ГЕОМЕТРИЯ  учебная программа для 7-9 классов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ИМ.И.АЛТЫНСАРИНА

ГЕОМЕТРИЯ

учебная программа

для 7-9 классов уровня основного среднего образования

Астана

Утверждена приказом Министра образования и науки Республики Казахстан от 3 апреля 2013 года №115.

Зарегистрирована в Министерстве юстиции Республики Казахстан №8424 от 10 апреля 2013 года.

Геометрия: Учебная программа для 7-9 классов уровня основного среднего образования. – Астана: НАО им. И.Алтынсарина, 2013. – 20 с. 

© Национальная академия образования

им. И.Алтынсарина, 2013.

Приложение 33

к приказу Министра образования

и науки Республики Казахстан

от 3 апреля 2013 года №115.

Типовая учебная программа по предмету «Геометрия»

для 7-9 классов уровня основного среднего образования

1. Пояснительная записка

1.   Учебная программа разработана в соответствии с Государственным общеобязательным стандартам среднего образования (начального, основного среднего, общего среднего образования), утвержденным постановлением Правительства Республики Казахстан от 23 августа 2012 года №1080.

2.   Геометрия – один из основных разделов математики, сочетающих в себе черты естественно-научной дисциплины и формально-логической теории.

3.   При изучении геометрии в основной школе у учащихся:

1)  формируются, углубляются и систематизируются знания о геометрических фигурах на плоскости;

2)  развивается логическое и образное мышление.

4.   Овладение учащимися системой геометрических знаний и умений в комплексе с другими естественно-научными дисциплинами способствует формированию научного мировоззрения учащихся и познанию окружающего мира.

5.   Целью изучения курса геометрии в основной школе как учебного предмета является:

1)  обеспечение всех учащихся необходимым базовым уровнем математической подготовки в области геометрии для дальнейшего обучения;

2) подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии в старших классах.

6.   Изучение курса геометрии в основной школе направлено на достижение следующих целей воспитания интеллектуально развитой личности:

1)  развитие логического мышления;

2)  формирование и развитие умений и навыков геометрических построений и обоснования их правильности;

3)  формирование и развитие навыков практической деятельности на основе геометрических знаний, навыков математической деятельности;

4)  формирование пространственных представлений учащихся;

5)  создание фундамента для формирования пространственного мышления;

6)  формирование образного мышления;

7)  развитие функциональной грамотности;

8)  развитие графической грамотности, эстетического вкуса.

7.   В соответствии с указанными целями должны быть решены следующие задачи обучения:

1)  сформировать у учащихся понятие геометрической фигуры, а также  количественных и качественных соотношений между элементами одной или нескольких геометрических фигур;

2)  сформировать и развить навыки дедуктивных рассуждений (прямой метод, метод от противного);

3)  сформировать навыки построения простейших чертежей, измерительных навыков;

4)  сформировать и развить навыки самостоятельного получения знаний;

5)  сформировать и развить умения представлять реальный объект в виде одной или нескольких геометрических фигур;

6)  расширить и систематизировать теоретические знания о свойствах плоских фигур;

7)  сформировать и развить умения и навыки решения геометрических задач на вычисление, на доказательство и на построение;

8)  расширить умения и навыки узнавания геометрических фигур на чертежах различной степени сложности, использования дополнительных построений и вспомогательных чертежей при решении задач;

9)  сформировать и развить умения построения образов плоских фигур, полученных при преобразованиях плоскости;

10)  сформировать и развить умения и навыки решения геометрических задач алгебраическими методами;

11)  сформировать представления учащихся о пространстве и пространственных фигурах;

12)  ознакомить учащихся с изображениями пространственных фигур и их элементов.

8.   Основными содержательно-методическими линиями курса геометрии в основной школе являются:

1)  линия геометрических фигур и их свойств;

2)  линия измерения величин;

3)  векторно-координатная линия;

4)  функциональная линия;

5)  линия пространственных представлений.

9.   В курсе геометрии 7 класса учащиеся знакомятся:

1)  с геометрическими фигурами, их свойствами (точка, прямая, луч, отрезок, угол, плоскость, треугольник, окружность);

2)  с геометрическими отношениями (принадлежность, пересечение, параллельность, перпендикулярность, равенство);

3)  с геометрическими величинами (длина отрезка, мера угла).

10.   В обучении геометрии 7 класса широко используется чертеж, учащиеся изучают свойства геометрических фигур и отношений, решают задачи, доказывают теоремы, выполняют основные построения циркулем и линейкой, навыки выполнения чертежей развиваются параллельно с формированием геометрических понятий.

11.   В курсе геометрии 8 класса у учащихся формируются, углубляются и систематизируются:

1)  знания о геометрических фигурах на плоскости;

2)  навыки построения геометрических фигур и дедуктивных рассуждений (прямой метод, метод от противного);

3)  умения вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), применяя изученные свойства и формулы.

12.   Учащиеся 8 класса:

1)  знакомятся с тригонометрическими функциями острого угла и методом координат на плоскости;

2)  овладевают первичными навыками преобразования тригонометрических выражений и навыками применения метода координат к решению геометрических задач.

13.   Курс геометрии 9 класса характеризуется увеличением теоретической значимости изучаемого материала, повышением роли дедукции и степени абстрактности изучаемых объектов.

14.   База знаний учащихся 9 класса пополняется новыми методами изучения свойств геометрических фигур, такими как векторно-координатный метод, метод преобразований (движений и подобия), а также знакомством с элементами стереометрии.

15.   Целенаправленное обращение к примерам из практики развивает умения учащихся вычленять геометрические формы и отношения в окружающем мире, использовать язык геометрии для их описания.

16.   В процессе обучения геометрии осуществляется межпредметные связи с учебными дисциплинами естественно-математического и общественно-гуманитарного циклов.

17.   Межпредметная связь с учебным предметом «Алгеброй»:

1)  составление и решение уравнений и неравенств с одной переменной;

2)  доказательство неравенств;

3)  применение свойств пропорции при решении задач на отношения геометрических величин;

4)  применение свойств квадратного корня и модуля числа;

5)  применение значений тригонометрических функций некоторых углов;

6)  применение свойств тригонометрических функций;

7)  применение прямоугольной системы координат на плоскости для решения геометрических задач;

8)  интерпретация преобразований графиков функций в виде геометрической задачи на движения и подобия плоскости;

9)  применение тождественных преобразований при решении геометрических задач алгебраическим методом;

10)  применение тождественных преобразований тригонометрических выражений при решении геометрических задач.

18.   Межпредметная связь с учебным предметом «Физикой»:

1)  описание физических процессов при постановке и решении геометрических задач;

2)  формирование представления об основных изучаемых понятиях курса геометрии как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления;

3)  интерпретация векторной алгебры на моделях физических процессов.

19.   Межпредметная связь с учебным предметом «Географией»:

1)  использование знаний из курса географии о параллелях и меридианах;

2)   интерпретация широты и долготы как градусной меры дуги и окружности;

3)  составление кластеров, схем и графиков энерго-производственных циклов;

4)  интерпретация масштабов изображений географических объектов через подобие геометрических фигур.

20.   Межпредметная связь с учебным предметом «Биологией»:

1)  симметрия в биологических структурах.

21.   Межпредметная связь с учебным предметом «Химией»:

1)   пространственные расположение электронов в атоме;

2)  симметрия химических связей представителей органических соединений;

3)  использование формы молекул различных веществ при изучении геометрических фигур.

22.   Межпредметная связь с учебным предметом «Информатикой»:

1)  использование мультимедийных средств для иллюстрации геометрических фигур, воспроизведения динамических ситуаций, решения задач по готовым чертежам;

2)  построение множеств точек на координатной плоскости с использованием пакетов прикладных программ;

3)  использование пакетов прикладных программ, электронных изданий и учебников.

23.   Межпредметные связи с учебными предметами «Технологией» и «Черчением»:

1)  использование чертежных и измерительных инструментов;

2)  использование чертежных навыков при изображении геометрических фигур;

3)  применение различных методов измерения линейных и угловых элементов реальных объектов.

24.   Межпредметные связи с учебными предметами общественно-гуманитарного направления:

1)  знакомство с историей возникновения и эволюцией геометрических понятий;

2)  обусловленность возникновения различных геометрических задач на данном этапе развития общества;

3)  знакомство со свойствами геометрических фигур, встречающихся в памятниках культуры;

4)  обогащение словарного запаса математическими терминами;

5)  обучение грамотному построению предложений;

6)  обучение грамотному изложению своих мыслей при осуществлении дедуктивных рассуждений, анализа, доказательства.

25.   Объем учебной нагрузки по предмету «Геометрия» составляет:

1) в 7 классе – 2 часа в неделю, всего 68 часов в учебном году;

2) в 8 классе – 2 часа в неделю, всего 68 часов в учебном году;

3) в 9 классе – 2 часа в неделю, всего 68 часов в учебном году.

26.   Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки учащихся и задают систему итоговых результатов обучения, достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы.

2. Базовое содержание учебного предмета 7 класса

27.   Начальные понятия геометрии (13 ч.):

1)  основные понятия геометрии;

2)  понятие геометрической фигуры;

3)  точка, прямая, луч (полупрямая), отрезок, плоскость и их взаимное расположение;

4)  примеры геометрических фигур:

многоугольники, многогранники (куб, прямоугольный параллелепипед, пирамида);

5)  равенство фигур;

6)  измерение отрезков;

7)  угол, градусная мера угла и ее свойства;

8)  аксиомы геометрии;

9)  биссектриса угла;

10)  теорема и доказательство теоремы;

11)  смежные и вертикальные углы и их свойства.

28.   Треугольники (19 ч.):

1)  треугольник и его виды;

2)  треугольники в окружающем нас мире;

3)  медианы, биссектрисы и высоты треугольника;

4)  внешний угол треугольника;

5)  равенство треугольников, признаки равенства треугольников;

6)  свойства и признаки равнобедренного треугольника;

7)  перпендикулярные прямые;

8)  перпендикуляр и наклонная;

9)  расстояние от точки до прямой;

10)  прямоугольный треугольник, признаки равенства прямоугольных треугольников;

11)  свойства прямоугольных треугольников с острым углом 30º и 45º;

12)  соотношения между сторонами и углами треугольника;

13)  неравенство треугольника.

29.   Взаимное расположение прямых (12 ч.):

1)  пересекающиеся прямые;

2)  параллельные прямые, признаки параллельности прямых;

3)  параллельные прямые в окружающем нас мире;

4)  сумма углов треугольника;

5)  свойства параллельных прямых;

6)  расстояние между параллельными прямыми.

30.   «Окружность. Геометрические построения (18 ч.)»:

1)  окружность и ее элементы (хорда, диаметр, радиус, дуга);

2)  теоремы о перпендикулярности диаметра и хорды;

3)  касательная к окружности и ее свойства;

4)  взаимное расположение прямой и окружности;

5)  взаимное расположение двух окружностей;

6)  центральные углы, градусная мера дуги;

7)  серединный перпендикуляр и биссектриса угла, как геометрические места точек плоскости;

8)  окружность, описанная около треугольника;

9)  окружность, вписанная в треугольник;

10)  задачи на построение, этапы решения задач на построение.

31.   «Повторение. Решение задач (6 ч.)».

3. Базовое содержание учебного предмета 8 класса

32.   Повторение курса геометрии 7-го класса (4 ч.):

1)  точка, прямая, луч (полупрямая), отрезок, плоскость и их взаимное расположение;

2)  равенство фигур;

3)  аксиомы геометрии;

4)  теорема и доказательство теоремы;

5)  смежные и вертикальные углы и их свойства;

6)  признаки равенства треугольников;

7)  равнобедренный треугольник;

8)  признаки равенства и свойства прямоугольных треугольников;

9)  соотношения между сторонами и углами треугольника;

10)  признаки и свойства параллельных прямых;

11)  сумма углов треугольника;

12)  окружность;

13)  взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей;

14)  центральный угол, градусная мера дуги;

15)  задачи на построение.

33.   Четырехугольники (18 ч.):

1)  определение четырехугольника, выпуклые четырехугольники, сумма внутренних углов четырехугольника;

2)  параллелограмм и его свойства;

3)  признаки параллелограмма;

4)  прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства и признаки;

5)  теорема Фалеса, пропорциональные отрезки;

6)  трапеция;

7)  четырехугольники (параллелограммы, прямоугольники, ромбы, квадраты, трапеции) в окружающем нас мире;

8)  средняя линия треугольника, средняя линия трапеции;

9)  замечательные точки треугольника.

34.   Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (15 ч.):

1)  синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника;

2)  теорема Пифагора;

3)  основное тригонометрическое тождество и его следствия;

4)  значения тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30º, 45º, 60º;

5)  решение прямоугольных треугольников;

6)  построение прямоугольных треугольников.

35.   Прямоугольная система координат на плоскости (10 ч.):

1)  координаты точки на плоскости, координаты середины отрезка,  расстояние между двумя точками;

2)  уравнение окружности, уравнение прямой;

3)  применение координат к решению задач.

36.   Площадь (14 ч.):

1)  понятие о площади фигуры;

2)  равновеликость и равносоставленность фигур;

3)  площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.

37.   «Повторение. Решение задач (7 ч.)».

4. Базовое содержание учебного предмета 9 класса

38.   Повторение курса геометрии 8-го класса (4 ч.):

1)  четырехугольник, выпуклые четырехугольники;

2)  параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и их свойства, признаки;

3)  теоремы о пропорциональных отрезках;

4)  замечательные точки треугольника;

5)  теорема Пифагора;

6)  тригонометрические функции острых и тупых углов;

7)  метод координат на плоскости;

8)  площадь треугольника и некоторых четырехугольников.

39.   Векторы (16 ч.):

1)  понятие вектора;

2)  коллинеарные векторы;

3)  длина (модуль) и направление вектора;

4)  равенство векторов, сложение векторов и его свойства, вычитание векторов, умножение вектора на число;

5)  критерий коллинеарности векторов;

6)  свойства умножения вектора на число;

7)  разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам;

8)  векторы в прямоугольной системе координат, координаты вектора;

9)  угол между векторами;

10)  проекция вектора на координатные оси;

11)  скалярное произведение векторов;

12)  различные способы задания прямой в прямоугольной системе координат (уравнение прямой, заданной: двумя точками, точкой и угловым коэффициентом);

13)  применение векторов к решению задач.

40.   Преобразования плоскости (10 ч.):

1)  преобразование плоскости, движение и его свойства;

2)  равенство фигур и его свойства;

3)  осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот – как движения плоскости;

4)  гомотетия, преобразование подобия и его свойства;

5)  подобные фигуры;

6)  признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников.

41.   Многоугольники (13 ч.):

1)  ломаная;

2)  выпуклые многоугольники, сумма углов выпуклого многоугольника;

3)  углы, вписанные в окружность и их свойства;

4)  теорема о пропорциональности отрезков хорд и секущих окружности;

5)  вписанные в окружность и описанные около окружности четырехугольники;

6)  правильные многоугольники;

7)  формулы, связывающие стороны, периметр, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей;

8)  построение правильных многоугольников;

9)  многоугольники в окружающем нас мире.

42.   Решение треугольников (7 ч.):

1)  теоремы синусов и косинусов;

2)  решение треугольников;

3)  применение тригонометрии к решению геометрических задач и задач практического содержания.

43.   Длина окружности и площадь круга (6 ч.):

1)  длина окружности, число π;

2)  длина дуги окружности;

3)  радианная мера угла;

4)  площадь круга и его частей (сегмента и сектора).

44.   Элементы стереометрии (6 ч.):

1)  аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них;

2)  взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве;

3)  угол между прямой и плоскостью;

4)  перпендикулярность прямых, прямой и плоскости;

5)  параллелепипед, прямая и наклонная  призмы, пирамида – взаимное расположение их ребер, высота;

6)  цилиндр, конус, шар и их изображение;

7)  пространственные геометрические фигуры в окружающем нас мире.

45.   «Повторение. Решение задач (6 ч.)».

5. Требования к уровню подготовки учащихся

46.   Уровень подготовки учащихся оценивается с охватом предметных,  личностных и системно-деятельностных результатов.

47.   Предметные результаты отражены в двух аспектах (должны знать и должны уметь).

48.   В результате изучения курса геометрии в 7 классе учащиеся должны знать:

1)  что изучает геометрия;

2)  аксиомы геометрии;

3)  определение отрезка;

4)  определение луча (полупрямой);

5)  определение угла;

6)  определение равенства отрезков;

7)  определение равенства углов;

8)  определение равенства фигур;

9)  определения биссектрисы угла и середины отрезка;

10)  сравнение отрезков и углов;

11)  что такое теорема, условие и заключение теоремы, доказательство теоремы, виды теорем;

12)  определение смежных углов;

13)  свойства смежных углов;

14)  определение вертикальных углов;

15)  свойства вертикальных углов;

16)  определение треугольника, виды треугольников;

17)  определение медианы, биссектрисы, высоты треугольников;

18)  теорему о внешнем угле треугольника;

19)  признаки равенства треугольников;

20)  свойства и признаки равнобедренного треугольника;

21)  определение перпендикулярных прямых;

22)  определение перпендикуляра и наклонной к данной прямой;

23)  свойства перпендикулярных прямых;

24)  определение прямоугольного треугольника;

25)  признаки равенства прямоугольных треугольников;

26)  соотношения между сторонами и углами треугольника;

27)  неравенство треугольника;

28)  свойства прямоугольных треугольников с острым углом 30º и 45º;

29)  определение параллельных прямых;

30)  аксиому параллельности;

31)  определения углов, образованных при пересечении двух прямых третьей;

32)  признаки параллельности прямых;

33)  свойства параллельных прямых;

34)  теорему о сумме углов треугольника;

35)  определение окружности;

36)  определение радиуса, диаметра, дуги, хорды;

37)  определение касательной к окружности;

38)  теорему о перпендикулярности диаметра и хорды и обратную к ней;

39)  определение секущей к окружности;

40)  свойство касательных, проведенных к окружности из точки, не принадлежащей окружности;

41)  определение центрального угла и градусной меры дуги;

42)  взаимное расположение двух окружностей;

43)  определение окружности, описанной около треугольника;

44)  определение окружности, вписанной в треугольник;

45)  понятие геометрического места точек;

46)  множество точек равноудаленных от концов отрезков и сторон угла;

47)  смысл понятия «геометрическое построение»;

48)  этапы решения задач на построение;

49)  сущность анализа построения;

50)  доказательство и исследование при решении задач на построение;

51)  простейшие правила выполнения чертежей.

49.   В результате изучения курса геометрии в 7 классе учащиеся должны уметь:

1)  работать с чертежными инструментами;

2)  правильно читать и записывать обозначения фигур;

3)  изображать геометрические фигуры;

4)  выполнять чертежи по условию задач;

5)  распознавать геометрические фигуры на чертежах, различать их взаимное расположение;

6)  распознавать геометрические фигуры в окружающем мире;

7)  решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения;

8)  обозначать точки, отрезки, и прямые на рисунке, сравнивать отрезки и углы, с помощью транспортира, проводить биссектрису угла;

9)  устанавливать и характеризовать взаимное расположение точек, отрезков и прямых;

10)  изображать на рисунке названные фигуры в заданном взаимном расположении;

11)  выполнять действия над отрезками;

12)  различать острые, прямые, тупые и развернутые углы;

13)  изображать прямой, острый, тупой и развёрнутый углы;

14)  находить на рисунке вертикальные и смежные углы;

15)  строить угол, вертикальный или смежный с данным углом;

16)  по данной градусной мере одного из вертикальных или смежных углов находить градусную меру другого угла;

17)  находить на рисунке заданные треугольники, их стороны, вершины и углы;

18)  изображать треугольники и находить их периметр;

19)  строить биссектрису, высоту и медиану треугольника;

20)  различать остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники, изображать их на рисунках;

21)  различать разносторонние, равнобедренные и равносторонние  треугольники, изображать их на рисунках;

22)  использовать свойства равнобедренного и равностороннего треугольников при решении задач;

23)  находить соответственные элементы двух равных треугольников;

24)  использовать признаки равенства треугольников при решении задач;

25)  через данную точку проводить прямую, перпендикулярную данной прямой;

26)  решать задачи на применение свойств перпендикулярных прямых;

27)  определить отрезок, длина которого задает расстояние от данной точки до данной прямой;

28)  применять признаки прямоугольных треугольников к решению задач;

29)  устанавливать равенство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей;

30)  показывать на рисунке пары накрест лежащих, соответственных, односторонних углов;

31)  решать задачи, связанные с параллельностью прямых;

32)  находить величину угла треугольника, зная величины двух других его углов;

33)  находить сумму внутренних углов треугольника;

34)  проводить касательную к окружности;

35)  указывать расположение центров, радиусов и точек касания вписанной и описанной окружностей треугольника;

36)  использовать свойства касательной при решении задач;

37)  изображать на рисунке вписанную и описанную окружности треугольника;

38)  находить центр окружности, описанной около треугольника;

39)  находить центр окружности, вписанной в треугольник;

40)  решать задачи: на измерение длин отрезков и величин углов, на применение свойств смежных и вертикальных углов, на построение;

41)  делить с помощью чертежных инструментов отрезок и угол на две равные части;

42)  строить биссектрису угла;

43)  проводить серединный перпендикуляр к отрезку;

44)  строить прямую, перпендикулярную данной прямой;

45)  строить прямоугольный треугольник, треугольник по известным элементам;

46)  делить отрезок в заданном отношении;

47)  строить четвертый пропорциональный отрезок.

50.   В результате изучения курса геометрии в 8 классе учащиеся должны знать:

1)  определение четырехугольника, выпуклого четырехугольника;

2)  теорему о сумме внутренних углов четырехугольника;

3)  определение параллелограмма и его элементы;

4)  свойства и признаки параллелограмма;

5)  определения, признаки и свойства прямоугольника, ромба, квадрата;

6)  теорему Фалеса;

7)  теорему о пропорциональных отрезках;

8)  определения трапеции, равнобедренной и прямоугольной трапеции и их элементы;

9)  определение средней линии треугольника и ее свойства;

10)  определение средней линии трапеции и ее свойства;

11)  названия четырех замечательных точек треугольника;

12)  свойства медиан, высот, биссектрис треугольника, серединных перпендикуляров к его сторонам;

13)  определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике;

14)  теорему Пифагора и обратную к ней;

15)  основное тригонометрическое тождество и некоторые другие тождества;

16)  значения тригонометрических функций углов 30º, 45º, 60º;

17)  основные методы решения прямоугольных треугольников;

18)  формулу координат середины отрезка;

19)  формулу расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат;

20)  уравнение окружности и прямой;

21)  определения равновеликих и равносоставленных фигур;

22)  аксиомы измерения площадей, единицы измерения площади;

23)  формулы для нахождения площадей прямоугольника, квадрата, треугольника, параллелограмма, трапеции.

51.   В результате изучения курса геометрии в 8 классе учащиеся должны уметь:

1)  пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

2)  анализировать, сравнивать, обобщать, конкретизировать, применять аналогию, рассуждать;

3)  работать с чертежными инструментами;

4)  выполнять чертежи по условию задач;

5)  распознавать геометрические фигуры в окружающем мире;

6)  вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей);

7)   для углов от 0 до 90° определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов, находить значения тригонометрических функций по значению одной из них;

8)  находить стороны, углы и площади треугольников, четырехугольников;

9)  решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат;

10)  характеризовать и различать параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб и трапецию;

11)  находить на рисунке четырехугольников, их стороны, вершины и углы;

12)  изображать на рисунке четырехугольник его диагонали и высоты;

13)  решать задачи, отражающие соотношения между элементами параллелограмма;

14)  делить отрезок на n равных частей с помощью циркуля и линейки;

15)  строить пропорциональные отрезки;

16)  делить отрезок в отношении, заданным отношением двух данных отрезков;

17)  решать задачи на нахождение неизвестных элементов трапеции;

18)  решать задачи на применение свойств средних линий треугольника и трапеции;

19)  решать задачи с использованием замечательных точек треугольника;

20)  решать задачи на нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла;

21)  применять тригонометрические функции острого угла для нахождения элементов прямоугольного треугольника;

22)  применять теорему Пифагора для нахождения сторон прямоугольного  треугольника;

23)  проверять, является ли треугольник с заданными сторонами прямоугольным;

24)  применять основные тригонометрические тождества при решении геометрических задач;

25)  находить значения sinα, cosα, tgα и ctgα по данному значению одного из них;

26)  решать задачи на нахождение приближенных числовых значений элементов треугольника;

27)  строить угол по известным значениям его синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

28)  находить координаты середины отрезка по координатам его концов;

29)  находить расстояние между точками (длину отрезка) по координатам этих точек;

30)  решать задачи с использованием формулы расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат;

31)  записывать уравнение окружности, если известны координаты ее центра и радиус;

32)  находить координаты центра и радиус окружности по ее уравнению;

33)  находить уравнение прямой, проходящей через две точки или параллельной одной из координатных осей;

34)  находить точку пересечения прямых, прямой и окружности, двух окружностей;

35)  вычислять площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции по заданным элементам;

36)  применять формулы для нахождения площадей прямоугольника,   квадрата, треугольника, параллелограмма и трапеции при решении задач.

52.   В результате изучения курса геометрии в 9 классе учащиеся должны знать:

1)  определение направленного отрезка и вектора;

2)  определение длины вектора, нулевого вектора;

3)  одинаково и противоположно направленные векторы, о равенстве направленных отрезков и векторов;

4)  теорему об откладывании вектора от точки;

5)  определение операций сложения и вычитания векторов;

6)  правила треугольника и параллелограмма сложения двух векторов;

7)  область применения правил треугольника, параллелограмма и многоугольника;

8)  различные способы построения разности векторов;

9)  свойства операции сложения векторов;

10)  определение умножения вектора на число;

11)  критерий коллинеарности векторов;

12)  свойства умножения вектора на число;

13)  теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам;

14)  определение координат вектора;

15)  правило нахождения координат вектора по координатам его концов;

16)  равенство векторов заданных своими координатами;

17)  теорему о действиях над векторами в координатах;

18)  зависимость между координатами коллинеарных векторов;

19)  формулу вычисления длины вектора;

20)  определение угла между двумя векторами;

21)  выражение координат вектора через его длину и угол между этим вектором и осью Ох;

22)  определение и свойства скалярного произведения векторов;

23)  скалярное произведения векторов в координатах;

24)  формулу косинуса угла между векторами;

25)   условие перпендикулярности векторов;

26)  способы задания прямой в прямоугольной системе координат;

27)  определение углового коэффициента прямой;

28)  геометрический смысл углового коэффициента прямой;

29)  условия параллельности и перпендикулярности прямых;

30)  уравнение прямой, заданной двумя точками, точкой и угловым коэффициентом;

31)  определение движения плоскости и его частные виды: параллельный перенос, осевая и центральная симметрия, поворот;

32)  формулировку теоремы о равенстве фигур;

33)  определение гомотетии и ее свойства;

34)  определение преобразования подобия и определение подобных фигур;

35)  свойства подобных фигур;

36)  формулировки свойств преобразования подобия;

37)  признаки подобия треугольников;

38)  зависимость между площадями подобных фигур;

39)  определение выпуклого многоугольника;

40)  теорему о сумме углов выпуклого n-угольника;

41)  теорему о мере вписанного угла;

42)  свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников;

43)  определение правильного многоугольника;

44)  свойства правильных многоугольников;

45)  теорему о существовании окружности, вписанной в правильный многоугольник и описанной около него;

46)  формулы, выражающие радиусы вписанной и описанной окружностей через стороны правильного многоугольника;

47)  формулу выражающую площадь правильного многоугольника через его периметр и радиус вписанной окружности;

48)  формулу, выражающую площадь правильного многоугольника через радиус описанной окружности;

49)  построение некоторых правильных многоугольников;

50)  теорему косинусов;

51)  теорему синусов;

52)  формулу выражающие косинусы углов треугольника через его стороны;

53)  зависимость между градусной и радианной мерой угла (дуги);

54)  выражение длины дуги через ее градусную и радианную меры;

55)   приближенное значение числа π с точностью до двух знаков после запятой;

56)  формулы длины окружности через радиус и диаметр;

57)  формулу длины дуги окружности;

58)  правило перевода градусной меры угла в радианную;

59)  правило перевода радианной меры угла в градусную;

60)  формулы площади круга и сектора;

61)  правило вычисления площади сегмента;

62)  аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них;

63)  виды взаимного расположения прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей;

64)  свойства параллельных прямых в пространстве;

65)  определение параллельных плоскостей;

66)  определение параллельности прямой и плоскости;

67)  определение угла между прямой и плоскостью;

68)  определение перпендикулярности прямых, прямой и плоскости.

53.   В результате изучения курса геометрии в 9 классе учащиеся должны уметь:

1)  пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

2)  анализировать, сравнивать, обобщать, конкретизировать, применять аналогию, рассуждать;

3)  работать с чертежными инструментами;

4)  изображать плоские и пространственные геометрические фигуры;

5)  выполнять чертежи по условию задач;

6)  осуществлять преобразования фигур;

7)  распознавать геометрические фигуры на чертежах, различать их взаимное расположение;

8)  распознавать геометрические фигуры в окружающем мире;

9)  различать выпуклый и невыпуклый многоугольники;

10)  проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами;

11)  вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей);

12)  решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;

13)  различать плоские и пространственные фигуры;

14)  изображать и обозначать векторы на рисунке или в записях, различать начало и конец вектора;

15)  находить сумму двух и нескольких векторов на плоскости;

16)  изображать на рисунке сумму, разность двух векторов в геометрическом виде;

17)  применять правило треугольника, параллелограмма и многоугольников для нахождения сумм векторов;

18)  находить произведение вектора на число;

19)  различать коллинеарные векторы;

20)  раскладывать векторы по двум неколлинеарным векторам;

21)  изображать разложение векторов на рисунке;

22)  решать задачи на разложение вектора по двум неколлинеарным векторам;

23)  находить координаты вектора по координатам его конца и начала;

24)  находить координаты суммы (разности) нескольких векторов, а также произведения вектора на число;

25)  использовать условия равенства и коллинеарности векторов в координатах для решения задач;

26)  находить длину вектора по его координатам;

27)  находить скалярное произведение векторов;

28)  находить скалярное произведение векторов в координатах;

29)  находить косинус угла между векторами;

30)  использовать скалярное произведения векторов для решения задач на вычисление, на доказательство;

31)  находить уравнение прямой по заданным: двум точкам, точке и угловому коэффициенту;

32)  находить угловой коэффициент прямой;

33)  использовать условия параллельности и перпендикулярности прямых при решении геометрических задач;

34)  строить образы фигур при осевой и центральной симметриях, параллельном переносе, повороте;

35)  строить образы различных фигур при гомотетии;

36)  находить соответственные элементы в подобных треугольниках;

37)  находить коэффициент подобия треугольников;

38)  использовать признаки подобия треугольников при решении задач;

39)  применять соотношение между площадями подобных фигур;

40)  находить углы при вершинах правильного многоугольника;

41)  находить сумму углов выпуклого n-угольника и углы правильного n-угольника, количество сторон правильного многоугольника по сумме его углов;

42)  находить и изображать на рисунке центральные и вписанные углы;

43)  применять свойства центрального и вписанного углов при решении задач;

44)  выражать сторону и площадь правильного многоугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей;

45)  применять теоремы синусов и косинусов для нахождения элементов треугольника;

46)  применять тригонометрию при решении геометрических задач;

47)  находить длину окружности и длину дуги;

48)  переводить градусную меру дуги и угла в радианную меру и обратно;

49)  находить площадь круга по радиусу и диаметру;

50)  находить площадь сектора, центральный угол которого измерен в градусах или в радианах, площадь сегмента;

51)  изображать основные пространственные фигуры;

52)  наглядно отражать на чертежах взаимное расположение прямых и плоскостей;

53)  строить изображения призм, пирамид, цилиндра, конуса, шара.

54.   Личностные результаты:

1)  владение государственным и родным языками, уважение к истории, культуре, традициям и другим ценностям казахского народа и других этносов, проживающих на территории Казахстана;

2)  проявление высокой культуры человеческого общения, соблюдение этических норм;

3)  способность к самообразованию, саморазвитию и самореализации;

4)  сформированность мотивации к учению и познанию;

5)  умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

6)  владение коммуникативными навыками в  общении и сотрудничестве со сверстниками, старшими и младшими в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, творческой и других видах деятельности.

55.   Системно-деятельностные результаты:

1)  умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения геометрических задач;

2)  умение ставить и решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства);

3)  умение анализировать, обрабатывать, синтезировать и использовать научную информацию о свойствах плоских и пространственных геометрических фигур;

4)  приобретение опыта исследования свойств плоских и пространственных фигур с помощью компьютерных программ.