"Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей". Алгебра 11 класс.

Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей.  ( База задания № 10, (профиль №4) из ЕГЭ.)

Часть I.

Определение. Вероятностью того, что в результате опыта наступит интересующее нас событие, называется отношение числа тех исходов опыта, в которых интересующее нас событие происходит, к числу всех возможных исходов опыта.  ( примечание: всегда число меньше 1)

Задача 1. На соревнования приехали 12 спортсменов из Австрии, 8 - из Польши и 20 - из Франции. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что третьим будет выступать спортсмен из Польши.

Решение.

Число всех спортсменов равно  12 +8 + 20 = 40.

Число всех исходов равно 40, а интересующее нас событие происходит в 8 случаях( т.к. из Польши приехало 8 чел., совершенно неважно, каким он будет выступать по счету).

Вероятность равна  8 : 40 = 0,2

Ответ : 0,2

Задача 2. В среднем на 150 карманных фонариков приходится три неисправных. Найдите вероятность купить а) работающий фонарик, б) не работающий.

Решение

а) Из 150 фонариков – 3 не исправны, значит, исправных будет 150 – 3 = 147.

Вероятность купить исправный будет равна    147 : 150 = 0,98.

а) Ответ : 0,98.

б) Не работающий, тогда 3 : 150 = 0,02,  или найти противоположное событие:

 1 – 0,98 = 0,02

б) Ответ: 0,02.

Задача 3. На соревнования по шашкам приехало 76 участников.13 – из России, среди них Петров. Из них формируются пары. Найти вероятность, что Петров будет играть с участником из России.

Решение.

Так как  Петров не играет сам с собой, то ( 13 -1) : (76 -1) = 12 : 75 = 0,16.

Ответ6 0,16.

Решите самостоятельно.

Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей.       Часть I I .

Теорема. У множества, состоящего из n элементов, имеется ровно 2ⁿ   различных подмножеств.

Задача 1. В коридоре 3 лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора ( включая случай, когда все лампочки не горят)?

                                                   Решение.

Каждая лампочка имеет два возможных исхода: гореть или не гореть независимо друг от друга. Число всех способов освещения равно 2∙2∙2 = 2³ = 8

Ответ : 8.

Задача 2. Монету подбрасывают несколько раз, так, что каждый раз с равной вероятностью выпадает «орел» ( «о») или «решка» («р»). Найдите вероятность того, что при первых трех подбрасываниях выпадет одна и та же сторона монеты.

                                                 Решение.

При трех подбрасываниях  имеем 2³ = 8 различных вариантов. Одна и та же сторона выпадает 3 раза подряд в двух из этих вариантов: либо «о», «о», «о»; либо «р», «р», «р».

Вероятность равна   

Ответ: 0,25.

Задача 3. Монету подбрасывают несколько раз, так, что каждый раз с равной вероятностью выпадает «орел» ( «о») или «решка» («р»). Найдите вероятность того, что при первых трех подбрасываниях «решка» выпадет два раза.

                                                     Решение.

При трех подбрасываниях  имеем 2³ = 8 различных вариантов. Перечислим все варианты последовательности выпадений «орла» или «решка», в которых, среди первых трех подбрасываний, «решка» встречается 2 раза, а «орел» 1 раз:

«р», «р», «о»;        «р», «о», «р»;        «о», «р», «р».  Число таких вариантов равно 3.

Тогда вероятность равна 

Ответ: 0,375.

Задача 4. Монету подбрасывают несколько раз, так, что каждый раз с равной вероятностью выпадает «орел» ( «о») или «решка» («р»). Найдите вероятность того, что при первых четырех подбрасываниях выпадут обе стороны монеты.

                                                               Решение.

При четырех подбрасываниях  имеем 2⁴ = 16  различных вариантов, а число вариантов, в которых выпадает одна и та же сторона монеты равна 2 ( либо четыре раза «о», либо все четыре раза «р»), то число различных вариантов, в которых выпадают обе стороны монеты, равно  16 - 2 = 14. Вероятность того, что при первых четырех подбрасываниях выпадут обе стороны монеты равна 

Ответ:  0,875.   Самостоятельно.

4.1.Монету подбрасывают несколько раз

 так, что каждый раз с равной вероятностью выпадает «орел» ( «о») или «решка» («р»). Найдите вероятность того, что при первых пяти подбрасываниях выпадут обе стороны монеты.

4.2.Перед матчем судья бросает монету,чтобы определить,какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «М» по очереди играет с «Ю», «К», «У». Найти вероятность, что во всех матчах первой владеть мячом будет «М».

Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей.         Часть III.

Задача 5. При подготовке к зачетам по двум предметам студент выучил по одному предмету 18 вопросов из 25, а по другому – 15 из 24. Чтобы получить «зачет» по предмету, студенту необходимо ответить на один вопрос, случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова вероятность, что студент получит «зачет» по обоим предметам?

Решение.

Число вариантов выбора одного вопроса по первому предмету и одного вопроса по второму предмету равна 25 ∙ 24 . Студент будет знать ответ на оба вопроса для 18 ∙ 15 из этих вариантов. Вероятность того, что студент получит «зачет» по обоим предметам

равна  

Ответ: 0,45.                                  Самостоятельно.

5.1.При подготовке к зачетам по двум предметам студент выучил по одному предмету 26 вопросов из 35, а по другому – 21 из 32. Чтобы получить «зачет» по предмету, студенту необходимо ответить на один вопрос, случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова вероятность, что студент не получит «зачет» хотя бы по одному из этих предметам?

5.2.При подготовке к зачетам по двум предметам студент выучил по одному предмету 17 вопросов из 28, а по другому – 21 из 34. Чтобы получить «зачет» по предмету, студенту необходимо ответить на один вопрос, случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова вероятность, что студент  получит «зачет» хотя бы по одному из этих предметам?

Задача 6. Бросают игральную кость 7 раз. Найти вероятность, что при этом  хотя бы раз выпадет шестерка.                              

                                                                       Решение.

Вероятность, что событие произойдет равна . Вероятность, что при 7 бросках хотя бы

раз выпадет шестерка будет

Ответ: 0,72.   

                                      Самостоятельно.

6.1.Бросают игральную кость 3 раза. Найти вероятность, что при этом  хотя бы раз выпадет четверка. (Результат округлить до сотых).

6.2.Бросают игральную кость 4 раза. Найти вероятность, что при этом  хотя бы раз выпадет двойка. . (Результат округлить до сотых).

Задача 7. Бросают два игральный кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков составит не более 4.( Ответ дать с точностью до тысячных не округляя, указав после запятой первые три знака).   

                                                               Решение.

Так как количество комбинаций двух чисел от 1 до 6  (n ; m ) на гранях для двух кубиков равно 6 ∙ 6 = 36, то сумма выпавших очков будет не больше 4, тогда, когда n+m ≤4.

Это неравенство будет выполняться для следующих пар чисел: (1;1), (1;2), (2;1), (1;3), (3;1), (2;2). Вероятность выпадения не более 4 очков составит

Ответ: 0,166.  

                                Самостоятельно.

7.1.  Бросают два игральный кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков составит не более 3.( Ответ дать с точностью до тысячных не округляя, указав после запятой первые три знака).

7.2.   Бросают два игральный кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков составит не более 9.( Ответ дать с точностью до тысячных не округляя, указав после запятой первые три знака).(Указание: Сначала подсчитать вероятность того, что будет больше 9, потом подсчитать, как противоположное, вычтя полученный результат из 1.)

Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей.

                                                    Часть IV.

Задача 8. Некоторый прибор состоит из трех блоков. Если в работе одного из блоков происходит сбой, прибор отключается. Вероятность сбоя для первого блока 0,3; для второго –   0,1, а для третьего –   0,4. Какова вероятность, что в течение года не произойдет ни одного отключения прибора?

                                                   Решение.

Вероятность работы без сбоя для первого равна 1- 0,3 = 0,7 ; для второго  1 – 0,1 = 0,9 ; для третьего 1 – 0,4 = 0,6. Вероятность работы всего прибора без сбоев будет равна

0,7 ∙ 0,9 ∙ 0,6 = 0,378

Ответ: 0,378. .                                   Самостоятельно.

8.1. Некоторый прибор состоит из трех блоков. Если в работе одного из блоков происходит сбой, прибор отключается. Вероятность сбоя для первого блока 0,1; для второго –   0,15, а для третьего –   0,2. Какова вероятность, что в течение года не произойдет ни одного отключения прибора?

8.2.Некоторый прибор состоит из трех блоков. Если в работе одного из блоков происходит сбой, прибор отключается. Вероятность сбоя для первого блока 0,23; для второго –   0,6, а для третьего –   0,2. Какова вероятность, что в течение года  произойдет хотя бы одно отключения прибора? (Указание: сначала подсчитать вероятность отключения, а потом найти вероятность противоположного события, вычтя из1.)

  * Задача 9. В коробке лежат 8 белых и 37 черных шаров. Какое наибольшее число черных шаров можно вынуть из коробки, чтобы вероятность наугад достать из коробки белый шар была не более 0,3 ?

                                                Решение.

Пусть вынули X черных шаров. Тогда в коробке осталось (37 – X ) черных шаров и 8 белых, т.е. всего (45 – X) шаров. Вероятность наугад достать белый шар будет равна  Это число не больше 0,3 в том случае, если  так как  45 – X> 0, то   ,  X ≤ 45 -  . Тогда наибольшим целым значением X  будет 18.

Ответ: 18.

.                                   Самостоятельно.

  9.1. В коробке лежат 10 белых и 30 черных шаров. Какое наибольшее число черных шаров можно вынуть из коробки, чтобы вероятность наугад достать из коробки белый шар была не более 0,6?

*9.2. В коробке лежат 8 белых и 15 черных шаров. Какое наибольшее число черных шаров можно вынуть из коробки, чтобы вероятность наугад достать из коробки белый шар была не более 0,4?

Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей.            Часть V.

Задача 10.  Оля написала трехзначное число, делящееся на 28. Витя должен угадать это число, написав 6 трехзначных чисел, делящихся на 28 и сравнить с числом, написанным Олей. Найти вероятность, что он угадает число?

Решение.

Наименьшее трехзначное число, делящееся на 28, является число 28 · 4 = 112,  ( это делается подбором: сначала 28 умножить на 1, потом на 2 и т.д., пока не получится первое трехзначное число, также находится наибольшее число).

  Таким образом,  наибольшее трехзначное число, делящееся на 28, является число 28 · 35 = 980. Количество трехзначных чисел, делящихся на 28, равно 35 – 3 = 32. Так как Витя пишет какие-то шесть из них, то вероятность того, что он угадает задуманное число, равна 

Ответ: 0,1875.        Самостоятельно.

10.1. Маша написала трехзначное число, делящееся на 36. Саша должен угадать это число, написав 6 трехзначных чисел, делящихся на 36 и сравнить с числом, написанным Машей. Найти вероятность, что он угадает число?

10.2.  Таня написала трехзначное число, делящееся на 26. Ваня должен угадать это число, написав 7 трехзначных чисел, делящихся на 26 и сравнить с числом, написанным Таней. Найти вероятность, что он угадает число?

Задача 11.  Из трехзначных чисел наугад выбирают число. Какова вероятность, что будет выбрано число, меньше 700 и делящееся на 3, но не делящееся на 7 ?

Решение.

Трехзначные числа начинаются числом 100 и заканчиваются числом 999, их ровно 900.

Наименьшим трехзначным числом, делящимся на 3, является число 3 ∙ 34 = 102, а наибольшим 3 ∙ 233 = 699, то количество трехзначных чисел, меньших 700 и делящихся на 3, равно 233 – 33 = 200. Это числа 3 ∙ 34,  3 ∙ 35 , 3 ∙ 36,…,  3 ∙ 233. Так как 35 = 5 ∙ 7, а

231=33 ∙ 7, то среди указанных чисел делящимися на 7 будут ( 3∙7)·5, ( 3∙7)·6, ( 3∙7)·7,…,

( 3∙7)·33. Их количество равно 33 – 4 = 29. Количество трехзначных чисел, меньших 700 и делящихся на 3, но не делящихся на 7, равно 200 – 29 = 171, а вероятность равна

Задача 12.  Из трехзначных чисел наугад выбирают число. Какова вероятность, что будет выбрано число, десятичная запись которого содержит хотя бы одну цифру 6 ?

Решение.

Найдем вероятность противоположного события. Т.е. не содержит ни одной цифры 6.

Найдем количество таких трехзначных чисел. Для первой цифры есть 8 возможностей от 1 до 9, не включая 6, для второй  и третьей цифры 9 возможностей от 0 до 9, не включая 6.

Тогда количество таких чисел 8 ∙9 · 9 , а вероятность выбрать такое число

Ответ: 0,72.                                    Самостоятельно.

11.1. Маша выбирает случайное трехзначное число. Найти вероятность того, что оно делится на 51.

11.2.  Из трехзначных чисел наугад выбирают число. Какова вероятность, что будет выбрано число, больше 300 и делящееся на 3, но не делящееся на 4 ? (Ответ округлить до сотых).