Конспект урока по алгебре тему: «Комплексные числа»

Комплексные числа.

ПЛАН:

Основные понятия. Формы записи.
Действия над комплексными числами:
Сложение комплексных чисел;
Вычитание комплексных чисел;
Умножение комплексных чисел;
Деление комплексных чисел ;
Извлечение корней из комплексных чисел.

Мнимые числа

i, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа

Арифметические операции над чисто мнимыми числами выполняются в соответствии с условием С3.

где a и b — действительные числа.

В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:

Комплексные числа

Определение 1. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.

Определение 2. Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:

Арифметические операции над комплексными числами

Определение: Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному.

Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается :

:

.

Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам.

Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными комплексными числами.

Определение. Число w называют квадратным корнем из комплексного числа z, если его квадрат равен z:
Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти два числа выражаются формулой:

Комплексному числу z на координатной плоскости соответствует точка М(a, b).
Часто вместо точек на плоскости берут их радиусы-векторы
Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi называют неотрицательное число ,

равное расстоянию от точки М до начала координат

b

a

y

x

O

φ

Тригонометрическая форма комплексного числа

где φ – аргумент комплексного числа,
r = - модуль комплексного числа,

Теорема 1. Если

и

то:

б)

а)

Теорема 2 (формула Муавра).
Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п — любое целое число. Тогда

Извлечение корня из комплексного числа.

Теорема. Для любого натурального числа n и отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n-степени.
Если

Основные понятия.

Определение.
Комплексным числом Z называется выражение вида Z = a+bi , где a и b- действительные числа, а i - мнимая единица,

Например, Z1 = 6+2i или Z2 = 1-5i .
Число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается a=Re z,
а b - мнимой частью и обозначается b=Im z.

Основные понятия.

Два комплексных числа называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.

Два комплексных числа, отличающихся лишь знаком мнимой части, называются комплексно- сопряженными.

Примеры.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число можно изобразить точкой плоскости xOy такой, что x=Re z, y=Im z.
И, наоборот, каждую точку координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа.
Z = a+bi, М(a, b)

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Плоскость, на которой изображается комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Ось абсцисс Ox называется действительной осью.
Ось ординат Oy называется мнимой осью.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Комплексное число можно задавать с помощью радиус-вектора .
Длина вектора называется модулем этого числа и обозначается фZ фили r .
Величина угла между положительным направлением оси Ox и вектором
называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Arg Z или j.
Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2pk.

Формы записи комплексных чисел.

Алгебраическая.
Тригонометрическая.
Показательная.
Любое комплексное число можно записать в любой форме.

Запись числа z в виде z=a+biназывается алгебраической формой комплексного числа.

Модуль r и аргумент j можно рассматривать как полярные координаты вектора
Тогда получаем


Комплексное число z=a+bi можно записать в виде

Или

Запись числа z в виде z=r(cosφ+sinφ)называется тригонометрической формой комплексного числа.

Формы записи комплексных чисел.

Запись числа z в виде z=a+biназывается алгебраической формой комплексного числа.

Запись числа z в виде z=r(cosφ+sinφ)называется тригонометрической формой комплексного числа.

Модуль r и аргумент j можно рассматривать как полярные координаты вектора
Тогда получаем


Комплексное число z=a+bi можно записать в виде

Или

Переход от одной формы к другой.

Т.к.
То

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента, т.е.

Т.к.
то

Комплексное число можно записать в показательной (или экспонентной) форме

Где и
В силу формулы Эйлера
функция периодическая с основным периодом 2π. Для записи комплексного числа в показательной форме достаточно определить главное значение аргумента, т.е.

2. Действия над комплексными числами

Суммой двух комплексных чисел

Называется комплексное число

Разностью двух комплексных чисел

Называется комплексное число

Геометрически комплексные числа складываются и вычитаются, как векторы.

Произведение и частное комплексных чисел в алгебраической форме.

Произведением двух комплексных чисел


называется комплексное число


Формула получается путем перемножения двучленов!

Частным двух комплексных чисел


называется комплексное число


На практике используют умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю!

Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме.

Произведение чисел


Находим по формуле


При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются!

Частное чисел


Находим по формуле


При делении модули делятся, а аргументы вычитаются!

Извлечение корней из комплексных чисел.

Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству:


Данное действие выполняется над комплексными числами в тригонометрической форме.


Получим n различных корней!