Электронный курс лекций «Математический анализ». Семинар 1. Последовательности. Предел последовательности. Понятие предела.

Семинар 1. Последовательности. Предел последовательности. 1. Понятие предела. 

к.п.н., преподаватель высшей категории Никитин М.Е.Раменское, 2015

Семинар 1. Последовательности. Предел последовательности.
1. Понятие предела.
Определение
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности . В соответствии с эти определением всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом число 0.
Другое определение
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что можно указать номер , такой, что при все удовлетворяют неравенству (1). Число а – предел последовательности.
Символическая запись или при .
2. Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2
Сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 3
Сумма сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и .

Теорема 4
Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и
Теорема 5
Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .
Теорема 6
Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .
Теорема 7
Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству
Теорема 8
Пусть и . Пусть также начиная с некоторого номера элементы последовательности удовлетворяют неравенству

, тогда

2.Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (число m), что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань. - условие ограниченности последовательности сверху (снизу).
Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесчисленное множество верхних ( нижних) граней.
Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству , где
Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .
Примеры:
1)последовательность -1, -4, -9, …,- ,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.

2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена.
3)Последовательность 1, 2, 1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена.

3. Монотонные последовательности
Определение
Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для всех номеров n справедливо неравенство
Общее название – монотонные последовательности.
Если для всех n - возрастающая.
Если для всех n - убывающая.
Общее название – строго монотонные.

4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Определение 1.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для все элементы удовлетворяют неравенству
Определение 2
Последовательность называется бесконечно малой, если для , можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Примеры с решениями
Пример 1. Доказать исходя из определения, что число 1 является пределом последовательности
Доказательство. Рассмотрим модуль разности . Введем

произвольное число . Неравенство будет выполнено, если то есть при . В качестве N возьмем какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию , то есть . Тогда для всех

выполнены неравенства . Это и означает, что число 1

есть предел последовательности , то есть
Пример 2. Доказать исходя из определения, что .
Доказательство.
Так как для любого , то .
Пусть , выберем натуральное N такое, что . Тогда для любого имеем . Значит .

Пример 3. Доказать, что последовательность расходится.
Доказательство. Докажем, что данная последовательность неограниченна. Имеем

Пусть С – произвольное положительное число. Возьмем какое-нибудь натуральное число , тогда . Это означает, что последовательность


Пример 4. Найти

Решение. Преобразуем формулу общего элемента к виду

неограниченна, а поэтому расходится.

.

Учитывая, что - бесконечно малые последовательности, и используя теоремы о пределах, получаем

Пример 5. Пусть для любого n; пусть p – натуральное число.

Доказать, что
Доказательство. Если ,

а если поэтому .

Объединяя эти результаты, для любого получаем .

Так как и . Отсюда

следует, что и

Пример 6. Найти
Решение. Преобразуем формулу общего элемента:

.

Поскольку

Задания для самостоятельного решения

Доказать, что

, если

1)

2)

(a – произвольное данное число);

4)

5)

6)

3)

2. Доказать, что:

2)

3)

4)

5)

6)

1)

Доказать, что

- бесконечно малая последовательность, если

1)

2)

3)

4)

5)

4. Доказать, что последовательность

расходится, если

2)

3)

4)

5)

1)

1)