Аннотация:
Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках обобщения, конкретизации, анализе, синтезе и др. Для реализации именно этих задач математического образования проводятся элективные занятия. Перед знакомством одиннадцатиклассников с дифференциальными уравнениями я провожу несколько занятий по теме «функциональные уравнения» так как дифференциальные уравнения являются частным случаем функциональных уравнений. Считаю психологически оправданным изучение этой темы, так как ученики привыкли корнями уравнения считать числа x, y, …, а в функциональном уравнении корень это функция.
Уравнения, в котором неизвестным является некоторая функция (или функции) называется функциональным уравнением. Решением функционального уравнения называется функция, при подстановке которой в уравнение, оно превращается в тождество.
Решать функциональное уравнение – значит найти множество всех его решений. В статье представлены методы и приёмы решения функциональных уравнений на конкретных примерах. Рассматриваются задания для самостоятельного решения их школьниками.
Ключевые слова: дифференциальными уравнениями, функциональное уравнение, решение функционального уравнения, корни функционального уравнения, метод подстановки, двойная подстановка, системы функциональных уравнений, тождество.
функциональные уравнения.doc
Функциональные уравнения.
Зотова Рита Ямилевна
учитель математики, первой категории,
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя школа №12,
г. Сургут
Аннотация:
Для жизни в современном обществе важным является формирование
проявляющегося в определенных
математического стиля мышления,
умственных навыках обобщения, конкретизации, анализе, синтезе и др. Для
реализации именно этих задач математического образования проводятся
Перед знакомством одиннадцатиклассников с
элективные занятия.
дифференциальными уравнениями я провожу несколько занятий по теме
«функциональные уравнения» так как дифференциальные уравнения являются
частным случаем функциональных уравнений. Считаю психологически
оправданным изучение этой темы, так как ученики привыкли корнями уравнения
считать числа x, y, …, а в функциональном уравнении корень это функция.
Уравнения, в котором неизвестным является некоторая функция (или
функции) называется функциональным уравнением. Решением функционального
уравнения называется функция, при подстановке которой в уравнение, оно
превращается в тождество.
Решать функциональное уравнение – значит найти множество всех его
решений. В статье представлены методы и приёмы решения функциональных
Рассматриваются задания для
уравнений на конкретных примерах.
самостоятельного решения их школьниками.
Ключевые слова: дифференциальными уравнениями, функциональное
уравнение, решение функционального уравнения, корни функционального уравнения, метод подстановки, двойная подстановка, системы функциональных
уравнений, тождество.
Перед знакомством одиннадцатиклассников с дифференциальными
я провожу несколько занятий по теме «функциональные
уравнениями
уравнения» так как дифференциальные уравнения являются частным случаем
функциональных уравнений. Считаю психологически оправданным изучение
этой темы, так как ученики привыкли корнями уравнения считать числа x, y, …,
а в функциональном уравнении корень это функция. При рассмотрении данной
темы рассматриваю вопросы:
1)
2)
Определение функционального уравнения;
Что значит решить функциональное уравнение и что является
решением функционального уравнения;
3) Метод подстановки при решении функционального уравнения;
4)
Функциональные уравнения, где используется двойная
подстановка;
5)
Различные примы решения функциональных уравнений
связанных с методом подстановки;
6)
Решение систем функциональных уравнений.
Уравнения, в котором неизвестным является некоторая функция (или
функции) называется функциональным уравнением. Решением функционального
уравнения называется функция, при подстановке которой в уравнение, оно
превращается в тождество.
Решать функциональное уравнение – значит найти множество всех его
решений. Один из основных методов решения функциональных уравнений это
метод подстановки.
Пример 1.
Решить функциональное уравнение:
x
x
)
,1
где
х
R
xf
(2)(
f
Решение:
Т.к.
Rx , то заменяем x на
, тогда
0x
выполняется только при
x
. Это значит, что
f
(
x
)(2)
xf
x
1
x
x
, это равенство
. Рассмотрим систему
.
)(xf
уравнений, найти нужно
(2)(
xf
x
x
,1
)
f
f
x
)(2)
x
(
;2|1
xf
xf
(2)(
x
x
,1
f
)
(2
)(4)
x
2
f
xf
x
;2
складываем
)(3
xf
x
,3
)(
xf
x
3
1
Проверка:
x
3
1
x
,1
x
3
x
3
x
21
2
x
x
1
1
2
x
,1
тождество, значит
)(
xf
x
3
1
решение
,1
функционального уравнения.
Пример 2.
Значение функции f определено для каждого действительного числа и
является действительным числом. Найти функцию f(x), если известно, что для
каждого действительного х выполнено равенство
)(2
xf
f
1(
Решение:
x
)
2
x
.
Выясним, как заменить
f
1(
x
)
через
)(xf
. Так как по условию
Rx , то
заменим
x1
через х. Это не значит, что
x
1
x
. Это равенство выполняется
только при
5,0x
. Получим новое уравнение
1(2
f
x
)
xf
)(
1
2
x
.
Рассмотрим систему уравнений: )(2
xf
1(2
f
x
f
)
уравнения.
2
1(
x
)
)(
xf
x
1(
),2(|
2
x
;)
1(2)(4
)
x
xf
f
xf
1(2
)(
f
1(
)
x
,
2
2
x
2
;)
x
складываем
)(3
xf
2
2
x
1(
2
x
)
;
)(
xf
2
x
21
3
x
2
x
;
xf
)(
1
3
2
x
2
3
x
1
3
.
Проверка:
)(2
xf
f
1(
x
)
2
x
,
2
3
2
3
2
x
4
3
x
2
3
1
3
1(
2
x
)
1(
x
)
2
3
1
3
2
x
,
2
x
4
3
x
2
3
1
3
2
3
x
1
3
2
x
2
3
2
3
x
1
3
2
x
,
2
x тождество.
x
2
Следовательно
)(
xf
1
3
2
x
2
3
x
1
3
решение функционального уравнения.
Пример 3.
Решить функциональное уравнение:
f
x
2
1
x
1
x
, ОДЗ
1x
.
Метод замены. Пусть
x
2
1
x
1
a
(1), тогда
2
x
1
xa
(
)1
,
2
x
1
ax
a
,
2
xa
a
1
,
a
2
x
a
1
,
x
a
a
1
2
(2). Подставляем (1) и (2) в
начальное уравнение, получим
af
)(
a
a
1
2
или
)(
xf
x
x
1
2
где
2x
.
Получим ответ
)(
xf
x
x
1
2
.
Проверка: f
x
2
1
x
1
x
2
1
x
1
x
2
1
x
1
1
2
(
x
2(
x
1
x
2)(1
x
)(1
21
x
x
)1
)2
x
3
3
x
, тождество при
1x
,
2x
.
Для самостоятельного решения:
1)
3)(
xf
f
1
x
x
(
x
)0
Ответ:
xf
)(
3
2
8
x
x
;
2)
f
x
x
1
2
2
f
x
x
2
1
x
Ответ:
xf
)(
4
x
1(3
5
x
)
2x
,
0x
,
1x
;
3)
xf
(2)(
f
x
x
)
1
Ответ:
)(
xf
x
1
3
1
.
Пример 4.
Известно, что
2)(3
xf
f
1
1
x
28
cos
2
. Найти
x
5
)3(f
.
При решении этого уравнения применяется двойная подстановка.
Решение:
2)(3
xf
f
1
1
x
28
cos
2
(1)
x
5
0x
Пусть
1
1
x
y
,
1
y
1
x
,
x
1
1 , уравнение (1) примет вид
y
3
f
1
1
x
xf
2
28
cos
2
x
1
5
(2)
1x
. В этом равенстве положим
x
1
1 ,
t
тогда
1
1
x
1
1
1
1
t
t
1
t
1
1
t
.
Уравнение (2) примет вид:
3
f
1
1
t
2
f
1
t
1
28
cos
2
1(
1
t
,5)
заменяя t на x , получим
уравнение:
1
3
f
1
x
2
f
1
1
x
28
cos
2
1(
1
x
,5)
(3). Уравнение (1), (2), (3) образуют систему:
2)(3
xf
f
1
1
x
28
cos
2
x
,5
3
f
3
f
1
1
1
x
1
x
)(2
xf
28
cos
2
x
1
,5
2
f
1
1
x
28
cos
2
1
1
x
.5
Пусть
xf
)(
fa
,
1
1
x
fb
,
1
1
x
c
, тогда система примет вид:
|5
3
2
,
2
3
,
3
a
2
b
28
cos
2
x
|5
3
c
a
2
28
cos
2
3
b
2
c
28
cos
2
1
x
1
1
x
;54
домножим первое уравнение на
3
2
, второе на
2
3
и сложить все три
уравнения.
9
2
a
3
b
2
c
4
3
a
3
b
2
c
42
cos
2
x
15
2
56
3
2
cos
x
1
10
3
28
cos
2
1
1
x
,5
35
6
a
42
cos
2
x
56
3
2
cos
x
1
28
cos
2
1
1
x
35
6
,
a
6
42
35
cos
2
x
56
6
335
2
cos
x
1
28
6
35
2
cos
1
1
x
1
(
xf
),
f
f
)3(
)3(
0
36
5
.516
24
5
1
4
,1
Ответ:
f
)3(
5
.
Для самостоятельного решения:
1)
)(
xf
f
1
1
x
x
(
x
,0
x
)1
Ответ:
xf
)(
3
x
(2
x
xx
1
)1
; 2)
f
x
xf
1
x
2
1
x
(
x
,0
x
)1
Ответ: такая функция не существует
(соответственно система не будет иметь решения)
Вывод: При решении функциональных уравнений обычно составляется
система из двух уравнений, но иногда за два шага добиться результата не
удается.
Рассмотрим различные приёмы решения функциональных уравнений,
связанных с методом подстановки.
Пример 5.
Существует ли функция f такая, что при любых действительных х и у
выполняется равенство
)(
xf
)(
yf
.
xy
Решение:
Поскольку х и у – любые числа, то пусть у = х, уравнение примет вид
)(
xf
yf
)(
x
2
,
xf
)(
2x
2
.
Проверка: при х = у,
2
x тождество, а если
x
2
x , получим
y
2
2
xy
y
2
, это не тождество для
x
2
существует. Этот пример показывает, что проверка должна быть не формальной
x . Поэтому такая функция не
y
и ещё, когда мы х заменяем на у, то это не значит, что х = у.
Пример 6.
Существует ли функция что для любых х и у
xf
)(
)(
yf
2
x
2
y
похожее уравнение на пример 4:
Пусть
x
y
,
)(2
xf
2
x
2
,
)(
xf
2
x
, проверка: при
x
y
,
2
x
2
2
x
x
2
y
;
При
x
y
2
x
)(
xf
2x
.
2
2
x
y
2
y
тождество, значит такая функция существует
Для самостоятельного решения:
1)
yf
2)(
xf
)(
xf
(
xy
y
)
. Ответ:
)(
xf
2x
.
(
xf
)
y
(
xf
2)
Пример 7.
y
)
(6
2
x
2
y
)
. Ответ:
1)(
xf
x
.
Последовательность функций
f n
)(x
задана следующим образом:
)(
xf
1
x
,
f
n
1
)(
x
1
1
f
n
)(
x
. Найдите
f
2004
(
2004
)
.
Решение: так как
)(
xf
1
x
,
f
n
1
)(
x
1
1
f
n
)(
x
, то
f
)(2
x
1
1
;
x
f
3
x
)(
1
1
f
2
)(
x
1
1
1
x1
1
x
x
1
1
x
;
f
4
x
)(
1
1
f
3
x
)(
1
1
x
1
x
x
x
x
1
x
;
f
)(5
x
1
1
x
;
f
1)(6
x
1
x
, то есть последовательность функций
f n
)(x
периодична с периодом 3. Так как 2004 кратно 3, то
f
2004
(
2004
)
f
3
(
2004
1)
1
2004
2003
2004
.
Ответ:
2003 .
2004
Пример 8.
x
3(
Найдите функции
,)(xf
f
)5
x
3
(7)2
xg
x
3
)1
(
xf
4
g
x
удовлетворяющие системе уравнений.
),1(
g(x)
1
).2(
Пусть
3
x
2
t
,1
тогда
t
x
3
,
3
x
5
t
3
3
5
t
12
3
t
3
,4
x
1
t
3
3
1
6
.
t
3 Тогда уравнение (1) примет вид
f
(
t
7)1
g
t
3
4
(
xf
7)1
g
x
3
4
1
3
(
x
).6
1
3
t
6
или
g
4
x
3
(
xf
7)1
Система примет вид:
получим
x
3
)1
(
xf
4
g
1
3
.3
x
(
x
),6
вычитаем из первого уравнения второе,
8
g
x
3
4
1
3
x
,32
x
8
g
x
3
4
2
8
3
x
,
g
x
3
4
1
12
Пусть
x
3
4
a
,
x
12
3
a
(3
a
).4
Уравнение (3) примет вид
),43(
x
).3(
)(
ag
a
3(
(12
)),4
1
12
Из уравнения (2) начальной системы имеем:
)(
ag
)(
ag
1
4
,4
a
a
15
4
или
)(
xg
1
4
4(
x
).15
(
xf
)1
1
12
)43(
x
,3
x
(
xf
)1
1
12
,3)43(
x
x
(
xf
)1
1
12
32(
x
),3
xf
(
)1
1
12
(32(
x
)1
)29
, заменяя
1x
на x имеем
)(
xf
1
12
32(
x
)29
.
Ответ:
)(
xf
1
12
32(
x
)29
;
)(
xg
1
4
4(
x
).15
Для самостоятельного решения: найдите функции
)(xf
и
)(xg
удовлетворяющие системе уравнений: f
f
2(
x
2(2)1
xg
x
x
x
1
g
x
)1
.
x
1
,2
x
Ответ:
)(
xf
)(
xg
2
x
2
x
1
5
,
.
1
1
4
7
x
x
x
x
Список использованных источников:
1. Математика. Сам себе репетитор: Задачи повышен. сложности / Э.
Н. Балаян. Ростов н/Д: Феникс, 2004 (ЗАО книга). 476с: 20 ил.,21см. –
(серия Абитуриент);
2.
Нестандартные задачи по математике. Алгебра: учеб. пособие для
учащихся 711 кл./ Е. В. Галкин. Челябинск «Взгляд», 2004. 448с.
Функциональный уравнения
Функциональный уравнения
Функциональный уравнения
Функциональный уравнения
Функциональный уравнения
Функциональный уравнения
Функциональный уравнения
Функциональный уравнения
Функциональный уравнения
Функциональный уравнения
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
18.02.2018
Посмотрите также:
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
О портале
