ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА

ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА А теперь, в качестве следующего трюка — и это, на самом деле, последний важный прием в этой книге, ­ мы обратимся к общему методу аппроксимации сумм, который был впервые опубликован Леонардом Эйлером [365] в 1732 г. (Идею метода иногда связывают с именем  Колина Мак­Лорена, профессора математики в Эдинбурге, открывшего этот метод  независимо чуть позднее [211, с. 305].) Вот основная формула: Слева находится типичная сумма, оценка которой нам может понадобиться. В правой  части — другое выражение для той же суммы, включающее интегралы и производные.   — достаточно "гладкая“ функция, то она будет иметь  Если  формула окажется тождеством. Выражение в правой части зачастую оказывается   производных   и эта  превосходной аппроксимацией суммы в левой части, в том смысле, что остаток  мал. Так, например, мы увидим, что аппроксимация Стирлинга для  суммирования Эйлера; то же самое справедливо для нашей асимптотической   есть следствие формулы  аппроксимации для гармонических чисел  Числа   в (9.67) — это числа Бернулли, встречавшиеся нам в гл. 6; функция    — многочлен Бернулли из гл. 7. Запись  Формула суммирования Эйлера сводит все эти понятия вместе.  обозначает дробную часть,   как в гл. 3.  Вспомним значения нескольких первых чисел Бернулли; всегда удобно иметь этот список  неподалеку от общей формулы Эйлера: Якоб Бернулли открыл эти числа, когда он изучал суммы степеней целых     чисел,    и формула     Эйлера говорит нам, почему так произошло: если мы положим     то будем  иметь   следовательно,   и (9.67) сведется кТак, для   получим наш любимый пример подсчета суммы: (Это — последнее место в книге, где мы выводим эту замечательную формулу.) Прежде чем доказывать формулу (принадлежащие Лагранжу [177]) о том, почему такая формула должна иметь место. В гл.  2 был определен разностный оператор А и объяснено, что оператор — обратный к А, точно     Эйлера, рассмотрим соображения высшего порядка    так же, как   является обратным к оператору дифференцирования   Можно выразить  А через   воспользовавшись формулой     Тейлора:   Подстановка   дает Здесь   обозначает дифференциальный       оператор   Поскольку   обратный       операто  должен выражаться как  р  включающий числа Бернулли. Таким образом,  мы знаем из табл. 386, что   степенной       ряд,  Применив это операторное     уравнение к     и добавив пределы, получимa это — в точности формула суммирования Эйлера (9.67) без остаточного члена. (Ни  Эйлер и никто другой не рассматривали остаток до тех пор, пока С. Д. Пуассон [248] не  опубликовал в 1823 г. важную работу о приближенном интегрировании. Остаточный член  играет важную роль, поскольку бесконечная сумма  Наш  часто оказывается расходящейся.  вывод (9.71) был чисто формальным, мы не касались вопросов сходимости.) Теперь докажем формулу (9.67), включающую остаточный член. Достаточно провести  доказательство только для случая   т. е. доказать, что поскольку затем можно заменить   на   для любого целого I, получив Общая формула (9.67) есть просто сумма этих тождеств по диапазону а  промежуточные члены благополучно сокращаются.  поскольку  Доказательство в случае   будем вести индукцией по   начиная  (В общем случае многочлен Бернулли определяется уравнением в частности,  ) Иными словами, мы хотели бы доказать, чтоНо это есть просто частный случай формулы интегрирования     по частям   для   Итак, случай   оказался несложным. Чтобы перейти от   к   и тем завершить индукцию для   нам достаточно доказать,  что   т. е. установить справедливость равенства Оно приводится к уравнению 1 И снова к этим двум интегралам применимо соотношение (9.73) с  поскольку производная многочлена Бернулли (9.72) есть ,  (Здесь полезно тождество поглощения  место в том и только в том случае, когда  Таким образом, требуемая формула будет иметь Иначе говоря, нам требуется, чтобыЭто может слегка смутить, ясно ведь, что   равно   а не  . Но на самом деле здесь  все в порядке, поскольку  мы чуть было не влипли.)  как мы знаем,   есть нуль для нечетных  . (Тем не менее, Для завершения доказательства формулы суммирования Эйлера осталось показать, что  что эквивалентно   Но это есть в точности определение чисел Бернулли (6.79), так что доказательство  завершено. Тождество   означает, что а теперь мы заключаем, что этот интеграл равен нулю для  членеформулы     Эйлера    Следовательно, в остаточном множителем при   стоит функция   с нулевым средним     значением. Это означает,    что   может оказаться довольно малым. Посмотрим внимательнее на функции   для   ведь   управляет величиной   Здесь  приведены графики   для первых двенадцати значенийХотя многочлены от   до   достаточно малы, в конечном итоге многочлены и числа  Бернулли сильно растут. К счастью,  помогающий усмирить стихию.  содержит компенсирующий множитель    Когда   график   становиться очень похож на волну синуса; в упр. 58 доказывается,  что и на самом деле функция   может быть аппроксимирована отрицательным  кратным   с относительной     погрешностью    . В общем случае, функция   отрицательна для   и положительна для    Следовательно, ее интеграл  место равенство убывает при   и возрастает при   Более того, имеет  откуда следует Постоянное слагаемое   обеспечивает нулевое значение интеграла    следовательно,   Интегралом от   будет функция   которая, следовательно,  положительна для   и отрицательна для   кроме того,  так что   обладает всеми  свойствами, постулированными для   но с противоположным знаком. Следовательно,    имеет свойства функции   с противоположным знаком. Следовательно,   имеет  свойства функции  сформулированные свойства для всех к.  и мы завершили цикл, устанавливающий индуктивно  В соответствии с результатами нашего анализа, максимальное значение   должно  достигаться либо при  либо при   упр. 17 доказывается, что поэтому имеем Отсюда получается полезная верхняя оценка остаточного члена в формуле суммирования  Эйлера, поскольку, как мы знаем из (6.89),Следовательно, формулу суммирования Эйлера (9.67) можно переписать так: Если, например,   все производные совпадают, и последняя формула говорит нам,  что  Разумеется, эта сумма есть сумма геометрической     прогрессии, равная    Если   для а   то интеграл   есть просто   поэтому иначе говоря, в этом случае остаточный член ограничен величиной последнего члена (члена непосредственно перед остаточным). Можно дать даже лучшую оценку, если известно, что Оказывается, что отсюда вытекает соотношение здесь остаточный член лежит между 0 и первым отброшенным членом в (9.78) — т. е.  членом, который мы добавили бы вслед за последним членом в случае увеличения т. Вот доказательство. Формула суммирования Эйлера справедлива для всех   для    следовательно,   и первый отброшенный член равен Поэтому нам надо доказать, что   лежит между 0 и   а это имеет место тогда и  только тогда, когда  имеют противоположные знаки. Мы утверждаем, чтоС учетом (9.79) это доказывает, что  доказательство (9.80) на этом завершается.  имеют противоположные знаки, поэтому  Доказательство (9.81) оказывается нетрудным, если вспомнить определение   и  доказанные нами факты о графике   Действительно, имеем причем   возрастает ввиду положительности производной   (Более точно,   не  убывает ввиду неотрицательности ее производной.) График   выглядит как синусоида,  умноженная на  каждой волны синусоиды, будучи умноженной на возрастающую функцию, оказывает   поэтому из геометрических соображений ясно, что вторая половина  большее влияние на интеграл. Это обеспечивает  результат доказывается в упр. 16.  что нам и нужно. Формально этот  Формула суммирования Эйлера. Вернемся к рассмотрению формулы (159). Производя в последнем интеграле правой части      по частям, мы можем написать правую часть в развернутом  несколько разинтегрирование   виде. При помощи формулы (161) мы определили функцию   с периодом единица, такую,  что   Добавляя к   постоянное слагаемое, мы можем добиться того,  чтобы среднее     значение этой функции, как и у     было равно нулю. Меняя еще у  полученной функции знак, получим функцию   с периодом, равным единице, и со средним значением, равным нулю, такую, что   Но   при  и, определяя С из условияполучим окончательно В данном случае  непрерывную периодическую    при периодическом повторении   дает      функцию, и написанная выше формула годится для всего  замкнутого промежутка   Далее мы можем совершенно так же определить функцию   с периодом единица и со средним этой функции следующее выражение в основном промежутке (0, 1):     значением, равным нулю, такую, что     Мы получим для  Продолжая так и дальше, мы сможем строить функции  средним значением, равным нулю, такие, что  с периодом единица и со  Можно разложить все эти периодические     функции в ряды   свободные члены будут равны нулю, ибо средние         Фурье; во всех этих рядах Фурье     значения функций равны нулю. Из черт.  65 видно, что  правилу Фурье, получим    естьнечетная     функция. Определяя ее коэффициенты       Фурье по обычному  Точно так же для следующей функции   будем иметь Заметим, что этот ряд может быть получен непосредственно почленным интегрированием и переменой знака из ряда   что соответствует соотношению   Ряд для   сходится  равномерно при всех вещественных значениях   Принимая во внимание соотношения  (172), мы можем получить ряды последовательного почленного интегрирования, причем свободные члены этих рядов Фурье надо считать равными нулю.     Фурье для следующих функций   при помощиТаким образом, мы будем иметь Из этих формул вытекает, между прочим, Для удобства дальнейших выкладок обозначим где   так называемые числа Бернулли. Вернемся к формуле (159). Производя интегрирование что       по частям и принимая во внимание,  получим продолжая так и дальше, получаем формулу суммирования Эйлера:При этих вычислениях мы предполагали, конечно, что   при   имеет  непрерывные производные до порядка   включительно. Последнее слагаемое правой части дает остаточный член формулы     Эйлера. Из формулы    (174) легко заключить, что числа  соответствующий формуле Эйлера бесконечный Все же формулой (175) иногда удобно пользоваться дляприближенного стоящей в левой ее части.  быстро растут при возрастании    , и      рядобычно оказывается расходящимся.        вычисления суммы, Перепишем формулу (160), подставляя вместо С найденное выше ее значение: Производя в интеграле, как и выше, интегрирование     по частям, принимая во внимание,    что   остаются ограниченными при всех вещественных   и формулы (174), будем  иметь при  Совершенно так же, как в предыдущем номере, мы можем показать, что  последний интеграл, умноженный на   остается ограниченным при z т. е. что и предыдущую формулу можно записать в видеЕсли мы, вычеркнув остаточный член, напишем соответствующий бесконечный       ряд, то он  окажется расходящимся при всяком  . Если же мы фиксируем   то остаточный член  при   будет величиной бесконечно малой более высокого порядка, а именно порядка чем последний из оставленных членов, который имеет порядок  Формула (176), как и (169), годится на плоскости комплексного переменного  которой вырезан любой, сколь угодно малый, но фиксированный сектор с биссектрисой,  , из  направленной по отрицательной части вещественной оси. Если  можно более точно оценить остаточный член, и имеет место формула  положительно, то  где   На доказательстве этой формулы мы останавливаться не будем. Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать  дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие  асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу. Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином  Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до формулы  Дарбу (англ.)русск.). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить  медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов. Формула Эйлера — Маклорена имеет вид: гдездесь   — натуральное,   — числа Бернулли,   — достаточно гладкая  функция, чтобы иметь производные  — дробная часть x. В случае, когда  ,   — многочлен Бернулли,     мало, получаем хорошее приближение для суммы. Многочлены Бернулли   определяются рекуррентно как Выражение   называется периодической функцией Бернулли. Остаточный член[править | править вики­текст] Остаточный член R может быть легко выражен в терминах  : или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая,  что  нулю:  дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны  где  . Можно показать, что  обозначает дзета­функцию Римана. Равенство достигается для четных n и  где  помощью этого неравенства остаточный член оценивается как . С  Доказательство[править | править вики­текст] Операторные соображения[править | править вики­текст]Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка  (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Обозначим   —  разностный оператор,   — оператор суммирования,   — оператор дифференцирования,  — оператор интегрирования.  с помощью формулы Тейлора:  обратен к  , а   ­ обратен к  . Можно выразить   через  т.е.   и тогда  , а поскольку  , то Применяя это операторное соотношение к  остаточного члена. , получаем искомую формулу, но без  Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости. Доказательство с остаточным членом[править | править вики­текст] Достаточно доказать формулу при  целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в  При   формула имеет вид , поскольку мы можем любой отрезок  .       с Доказательство будем вести индукцией по m. База. При  , и мы получаем: Интегрирования по частям при  , получаем формулу при  .Шаг. Шаг индукции равносилен равенству  доказать, что , т.е. нужно  Здесь снова применима формула интегрирования по частям  при  и только тогда, когда то есть когда  нас  . :  , поэтому формула верна тогда , а это верно, поскольку при нечётных m у  Применение[править | править вики­текст] Сумма степеней[править | править вики­текст] Вычислим сумму степеней  и  , вычисляя интегралы, получаем: . Положим  , тогда    Сумма обратных квадратов[править | править вики­текст] Вычислить сумму Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов  формулы Эйлера­Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма  равна  , что и было им доказано в том же году.[1][2] Численное интегрирование[править | править вики­текст]Формула Эйлера­Маклорена также может быть использована для детального анализа  ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую  производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется  в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadratureсущественно изменяет  переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических  функций, для которых приближение Эйлера­Маклорена особенно точно (в этом частном  случае формула Эйлера­Маклорена берется в форме дискретного косинус­ преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции. Асимптотическое выражение для суммы[править | править вики­текст] Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего  используется следующая форма формулы Эйлера­Маклорена:  или  где a,b ­ целые. Часто формула остается справедливой и при расширении  пределов  может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если  сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда  могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например, , или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части  Здесь левая часть равна  , называемая полигамма­функцией первого порядка,  определяемая как  ; гамма­функция   равна  ,  если z натуральное. Полученный результат есть асимптотческое разложение  выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной  ошибки формулы Стирлинга для факториала. . Это  Аппроксимация для гармонических чисел[править | править вики­текст] Полагаем  , тогда   и тогда получаемгде  . Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера  . Аппроксимация Стирлинга для факториала[править | править вики­текст] Полагаем  , тогда   и тогда получаем где на самом деле  Стирлинга. . Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу  Примечания[править | править вики­текст] 1. ↑ David J. Pengelley, "Dances between continuous and discrete: Euler's summation  formula", in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002), Euler Society, 2003. 2. ↑ К. П. Кохась Сумма обратных квадратов // Матем. просв.. — 2004. — В. 8. —  С. 142–163. Литература[править | править вики­текст]  Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. —  703 с. — ISBN 5­03­001793­3.  Фихтенгольц Г. М. Глава 12. § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера­Маклорена // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7­е  изд.,стереотип. — М.: Наука, 1969. — Т. 2. — С. 531—551. — 800 с.