Тригономе́трия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613)
ВИКИПЕДИЯ
Ещё раз о пользе тригонометрии….
Создание динамических картинок на языке PascalABC.
1. Получение окружности
Вспомним определение тригонометрических функций Sin α и Cos α:
А
Синусом острого угла
АСВ прямоугольного треугольника
АВС
называется отношение противолежащего катета АВ к гипотенузе АС Косинусом
острого угла
АСВ прямоугольного треугольника АВС
называется отношение прилежащего катета ВС к гипотенузе АС
В С
Построим систему прямоугольных (Декартовых) координат у
х О
Добавим
на чертёж окружность, центр которой совпадает с началом системы
координат:
у
х О
Выберем произвольную точку на окружности (для удобства и только…) в I-ой четверти: у
А
х
О
Построим три отрезка из точки А: радиус R, перпендикуляры к осям Ох и Оу, а точки пересечения с осями обозначим как х1 и у1 у
А
у1
Х
О х1
В общем случае получится прямоугольник Ау1Ох1, в частном - квадрат с тем же названием.
Радиус R делит «прямоугольник Ау1Ох1», как делит диагональ прямоугольник – на два прямоугольных треугольника.
Применим определения тригонометрических функций Sin α и Cos α для нашего случая:
Заметим, что длины отрезков Ох1 и Оу1 «численно» равны значениям координат точек х1 и у1, а отрезок ОА равен R и поэтому перейдем к новому обозначению
Откуда выразим координаты х1 и у1
х1 = R ∙ Cos α (1) у1 = R ∙ Sin α (2)
Делаем вывод: Любая точка на окружности (мы брали произвольную точку) имеет координаты на плоскости, значения которых определяются по формулам (1) и (2), отличие заключается в величине острого (прямого, тупого, развернутого) угла. Меняя размер угла и оставляя радиус неизменным, Мы получим множество точек образующих окружность. Используемые обозначения: х1 и у1 через х и у; R через R, а угол α с помощью слова Alfa
Текст программы:
Program Krug;
Uses GraphABC, CRT;
Var x, y, R : integer;
Alfa : real;
Begin
R := 40;
Alfa := 0 ;
While Alfa <= 6.28 do Begin x := Round ( R * Cos (Alfa)); y :=Round ( R * Sin (Alfa));
SetPixel (x,y,clred );
Alfa:= Alfa + 0.0157; Результат исполнения программы End;
End.
Результат выполненной программы показан на рисунке (не тот, который мы хотели увидеть). Проблема в различном представлении координат в математике и на компьютере (различие объясняется техническим устройством монитора и способом построения изображения в нем). В математике начало системы координат там, где пересекаются оси, в компьютере в верхнем левом углу монитора, а Ось Оу (ось ординат) в математике направлена вверх, на компьютере – вниз. Вот и все различия.
Устраняем различие между координатами в различных системах координат добавляя в координаты компьютера поправки (смещение по осям Ох и Оу – dх и dу ), перемещая математическую систему координат в центр экрана (300; 200) (dх = 300 pixel и dу = 200 pixel)
Текст исправленной программы:
Program Krug;
Uses GraphABC, CRT;
Var x, y, R, dx, dy : integer;
Alfa : real;
Begin R := 40; dx := 300; dy:= 200; Проблема устранена.
Alfa := 0;
While Alfa <= 6.28 do
Begin
dy x := dx + Round ( R * Cos (Alfa));
y := dy + Round ( R * Sin (Alfa));
dx SetPixel (x,y,clred );
Alfa := Alfa + 0.0157;
End; End.
Построение эллипса, геометрической фигуры имеющей два радиуса (вертикальный и горизонтальный)
По оси Ох
Program Elips;
Uses GraphABC, CRT;
Var x, y, R1,R2, dx, dy : integer;
Alfa : real;
Begin
R1 := 60; R2 := 40; dx := 300;
dy:= 200;
dy:= 200;
Alfa := 0;
While Alfa <= 6.28 do
Begin Begin
x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R2 * Sin (Alfa)); y := dy + Round ( R2 * Sin (Alfa));
SetPixel (x,y,clred ); SetPixel (x,y,clred );
Alfa := Alfa + 0.0157; Alfa := Alfa + 0.0157;
End; End;
End. End.
Построение спирали (изменение размера радиуса).
Количество колец спирали зависит от угла поворота Alfa ( один поворот – 6,28;
два поворота – 12,56; три поворота – 18,84 радиан и т.д. , можно применять и
произвольные значения – 10; 34,3 и любые другие )
По часовой стрелке Против часовой стрелки
Program Spiral;
Uses GraphABC, CRT;
Var x, y, dx, dy : integer; Program Spiral;
Uses GraphABC, CRT;
Var x, y, dx, dy : integer;
Перейдем
к вопросу о динамических картинках:
Перенос «математической системы координат» из верхнего левого угла в центр экрана осуществлено использованием смещениями dх и dу. Если заставить изменяться эти параметры и прорисовывать каждый отдельный случай получится «движение» (вводим внешний цикл со счетчиком k и числом повторений, например 200). Будем использовать в новом варианте программы процедуры CLRSCR – очистка экрана и DELAY(m) – пауза в работе программы, для получения эффекта “24 кадра” или скорости движения (m – размер паузы в миллисекундах).
Изменение величины смещения dх и dу зададим рекуррентными соотношениями: dх:= dх + t и dy:= dy + t
где t – изменение изменения координат (по сути вместе с паузой DELAY(m) мы получаем скорость движения, заданное в пикселях/миллиcекунды).
Program Krug;
Uses GraphABC, CRT;
Var k, x, y, R, dx, dy, t: integer;
Alfa : real;
Begin R := 40; dx := 20; dy:= 20; t:=2;
For k := 0 to 200 do {количество разных смещений, смещения увеличиваются по порядку} Begin
Alfa := 0;
While Alfa <= 6.28 do Begin
x := dx + Round ( R * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R * Sin (Alfa));
SetPixel (x,y,clred );
Alfa := Alfa + 0.0157;
End;
DELAY (80); CLRSCR;
dx:= dx + t;
dy:= dy + t; End; End.
Изменяя t или делая их разными для dх и dу можно получить разные линейные траектории . Используя тригонометрические функции Sin (k) ИЛИ Cos (k) и обязательно округляя выражения до целого, с помощью ROUND, получим синусоидальную траекторию движения окружности
Синусоида по оси Ох |
Синусоида по оси Оу |
dy:= Round ( 50 * Sin (k) ); |
dх:= Round ( 50* Cos (k) ); |
Program Krug; Uses GraphABC, CRT; Var x, y, R, dx, dy, t: integer; Alfa, k: real; Begin R := 40; dx := 0; dy:= 20; t:=1; k := 0; while k<= 9.42 do Begin dx:= dx + t ; dy:= Round ( 50 * Sin (k)); Alfa := 0; while Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R * Cos (Alfa)); y :=150 + dy + Round ( R * Sin (Alfa)); SetPixel (x,y,clred ); Alfa := Alfa + 0.0157; End; DELAY (25); CLRSCR; k:=k+0.0157; End; End. |
Program Krug; Uses GraphABC, CRT; Var x, y, R, dx, dy, t: integer; Alfa, k: real; Begin R := 40; dx := 0; dy:= 10; t:=1; k := 0; while k<= 9.42 do Begin dx:= Round ( 50 * Cos (k)); dy:= dy + t ; Alfa := 0; while Alfa <= 6.28 do Begin x := 280+ dx + Round ( R * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R * Sin (Alfa)); SetPixel (x,y,clred ); Alfa := Alfa + 0.0157; End; DELAY (25); CLRSCR; k:=k+0.0157; End; End. |
Убирая из программы процедуру CLRSCR , получим изображение фигуры из множества колец.
Например:
По оси Оx: По оси Оy:
Убирая из программы параметр t и переходя к старым значениям dх и dу
dх := 300; dу:= 200;
На экране отобразится «ТОРРОИД».
Program Tor;
Uses GraphABC, CRT;
Var x, y, x1, y1,R, dx, dy, t: integer;
Alfa,k : real;
Begin R := 20; dx := 300; dy:= 200; t:=8; k := 0;
while k <= 6.28 do {Большая окружность ( нить)} Begin x1:= dx+Round ( 50 * Cos (k)) ; y1:= dy+Round ( 50 * Sin (k)); Alfa := 0 ;
while Alfa <= 6.28 do {Маленькие окружности (бусинки)} Begin x := x1 + Round ( R * Cos (Alfa)); y := y1 + Round ( R * Sin (Alfa)); alfa:= Alfa + 0.0157;
SetPixel (x,y,clred );
End;
DELAY (80); k:= k+0.0471; End; End.
Изменяя приращение k, равное 0,0471 радиан в большую или меньшую сторону, мы изменим характер плотности прорисовки окружностей, расположенных (как бусы на нитке) на большой окружности (нити).
Построение цилиндра и конуса (не по определению геометрии) с использованием колец
(окружностей)
Цилиндр. Количество колец k = 31 |
Конус. Количество колец k = 31 |
Program Cilindr; Uses GraphABC, CRT; Var x, y, k, dx, dy : integer; R1,Alfa : real; Begin R1 := 40; k:=0; dx := 300; dy:= 40; while k<= 30 do begin Alfa := 0; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Sin (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Cos (Alfa)); |
Program Conus; Uses GraphABC, CRT; Var x, y, k, dx, dy : integer; R1,Alfa : real; Begin R1 := 4; k:=0; dx := 300; dy:= 40; while k<= 30 do begin Alfa := 0; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Sin (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Cos (Alfa)); |
SetPixel (x,y,clred ); Alfa := Alfa + 0.0157; end; dy:=dy + 5; k:=k+1; End; End.
|
SetPixel (x,y,clred ); Alfa := Alfa + 0.0157; end; dy:=dy + 5; R1:=R1+2; k:=k+1; End; End. |
|
|
Меняя законы изменения координат по осям Ох и Оу мы расположим рисунки горизонтально или используя для обеих осей – под наклоном. Применяя знак “-“ получим инверсию (построение в обратном порядке)
Построение цилиндра и конуса ( по определению в геометрии) с использованием огибающей (окружностей)
Цилиндр |
Конус |
Program Cilindr; Uses GraphABC, CRT; Var x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa : real; Begin R1 := 40; dx := 300; dy:= 80; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); SetPixel (x,y,clred ); x1 := x; y1 := y+150 ; SetPixel (x1,y1,clgreen ); Alfa := Alfa + 0.0157; End; Alfa := 0; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); x1 := x; y1 := y+150 ; line (x,y,x1,y1); Alfa := Alfa + 0.078; delay(80); |
Program Cilindr; Uses GraphABC, CRT; Var x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa : real; Begin R1 := 40; dx := 300; dy:= 280; Alfa := 0; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); SetPixel (x,y,clred ); Alfa := Alfa + 0.0157; End; Alfa := 0; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); line (x,y,300,100); {300,100 - вершина конуса} Alfa := Alfa + 0.078; delay(80); end; End. |
end; End. |
|
|
|
Добавляя (изменяя ) координаты вершины конуса или центра основания мы получим наклонные тела:
Координата Х уменьшена на 100 |
Координата Х = 300 заменена на Х=400 |
Program Cilindr; Uses GraphABC, CRT; Var x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa : real; Begin R1 := 40; dx := 300; dy:= 80; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); SetPixel (x,y,clred ); x1 := x-100; y1 := y+150 ; SetPixel (x1,y1,clgreen ); Alfa := Alfa + 0.0157; End; Alfa := 0; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); x1 := x-100; y1 := y+150 ; line (x,y,x1,y1); Alfa := Alfa + 0.078; delay(80); end; End. |
Program Cilindr; Uses GraphABC, CRT; Var x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa : real; Begin R1 := 40; dx := 300; dy:= 280; Alfa := 0; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); SetPixel (x,y,clred ); Alfa := Alfa + 0.0157; End; Alfa := 0; While Alfa <= 6.28 do Begin x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); line (x,y,400,100); {400,100 - вершина конуса} Alfa := Alfa + 0.078; delay(80); end; End. |
|
|
Построение произвольных «правильных фигур с количеством сторон N
Указано количество сторон 5 |
Вращение пятиугольника |
Program Mnogo_Ugl; Uses GraphABC, CRT; Var N, x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa : real; Begin writeln (' Укажите количество сторон ); write (правильного многоугольника: '); read (N); clrscr; R1 := 40; dx := 300; dy:= 80; Alfa := 0; x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); While Alfa <= 6.28 do Begin Alfa := Alfa + 2*Pi/N; x1 := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y1 := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); line (x,y,x1,y1); x:=x1; y:=y1; End; End. |
Program Mnogo_Ugl; Uses GraphABC, CRT; Var N, x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa, Alfa1 : real; const Pi=3.14; Begin writeln (' Укажите количество сторон ); write (правильного многоугольника: '); read (N); clrscr; R1 := 40; dx := 300; dy:= 80; Alfa1 := 0; While Alfa1 <= 6.28 do Begin Alfa := Alfa1; x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); While Alfa <= 6.28 do Begin Alfa := Alfa + 2*Pi/N; x1 := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y1 := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); line (x,y,x1,y1); x:=x1; y:=y1; End; Alfa1 := Alfa1 + Pi/10; delay (250); End; End.
|
|
|
Внесём изменения в размер окружности (изменим радиус окружности), на базе которой строились правильные многоугольники:
ВРАЩЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКА (N=4) |
Program uzor; Uses GraphABC, CRT; Var i, N, x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa, Alfa1 : real; const Pi=3.14; Begin write ('укажите количество сторон многоугольника: '); read (N); clrscr; R1 := 40; dx := 300; dy:= 200; Alfa1 := 0; While Alfa1 <= 6.28 do Begin Alfa := Alfa1; x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); for i:= 1 to N do Begin Alfa := Alfa + 2*Pi/N; x1 := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y1 := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); line (x,y,x1,y1); x:=x1; y:=y1; End; Alfa1 := Alfa1 + Pi/10; delay (250); R1 := R1 +5; End; End. |
|
Изменяя количество углов N можно поучить вращение правильного N-многоугольника
Усложним задание - создадим движение правильного многоугольника по спирали. Траектория подсвечивается точками красного цвета.
Движение многоугольника n=3 |
Изменения: вращение в другую сторону (sin и cos поменялись местами), радиус растет и n=5 |
Program Spiral; Uses GraphABC, CRT; Var x, y, x0,y0,x1,y1,R2, dx, dy,n : integer; R1, Alfa,a : real; const pi=3.14; Begin read (n); R1 := 40; R2:=10; dx := 300; dy:= 200; Alfa := 0; While Alfa <= 18.84 do Begin x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); SetPixel (x,y,clred ); a:=0; While a <= 6.28 do Begin x0:=x + Round ( R2 * Cos (a)); y0:=y + Round ( R2 * Sin (a)); a:=a+ 2*pi/n; x1:=x + Round ( R2 * Cos (a)); y1:=y + Round ( R2 * Sin (a)); line(x0,y0,x1,y1); end; Alfa := Alfa + 0.157; R1:=R1 + 0.85; End; End. |
Program Spiral; Uses GraphABC, CRT; Var x, y, x0,y0,x1,y1, dx, dy,n : integer; R2,R1, Alfa,a : real; const pi=3.14; Begin read (n); R1 := 40; R2:=10; dx := 300; dy:= 200; Alfa := 0; While Alfa <= 18.84 do Begin x := dx + Round ( R1 * Sin (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Cos (Alfa)); SetPixel (x,y,clred ); a:=0; While a <= 6.28 do Begin x0:=x + Round ( R2 * Cos (a)); y0:=y + Round ( R2 * Sin (a)); a:=a+ 2*pi/n; x1:=x + Round ( R2 * Cos (a)); y1:=y + Round ( R2 * Sin (a)); line(x0,y0,x1,y1); end; R2:=R2+0.06; Alfa := Alfa + 0.157; R1:=R1 + 0.85; End; End. |
|
|
Построим звезду.
Звезда |
Вращение Звезды |
Program zvezda; Uses GraphABC, CRT; Var i, N, x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa, Alfa1 : real; const Pi=3.14; Begin R1 := 40; dx := 300; dy:= 200; Alfa := -pi/10.13; x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); for i:= 1 to 5 do Begin Alfa := Alfa + 4*Pi/5; x1 := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y1 := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); line (x,y,x1,y1); x:=x1; y:=y1; delay (1250); End; End. |
Program vrachenie_zvezdy; Uses GraphABC, CRT; Var i, x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa, Alfa1 : real; const Pi=3.14; Begin R1 := 40; dx := 300; dy:= 200; Alfa1 := 0; While Alfa1 <= 6.28 do Begin Alfa := Alfa1; x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); for i:= 1 to 5 do Begin Alfa := Alfa + 4*Pi/5; x1 := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y1 := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); line (x,y,x1,y1); x:=x1; y:=y1; End; Alfa1 := Alfa1 + Pi/10; delay (250); R1 := R1 +5; End; End. |
|
|
Завершим построения движением Звезды по оси Ох
Движение звезды |
Program Zvezda_v_dvizhenii; Uses GraphABC, CRT; Var i, x, y,y1,x1, R1, dx, dy : integer; Alfa, Alfa1 : real; const Pi=3.14; Begin R1 := 40; dx := 200; dy:= 200; Alfa1 := 0; While Alfa1 <= 6.28 do Begin clrscr; Alfa := Alfa1; x := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); for i:= 1 to 5 do Begin Alfa := Alfa + 4*Pi/5; x1 := dx + Round ( R1 * Cos (Alfa)); y1 := dy + Round ( R1 * Sin (Alfa)); line (x,y,x1,y1); x:=x1; y:=y1; End; Alfa1 := Alfa1 + Pi/10; delay (250); R1 := R1 +5; dx:=dx+15; End; End. |
|
Желаю успеха!
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.