Формула полной вероятности

На трех станках различной марки изготавливается определенная деталь. Производительность первого станка за смену 40 деталей, второго – 35, третьего – 25. Установлено, что 2%,3% и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены взята одна деталь. Какова вероятность, что она имеет дефект?
А – деталь имеет дефект;
В1 – деталь изготовлена на первом станке;
В2 – деталь изготовлена на втором станке;
В3 – деталь изготовлена на третьем станке.

Была проведена контрольная работа в трех группах. В первой группе, где 30 студентов, оказалось 8 работ, выполненных на «5», во торой, где 25 студентов – 6 работ на «5», в третьей, где 27 студентов – 9 работ на «5». Найти вероятность того, что взятая случайно работа выполнена на «5».

На склад поступили детали с трех станков. На первом изготовлено 40% всех деталей, на втором – 35%, на третьем – 25%. Причем на первом 90% деталей 1-го сорта, на втором – 80%, на третьем – 70%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь не 1-го сорта?

При выводе формулы полной вероятности предполагается, что событие А, вероятность которого следовало найти, произойдет с одним из событий Вi, образующих полную группу, причем вероятности событий Вi были известны.

Пусть событие А уже наступило.
Как изменятся при этом условии вероятности событий Вi ?
Формула Байеса
Так как событие А и Вi совместны, то по теореме умножения:

Электронный прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя первой в течении достаточно длительного времени – 0,2, второй – 0,1. Известно, что прибор вышел из строя. Какова вероятность, что вышла из строя 1-я микросхема?
А – из строя вышел прибор;
В1 – не вышли из строя обе микросхемы;
В2 – отказала первая;
В3 – отказала вторая;
В4 – отказали обе.
Р(В1)=0,8*0,9=0,72 Р(А/В1)=0
Р(В2)=0,2*0,9=0,18 Р(А/В2)=1
Р(В3)=0,8*0,1=0,08 Р(А/В3)=1
Р(В4)=0,2*0,1=0,02 Р(А/В4)=1

В первом ящике 8 белых и 6 черных шаров, а во втором – 10 белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар – черный. Какова вероятность, что он взят из первого ящика?
В урну, содержащую3 шара, положили белый шар, после чего вынули один. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым, если все возможные предположения о цвете уже имеющихся шаров равновозможны?

Если при серии испытаний событие А либо произойдет, либо нет с одинаковой вероятностью, то вероятность, что из n испытаний событие А произойдет m раз можно посчитать по формуле

Вероятность попадания в цель спортсмена – 0,8. Спортсмен произвел 5 выстрелов. Найти вероятность, что он попадет более трех раз.