраическим способом. Решение текстовых задач  алгебраическим способом. Решение текстовых задач  алгебраическим способом. Решение текстовых задач  алгебраическим способом. Решение текстовых задач  алгебраическим способом. Знать:  формулы  арифметических  действий. Понимать: роль  изученного материала  при решении задач.  Знать:  формулы  арифметических  действий. Понимать: роль  изученного материала  при решении задач.  Знать:  формулы  арифметических  действий. Понимать: роль  изученного материала  при решении задач.  Знать:  формулы  арифметических  действий. Понимать: роль  изученного материала  при решении задач.  Знать:  формулы  арифметических  действий. Понимать: роль  изученного материала  при решении задач.  Знать: определения,  этапы построения,  доказательство теорем. Понимать: применение  теоретического  материала при  исследовании  простейших  практических и решении  стереометрических  Применять  изученный  материал при  решении задач.  Применять  изученный  материал при  решении задач.  Применять  изученный  материал при  решении задач.  Применять  изученный  материал при  решении задач.  Применять  изученный  материал при  решении задач.  1)Обоснование суждений при  использовании алгоритма  действий 2) Обобщение и систематизация полученных знаний ­текущий ­внешний  Цель: определить  уровень усвоения  учебного материала. И.Р.Д. 1)Обоснование суждений при  использовании алгоритма  действий 2) Обобщение и систематизация полученных знаний ­текущий ­внешний  Цель: определить  уровень усвоения  учебного материала. Применять  полученные знания  при выполнении  практических задач  на уровне  распознания и  воспроизведения  знаний. 1)Установление связей и  закономерностей между  практикой и теоретической  частью, проводя поэтапное  логическое обоснование 2)Проводить логические  обоснования этапов решения  уравнения. 3)Соотносить свое мнение с  мнением одноклассников. ­ текущий ­ внешний Цель: уровень  восприятия учебного  материала. Виды контроля:  ФО – фронтальный опрос.  ИРД – индивидуальная работа у доски.  ИРК – индивидуальная работа по карточкам.  СР – самостоятельная работа.  ПР – проверочная работа.  Т – тестовая работа.