Имитционное моделирование

Методика имитационного моделирования. Математический аппарат имитационного моделирования

Имитационные модели (англ. simulation models) – один из основных классов математического моделирования.

Целью построения имитаций является максимальное приближение модели к конкретному (чаще всего уникальному) экологическому объекту и достижение максимальной точности его описания.
Имитационные модели претендуют на выполнение как объяснительных, так и прогнозных функций.

Признаки имитационной модели

Объект моделирования – система, состоящая из множества взаимодействующих элементов.
Состояния элементов или производимые ими действия носят случайный характер.
Известны правила взаимодействия элементов, определяемые физическими, биологическими , экономическими и другими законами.
Метод – пошаговое описание изменения состояния элементов системы.
Существуют интегральные характеристики состояния системы.
Цель моделирования – оценка изменения со временем интегральных характеристик системы через отслеживание всех актов взаимодействия элементов системы.

Примеры имитационного моделирования:

Объект моделирования: броуновская частица
Случайные факторы: положение молекул в пространстве и скорости их движения.
Правила взаимодействия: закон сохранения импульса.
Интегральные характеристики: координаты и скорость броуновской частицы; температура среды.
Метод расчета: с малым шагом по времени рассчитываются изменения координат броуновской частицы.
Цель моделирования: описание траектории и скорости перемещения броуновской частицы в зависимости от температуры.

Примеры имитационного моделирования

Динамика популяций;
Политические выборы;
Обслуживание очередей

Математический аппарат имитационного моделирования

Основу математического аппарата имитационного моделирования составляют теория вероятностей и математическая статистика.

Понятие вероятности в математике определяется так:
Вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов.

Значение вероятности лежит в диапазоне от 0 до 1

Если вероятности известны, то говорят, что задано распределение случайной величины Х

Характеристики случайной величины:

Среднее значение

- Дисперсия

Если дисперсия равна нулю, то это значит, что случайная величина принимает единственное возможное значение , т.е. не является случайной.
Большая дисперсия указывает на большое рассеивание случайной величины.

Плотность вероятности

Случайная величина может быть непрерывной, если её возможными значениями являются любые числа из некоторого промежутка [a, b].

Для непрерывно распределенной случайной величины x большую роль в её описании играет функция распределения плотности вероятности p(x)

Содержательный смысл p(x)

ДЛЯ ВСЯКОЙ ТОЧКИ И ВЗЯТОГО ОКОЛО НЕЕ МАЛОГО ОТРЕЗКА ∆X ПРОИЗВЕДЕНИЕ P(X0)∆X РАВНО ВЕРОЯТНОСТИ ТОГО, ЧТО СЛУЧАЙНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ПРИМЕТ ЗНАЧЕНИЕ, ЗАКЛЮЧЕННОЕ МЕЖДУ Х0 И Х0+ ∆X .

P(x)

x

a

b

Плотность вероятности равномерного распределения.

Формулы равномерно распределения:

-∞A и S – параметры распределения, S>0.

Чем больше S, тем кривая распределения ниже и шире

0

Выборка - это множество исходов каких-либо однородных наблюдений, происходящих в одинаковых условиях.

По результатам выборки могут решаться разные задачи:
Сделать заключение о том, какой вид имеет функция распределения величины Х
Если невозможно решение первой задачи, то хотя бы определить значение наиболее часто используемых параметров распределения, таких как среднее значение и дисперсия.

Приближенное значение дисперсии S2