Использование
теорем о почленном
умножении и сложении неравенств
при оценке значения выражения
Цели: закрепить знание теорем о почленном сложении и умножении неравенств; формировать умение применять данные теоремы для оценки значения выражения; формировать умение решать задачи повышенной трудности.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Известно, что –5 < а < 9. Оцените значение выражения:
а) 2а; б) –4а; в) ; г) –а; д) а + 4; е) 3 – а.
2. Пусть b – произвольное число, сравните с нулём значение выражения:
а) – b2 – 16; г) (b – 2)2 + 16;
б) 13 + b2; д) (15b – 127)2 + (1 – b)2.
3. Известно, что х > 5, у > 15. Оцените значение выражения:
а) х + у; б) х · у; в) 2х + у;
г) ; д) –2ху; е) х2 – 25.
III. Формирование умений и навыков.
1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.
При выполнении устной работы учащиеся использовали теоремы о почленном сложении и умножении неравенств и следствие. Просим их сформулировать данные теоремы.
2. Р а б о т а п о у ч е б н и к у.
Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств используются для оценки суммы, разности, произведения и частного. Разбираем примеры 1–4 на с. 162–163 учебника. Еще раз обращаем внимание на удобную запись неравенств (одного под другим) при выполнении почленного сложения либо умножения.
3. № 770.
4. Докажите, что если 0 < а < 7 и 0 < b < 3, то:
а) 5а + 11b < 70; в) аb + 4 < 30.
Р е ш е н и е
а) 0 < а < 7; 0 < 5а < 35
0 < b < 3; 0 < 11b < 33
0 < 5а + 11b < 68
Так как 68 < 70, то 0 < 5а + 11b < 70.
б) 0 < а < 7;
0 < b < 3;
0 < аb < 21; 4 < аb + 4 < 25
Так как 25 < 30, то 4 < аb + 4 < 30.
5. В этих упражнениях демонстрируется практическое применение теорем о почленном сложении и умножении неравенств.
№ 772.
Р е ш е н и е
Пусть а – основание, b – боковая сторона равнобедренного треугольника, тогда Р = а + 2b – периметр этого треугольника.
41 ≤ b ≤ 43; 82 ≤ 2b ≤ 86
26 ≤ а ≤ 28
108 ≤ а + 2b ≤ 114.
О т в е т: 108 ≤ Р ≤ 114.
№ 774.
Р е ш е н и е
Пусть а и b – длина и ширина прямоугольной комнаты, тогда её площадь равна аb.
7,5 ≤ а ≤ 7,6
5,4 ≤ b ≤ 5,5
40,5 ≤ а · b ≤ 41,8.
Так как требуется комната площадью не менее 40 м2 (то есть S ≥ 40), то данное помещение подойдёт для библиотеки.
О т в е т: да.
№ 775.
Пусть α, β – углы треугольника, тогда третий угол γ по теореме о сумме углов треугольника равен 180 ° – α – β.
58° ≤ α ≤ 59°; –59° ≤ –α ≤ –58°
102° ≤ β ≤ 103°; –103° ≤ –β ≤ –102°
180° – 59° – 103° ≤ 180° – α – β ≤ 180° – 58° – 102°
18° ≤ 180° – α – β ≤ 20 °.
О т в е т: 18° ≤ γ ≤ 20°.
6. Задания повышенной трудности можно предложить сильным в учебе учащимся или решать с классом, если останется время.
№ 777.
Р е ш е н и е
Пусть ABCD – выпуклый четырёхугольник, тогда его диагонали пересекаются в т. О.
Докажем, что AB + DC < AC + BD и BC + AD < AC + BD.
:
Воспользуемся неравенством треугольника (каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон).
1) AB < AО + BО
DC < ОD + ОС
AB + DC < AО + BО + DО + ОС;
AB + DC < (AО + ОС) + (BО + ОD);
AB + DC < AC + BD.
2) BC < BО + СО
AD < OA + OD
BC + AD < BО + CO + OA + ОD;
BC + AD < (BО + ОD) + (CO + OA)
BC + AD < BD + AC.
№ 778.
Р е ш е н и е
Медианы треугольника ABC пересекаются в одной точке О. Обозначим длины сторон треугольника a, b, c. АА1, ВВ1, СС1 – медианы.
1) Докажем, что сумма длин медиан треугольника больше его полупериметра.
: воспользуемся неравенством треугольника.
ВO + OA1 > CO + OB1 > AO + OC1 > |
ВO + OA1 + CO + OB1 + AO + OC1 > (BO + OB1) + (AO + OA1) + (CO + OC1) > |
|
ВB1 + AA1 + CC1 > . |
2) Докажем, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.
Предлагаем учащимся решить самостоятельно (можно дать в качестве домашнего задания).
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.
– Сформулируйте теоремы о сложении и умножении числовых неравенств.
– Каким образом используют теоремы о сложении и умножении числовых неравенств при оценке значения выражения?
Домашнее задание.
1. № 771, № 773.
2. Верно ли, что:
а) если а > 4 и b > 6, то 2a + b > 45;
б) если a > 3 и b > 9, то 3ab > 30.
3. Сравните, если возможно:
а) 3а + 2b и 16, если а > 4 и b > 8;
б) 5а – b и 20, если а > 4 и b < –3.
4. № 776 (б)*.
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.