Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

План урока

1. Определение касательной к графику функции.
2. Уравнение касательной к графику функции в общем виде.
3. Алгоритм составления касательной к графику функции.
4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
5. Касательная проходит через точку, лежащую на данной прямой.
6. Касательная проходит через точку, не лежащую на данной прямой.
7. Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой.
8. Касательная является общей для двух кривых.
9. Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)?

Определение касательной к графику функции.

Алгоритм определения угла наклона касательной к оси абсцисс, проведенной к графику функции 𝒇𝒇(x) в точке ( 𝒙 𝟎, 𝒙𝒙 𝒙 𝟎, 𝟎𝟎, 𝒙 𝟎, 𝒇𝒇( 𝒙 𝟎 𝒙𝒙 𝒙 𝟎 𝟎𝟎 𝒙 𝟎 ))

𝑓𝑓´(x)

𝑓𝑓´( 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 )=tgβ
𝑓𝑓´( 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 )>0 -угол β -острый
𝑓𝑓´( 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 )<0 угол β тупой
𝑓𝑓´( 𝑥 0 𝑥𝑥 𝑥 0 0 𝑥 0 )=0

Уравнение касательной

Типология задач на определение касательной

Касательная проходит через точку, лежащую на данной кривой Касательная проходит через точку, не лежащую на данной кривой Касательная проходит под некоторым углом к данной прямой
Касательная является общей для двух кривых
Является ли данная прямая касательной к графику функции у=f(x)?

На рисунке изображен график производной функции у = f '(х). Найдите угловой коэф-фициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0 = 2.

1.
Составьте уравнение касательной к графику функции у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2

2. Напишите уравнение всех касательных к графику функции у = х2 +4х+6 проходящих через точку М(-3;-1).

Решение. 1. Точка М(-3;-1) не является точкой касания, так как f(-3)=3.
2. а – абсцисса точки касания.
3. Найдем f(a): f(a) = a 2+4a+6.
4. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x+4, f’(a)=2a+4.
5. Подставим числа а, f(a), в общее уравнение касательной
у= f(a)+ f’(a)(x–a): y=a2+4a+6+(2a+4)(x–a) – уравнение касательной.
Так как касательная проходит через точку М(-3;-1), то -1=a2+4a+6+(2a+4)(-3–a), a2+6a+5=0, a=-5 или a=-1.
Если a=-5, то y=-6x–19 – уравнение касательной.
Если a=-1, y=2x+5 – уравнение касательной.
Ответ: y=-6x–19, y=2x+5.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

𝑘 1 𝑘𝑘 𝑘 1 1 𝑘 1 = 𝑘 2 𝑘𝑘 𝑘 2 2 𝑘 2

𝑘 1 𝑘𝑘 𝑘 1 1 𝑘 1 ∗ 𝑘 2 𝑘𝑘 𝑘 2 2 𝑘 2 =-1

3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции у=х2–2х–8, параллельных прямой у=-4х–4.

1. Обозначим абсциссу точки касания а.
2. Найдем f(a): f(a)=a2–2a–8.
3. Найдем f’(x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2a–2.
Но, с другой стороны, f’(a)= - 4. 2a–2= - 4,
a= - 1, f(a)= - 5.
у=f(a)+f’(a)(x-a): y=-5–4(x+1),
y= - 4x–9 – уравнение касательной.
Ответ: y= - 4x–9.

Даны дифференцируемые функция у=f(х) и y=g(x). Нужно найти уравнения общих касательных к графику этих функций.