Фрактальная геометрия

Удивительный мир фракталов

Введение

Человек познает окружающий мир, открывая его законы и используя их в интересах развития общества. Важной задачей науки является описание различных явлений природы через определенные закономерности, в том числе, математические. Однако до недавнего времени ученые не располагали математическим аппаратом, который позволял бы достаточно полно описывать природные объекты — форму облаков, гор, деревьев, берегов моря и др.

Новые возможности в этой области открыло такая область геометрии как геометрия фракталов.

Актуальность проекта

Несмотря на то, что фрактальная геометрия является относительно новой областью знания, сегодня она нашла применение в разных областях не только науки, но и искусства. С помощью фракталов ученые смогли получить достоверное описание такие объектов и явлений, которые они не могли объяснить другими известными способами. В связи с этим область применения достижений этой области науки сегодня быстро растет.

Гипотеза исследования

Появление фрактальной геометрии – важный этап развития науки, расширения способов познания человеком окружающего мира

Цель проекта — изучить теорию фракталов, описать области ее применения

Задачи проекта:

1.      Познакомиться с историей возникновения и развития фрактальной геометрии.

2.      Изучить виды фракталов, их особенности, способы построения.

3.      Рассмотреть примеры существования фракталов в окружающей природе.

4.      Проанализировать применение фракталов в различных областях.

5.      Рассмотреть примеры фрактальной графики.

Часть 1. История фрактальной геометрии

Термин «фрактал» был введен в 1975 году выдающимся французским и американским математиком Бенуа Мандельбротом и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Б. Мандельброт, будущий создатель фрактальной геометрии, родился в Варшаве в 1924 году.  Через 12 лет его семья эмигрировала во Францию и поселилась в Париже. Здесь Бенуа начал активно общаться со своим дядей, известным парижским математиком Шолемом Мандельбройтом. У мальчика открылся необычный математический дар — великолепное пространственное воображение, которое позволяло ему решать геометрическим способом даже алгебраические задачи. Благодаря этой способности, Бенуа сразу после войны поступил в престижное учебное заведение — Политехническую школу Парижа.

С 1958 году Мандельброт окончательно переехал в США, где приступил к работе в исследовательском центре компании IBM в Йорктауне. IBM — всемирно известная компания, занимавшаяся созданием вычислительной техники; разработанный ей тип компьютеров до сих пор является стандартом высоких технологий. Мандельброт проводил исследования не только в тех областях, которые представляли практический интерес для компании. Круг его научных работ был гораздо шире. Он работал в таких сферах, как лингвистика, теория игр, экономика, аэронавтика, география, физиология, астрономия, физика.

В 1975 году Мандельброт опубликовал свою работу «Какова длина побережья Великобритании?», которую можно считать первым исследованием фракталов. Используя находящиеся в его распоряжении компьютеры IBM, Бенуа Мандельброт смог создать уникальные графические изображения предложенных им фракталов. В 1977–1982 годах он опубликовал ряд научных трудов, посвященных изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы».

Достижения Бенуа Мандельброта были признаны мировой наукой. Ученый был удостоен множества престижных наград. Он стал почетным преподавателем Йельского Университета, в котором работал много лет, членом Норвежской академии наук. За свои научные достижения Бенуа Мандельброт был удостоен медали Барнарда (1985 г.), медали Франклина (1986 г.), премим Харви (1989 г.), премии Вольфа (1993 г.), премия Хонда (1994 г.), медаль Джона Скотта (1999 г.), медали Льюиса Фрая Ричардсона (2000 г.), премии Уильяма Проктера (2002 г.). Мандельброт стал кавалером ордена Почетного легиона — высшей награды Франции, являющейся символом признания особых заслуг и присуждаемой за выдающиеся военные или гражданские заслуги президентом страны.

Слово «фрактал», введенное Бенуа Мандельбротом, означает геометрическую фигуру, составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Оно происходит от латинского слова fractus — дробленый, сломанный, разбитый. Такая фигура обладает свойством самоподобия: объект, в точности или приближенно совпадающий с частью себя самого. Таким образом, любая, даже очень небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

Слово «фрактал» сегодня используется не только как математический термин. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из свойств:

·      увеличение масштаба фигуры не ведет к упрощению ее структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину. В этом отличие фрактала от так называемых регулярных фигур (окружность, эллипс и др.), фрагменты которых в очень крупном масштабе похожи на фрагмент прямой;

·      является самоподобным или приближенно самоподобным, то есть целый объект имеет ту же форму, что и его части.

Такими свойствами обладают очень многие объекты в природе.

Часть 2. Виды фракталов

В математике можно выделить три типа фракталов — геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы

Это самый первый открытый тип фракталов, с которых, по сути, и началась история их изучения. Поэтому геометрические фракталы иначе называют классическими.

Фракталы такого типа получают путем простых геометрических построений. Сначала задается исходная фигура, на основе которой будет строиться фрактал. Затем определяется процедура-генератор — правило или набор правил, по которым преобразуется исходная фигура. Если такую процедуру повторить бесконечное число раз, мы получаем геометрический фрактал.

Геометрические фракталы хороши тем, что, являясь предметом серьезного научного изучения, они одновременно очень наглядны, их можно «увидеть». Такое сочетание редко наблюдается в современной математике. Многие фракталы можно таким образом нарисовать, даже не имея специального математического образования. Получаемые изображения не будут фракталами в строгом смысле этого слова, поскольку процедуры их изображения человек не может сделать бесконечное число раз. Но всегда можно нарисовать такое приближение, что глаз не будет различать совсем мелкие детали и наше воображение сможет создать верную картину фрактала.

На примере изображений таких фракталов видно основное их свойство —самоподобность частей. Эти изображения не изменяются при изменении масштаба, и независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите все тот же узор.

Известным примером геометрических фракталов является так называемая «снежинка Коха». Она была изобретена в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом и является, таким образом, одним из первых исследованных учеными фракталов. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

«Снежинка Коха» обладает удивительным свойством — она имеет бесконечную длину, но при этом площадь ее конечна. Чтобы нарисовать такую фигуру, берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге операция повторяется для каждого из четырех получившихся отрезков. Если такую процедуру повторить бесконечное число раз, получается геометрический фрактал.

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект, получивший в его честь название «салфетка  Серпинского». Для его построения берется сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трех оставшихся треугольников и т.д. Дальше эти же действия нужно повторять бесконечное число раз с каждым из оставшихся трех треугольников.

Удаление из фигуры центральных треугольников — не единственный способ получить «салфетку Серпинского». Можно двигаться и обратным путем — взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нем треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т.д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут все больше походить друг на друга.

Можно рисовать «салфетку Серпинского» и в виде квадрата. Такой вариант был описан Вацлавом Серпинским в 1916 году. Обычно это делается следующим образом —исходный квадрат делится на 9 частей и из него выбрасывается центральная часть. Затем то же повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т.д. бесконечное число раз. Интересно то, что и треугольник, и квадрат, полученные таким образом, имеют нулевую площадь.

«Салфетку Серпинского» можно изобразить и в трехмерном пространстве. При этом получается геометрическая фигура, известная как «губка Менгера». Чтобы построить губку, нужно бесконечное число раз повторить такую процедуру: берется кубик, который делится на 27 кубиков втрое меньшего размера; из них выбрасывается центральный кубик и его 6 соседей. То есть из каждого кубика возникает 20 новых, в три раза меньших. Замечательное свойство «губки Менгера» в том, что она имеет нулевой объем, но при этом бесконечно большую площадь.

Алгебраические фракталы

В отличие от геометрических, эта группа фракталов строится на основе алгебраических формул, зачастую очень простых.

Классическим примером алгебраических фракталов является множество Мандельброта. Множество Мандельброта является одним из самых известных фракталов, в том числе за пределами математики, благодаря своим цветным визуализациям. Обычно именно с ним ассоциируется понятие фрактала.

Такое множество было описано еще в 1905 году французским математиком Пьером Фату, но впервые его построил Бенуа Мандельбротом в 1980 году. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определенные части все больше похожи друг на друга.

Интересно, что до настоящего момента не известно точное значение площади множества Мандельброта. Существуют лишь различные оценки этой величины.

Множество Мандельброта нашло применение, например, в физике плазмы для анализа возникновения турбулентности, а также в других науках. Его визуальное представление широко используется в дизайне. Поиск красивых изображений множества Мандельброта — интересное хобби для многих людей.

В 1924 году французским математиком Гастоном Жюлиа был изобретен фрактал, названный в его честь «множеством Жюлиа». Жюлиа также был удостоен за свои исследования высоких наград, в числе которых — главная премия Французской академии наук. Его работы уже в 70-х годах XX века популяризировал Бенуа Мандельброт.

Стохастические   фракталы

Еще одним известным классом фракталом являются стохастические фракталы. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова «предположение».

Обычные геометрические фракталы, как бы они ни были похожи на границу берега или рельеф горы, не может выступать в качестве модели таких объектов. Для этого их формы являются слишком правильными, одинаковыми во всех частях. При создании реальных природных ландшафтов всегда есть элемент случайности. Построить такие объекты позволяют стохастические фракталы, которые также называют «рандомизированными» (или имеющими случайные изменения).

Для построения такого фрактала используется обычный алгоритм, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины. Такое внесение случайного компонента позволяет получать объекты, очень похожие на природные — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии, неровные горные пейзажи и т.д.

Типичный представитель этого типа фракталов — «плазма» Для ее построения берется прямоугольник, и для каждого его угла определяется какой-либо цвет. Далее находятся центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваются в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Затем исходный прямоугольник разбивается на 4 равных прямоугольника, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее этот процесс повторяется, в результате чего получается рисунок, очень похожий на плазму.

Стохастические фракталы широко используются в компьютерном дизайне. Например, можно предположить, что цвет каждой точки прямоугольника обозначает высоту над уровнем моря. Тогда эта фигура будет изображать карту высот. Представив ее в трехмерном масштабе, мы получим горный массив. Именно на этом принципе основано моделирование гор в различных компьютерных программах.

Часть 3. Фракталы в окружающей природе

Как было показано ранее, фрактальная геометрия позволяет очень реалистично моделировать окружающий нас мир. Это связано с тем, что очень многие природные объекты — кроны деревьев, облака, горы, береговые линии и др. — имеют фрактальную структуру.

Природные объекты отличаются от идеальных фракталов, тем, что их структура повторяется с определенными неточностями. Поэтому принято говорить, что такие структуры являются не фрактальными, а квазифрактальными (или фракталоподобными, то есть похожими на фракталы). Объекты, созданные природой, не могут быть идеальными фракталами из-за естественных ограничений — их структура не может повторяться бесконечно, поскольку ограничена размерами отдельной клетки и молекулы. Поэтому на некотором малом масштабе фрактальная структура таких объектов исчезает.

Примеры природных фракталов очень разнообразны. В живой природе к ним относятся, например, кораллы, морские звезды и ежи, морские раковины, цветы и растения (брокколи, капуста), кроны деревьев и листья растений, плоды (ананас), система кровообращения и бронхи людей и животных. В неживой природе фракталами являются береговые линии, горные хребты, снежинки, облака, молнии, морозные узоры на оконных стеклах, кристаллы, сталактиты.

Древние живые организмы во многом были более похожи на фракталы, чем современные. Есть предположение, что наиболее простые живые организмы в древности состояли из одинаковых клеток с фрактальной организацией. Одной из особенностей их строения является их способ формировании тел. Они обладали очень простой структурой ветвления, так как их создание занимало небольшое число «генетических команд». Например, фрактофус — распространенная окаменелость, свидетельствующая о существовании в прошлом таких животных — состоит из ветвящихся элементов, по 20 штук с каждой стороны. Каждая ветвь в точности повторяла своего родителя, начиная с микроскопического уровня. Это был простой, но очень эффективный способ построения тела. Благодаря тонко разделенным ветвям у организма была большая по площади поверхность, что позволяло ему впитывать питательные вещества напрямую, не имея рта и пищеварительного тракта.

Фрактальный способ оказался полезным для того, чтобы ранние организмы начали развиваться, потому что для создания одной особи требовался минимум генетической информации. В ходе эволюции живые организмы начали увеличиваться в размерах, их строение усложнялось и все менее начинало напоминать фрактальные структуры. Однако фрактальность отдельных частей объектов живой природы осталась, и ее можно встретить повсеместно. Любой орган животного имеет структуру, близкую к фрактальной, даже если внешне не выглядит таковым. Например, кровеносная система опутывает капиллярной сетью все органы животного так, что в непосредственной близости от каждой клетки находится капилляр, через который происходит обмен клетки с окружающей средой. Каждый капилляр — малая копия других, более крупных кровеносных сосудов.

Примером природного фрактала являются щупальца осьминога, морского придонного  животного из отряда головоногих. Фрактальное строение имеют  его тела и присоски  на всех восьми его щупальцах. Более 3,5 тысяч разновидностей кораллов, существующих в живой природе, также развиваются как фракталы.

Мы можем легко рассмотреть фрактальную структуру живого объекта на примере цветной капусты. Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остается все та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом. Однако все, что получается в итоге, будет выглядеть как крошечные копии цветной капусты.

Часть 4. Применение фракталов

Необычное применение фракталы нашли в литературе. Они представляют собой произведения, каждая часть которых содержит фрагменты других частей. Вот известный пример такого стихотворения:

«Вот дом, который построил Джек.

А вот пшеница,

Которая в темном чулане хранится

В доме, который построил Джек

А вот веселая птица-синица,

Которая ловко ворует пшеницу,

Которая в темном чулане хранится,

В доме, который построил Джек…»

В сфере высоких технологий фрактальные структуры используются, например, в телекоммуникациях. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что значительно уменьшает их размеры и вес.

Фрактальный принцип используется в архитектуре для проектирования зданий и других объектов. Использование таких правил далеко не всегда было обосновано математически, но строители приходили к таким решениям благодаря интуиции, таланту и чувству гармонии. Стремясь повторить законы природы в рукотворных объектах, даже древние строители зачастую приходили к созданию фрактальных структур.

Подобие крупные объектов и отдельных их частей, являющееся отличительным признаком фракталов, можно видеть в разных исторических зданиях. Например, самоподобие форм характерно для здания Исторического музея в Москве, индийских храмов, фасадов готических зданий Германии. Замок Кастель-дель-Монте, построенный в Италии при императоре Фридрихе II, представляет в плане правильный восьмиугольник, к вершинам которого пристроены восемь башен, также имеющих в плане форму правильных восьмиугольников — таким образом, здесь прослеживается фрактальная структура. Силуэт всемирно известного Миланского собора содержит множество вертикальных повторяющихся элементов. Расположение и размеры куполов многоглавых церквей также напоминают фрактальную структуру. Эйфелева башня, самая известная архитектурная достопримечательность Парижа, построенная Гюставом Эйфелем в 1889 году, имеет самоподобные геометрические элементы, характерные для фракталов. Подобные принципы также широко использовались в декоративных элементах зданий, например, металлических узорах оград и решеток.

С момента появления фрактальной геометрии такие структуры начали широко использовать в своем творчестве дизайнеры со всего мира. Применение фракталов значительно расширило направления современного дизайна, о чем будет более подробно рассказано в следующей части работы.

Фракталы сегодня применяются и в естественнонаучных дисциплинах. Например, в физике твердых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства различных веществ (например, кристаллов). Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствам.

Часть 5. Фрактальная графика

Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры. Можно сказать, что художники были одними из первых, первыми, кто взял на вооружение принципы и алгоритмы построения этих необычных форм.

Фрактальные рисунки получили известность благодаря работам Лорена Карпентера, будущего основателя известной анимационной студии Pixar. Работая над презентацией прототипов самолетов, он хотел использовать в качестве фона изображение гор. В 70-х годах XX века нарисовать такой объект было очень сложно, поскольку необходимые алгоритмы для вычислительных машин еще не были написаны, и привычных нам графических редакторов пока не существовало. Карпентер прочел книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность» и решил опробовать этот метод на практике. Ему понадобилось всего три дня, чтобы визуализировать вполне реалистичное изображение горного ландшафта на своем компьютере. Как оказалось, создание фрактальных пейзажей, мало чем отличимых от фотографии, на основе алгоритмов Мандельброта может быть достаточно простым.

Уже через несколько лет Карпентер применил свои наработки в анимационном ролике Vol Libre, который был представлен на самой известной выставке компьютерной графики Siggraph в 1980 году. Это видео произвело на посетителей неизгладимое впечатление, и его создатель был приглашен работать в одну из ведущих кинокомпаний мира, основанную режиссером и сценаристом Джорджем Лукасом, — Lucasfilm. Здесь аниматор смог реализоваться в полной мере, создав реалистичные трехмерные ландшафты целой планеты для фильма «Star Trek» («Звездный путь»). Студия Дж. Лукаса впоследствии широко использовала эти достижения при создании самого известного своего произведения — серии фильмов «Star Wars» («Звёздные войны»).

Сегодня мало какой масштабный кинематографический проект обходится без использования фрактальной графики. Особенно востребованы ее достижения при съемке фантастических фильмов, требующих моделирования реалистичных миров других планет. Программы создания реалистичных ландшафтов вошли не только в состав профессиональных пакетов для трехмерного дизайна, таких как Maya, Softimage или 3ds Max. Существует ряд программ, доступных и для обычных пользователей — Terragen, Vue, Bryce.

Помимо кино, фрактальные алгоритмы используются для моделирования природных объектов — гор, морей, облаков и др. — во многих компьютерных играх. Есть такие алгоритмы, например, и в широко известной сегодня игре Minecraft.

Выводы

При подготовке данного проекта мы познакомились с историей возникновения фрактальной геометрии. Несмотря на то, что эта область математической науки является сравнительно молодой, ее достижения получили широкое применение в разных областях не только науки, но и искусства. Это связано с тем, что фрактальная геометрия смогла объяснить явления, которые широко известны и повсеместно встречаются в окружающем мире, но ранее не доступные для понимания.

Наука выделяет разные типы фракталов, основными из которых являются геометрические, алгебраические и стохастические. Геометрические фракталы наиболее просты и понятны, их можно легко изобразить с помощью простых геометрических процедур. Алгебраические фракталы внесли важный вклад в развитие разных областей науки. Понимание того, что из себя представляют стохастические фракталы, позволяет легко моделировать разнообразные природные объекты.

В ходе работы над проектом мы выяснили, что примеры фракталов широко распространены в окружающем нас мире. Даже те объекты живой природы, которые внешне на похожи на фракталы, имеют их признаки. Это позволяет глубже понять законы развития природы, открывает широкие возможности применения фрактальных алгоритмов в различных областях.