Использование уравнения движений при решении задач

Решение задач с помощью уравнений движения особенно эффективно при использовании Координатный метод решения задач компьютера, так как достаточно в уравнение подставить соответствующие величины,  компьютер же по заданной программе решит заданное уравнение или систему уравнений. В  общем случае в уравнение входят векторные величины и, следовательно, проекции их на  оси координат могут быть как положительными так и отрицательными. Пример : Из точки А с высоты 45 м свободно падает тело. Одновременно из точки В,  расположенной на 21 м ниже точки А, вертикально вверх бросается второе тело.  Определить скорость бросания второго тела, если на землю они падают  одновременно. A Vo В C O  Из условия падения первого тела находится время падения                         t =  H2 g =  Второе тело   t1 = Vo/g    движется вверх, поднимаясь на высоту     ВС    и  падает затем с высоты  ОС = Н – h + ВС, для получения ответа 2 Vo g 2 нужно решить уравнение:  =  H2 g 2 V o 2 g   VhH o g 2 2/ g  . 2.С использованием  уравнения   движения  решение задачи будет таким: пусть ось Х  направлена вверх и начало координат на земле. Тогда уравнения движения тел будут                                               ХА = Н ­                                                  XB = H – h  + Vo t ­  . Так как через  t  секунд оба тела оказались на земле, т.е. в точке  О, координата  которой равна нулю, получим два уравнения :                                              0 = Н ­    2gt 2 2gt 2 2gt 2 2gt 2                                               0 = H – h + Vo t ­  . Из первого находим  t, сравнивая первое и второе уравнения, получаем                             h = Vo t , где только одно неизвестное. 3.Если воспользоваться принципом независимости движения, можно получить ответ  сложением векторов : Перемещение первого тела  А определяется вектором  Н = g t2/2. Перемещение второго тела – В определяется геометрической суммой векторов  Vo t   направленного вверх  и вектора  g t2/2 , направленного вниз, т.е. gt2 /2 ­ Vot = H – h .  Подставляя вместо  Н    ↔ gt2 / 2 , получаем   h = Vo t . 4. Более интересным является решение задачи в системе  отсчета, связанной с телом А  – относительно тела А тело В движется равномерно со скоростью  Vо  и проходит  расстояние  h  за время равное времени, за которое земля, движущаяся с ускорением  g без  начальной скорости проходит  Н, т.е.45 м, следовательно  t =  = 3 с   и   Vо= 21 м / 3 с  H2 g = 7 м/с.     При расчетах движения тел в плоскости иногда удобно оси координат выбрать так, чтобы и ускорение свободного падения имело проекции на обе оси. склоне горы, уклон которой   α со скоростью v. Пример:  Определить дальность полета тела, брошенного горизонтально на   Если   оси   координат   выбрать   традиционно   ось   Х   горизонтально   и   ось   Y вертикально, то уравнение движения    A         V                        Через t с тело упало в точку В, т.е. у = 0. Тогда у = CA – g t2 / 2  , х  =  vt С                                 t = α В 2 VSin gCos   , откуда  t Vt Cos v , но АС =   ,а АВ =    и АВ= 2 gt Sin 2 2gt 2 АС2 g  и АВ   22 V Sin  2 gCos Если ось х направить по склону горы, а  ось у перпендикулярно ей, то уравнения  будут  x = v * Cos   + α gSin 2t g                                                                                                         Y = v * Sin α ­   2 gCos 2t 2 При падении тела на склон у = 0. Определим из этого t =  и подставив в первое Sin2 gCos   уравнение, находим  х =    АВ   22 V Sin  2 gCos Используя  принцип независимости движения  эту задачу можно решить так: А ВС АВ   tg  2 gt Vt 2 По   горизонтали   перемещение   определится вектором АВ=Vt, за это же время падение по вертикали определится вектором ВС= . В 2gt 2 В С   , откуда  t результате   тело   окажется   в   точке   С.   Все  и   AC =  величины   прямоугольный треугольник  =   образуют   22 V Sin   2 gCos Задачи для самостоятельного решения 2 Vtg g tgV 22 gCos 1. Тело свободно падает с высоты h. В тот же момент другое тело брошено с высоты H (H>h)   вертикально   вниз.   Оба   тела   на   землю   упали   одновременно.   Определить начальную скорость бросания второго тела. 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0. Когда оно достигло высшей точки подъема, из того же начального пункта с той же начальной скоростью брошено второе тело. На каком расстоянии от начального пункта они встретятся. 3. Из вертолета, равномерно поднимающегося вверх со скоростью 4 м/с, на высоте 200 м вертикально вверх со скоростью 10 м/с брошено тело. Через сколько времени и на какой высоте от земли встретятся вертолет и брошенное тело? Какую скорость будет иметь тело относительно земли и вертолета?  4. С высоты h на наклонную плоскость с углом наклона  α  падает упругий мяч. На каком   расстоянии   от   места   первого   падения   мяч   упадет   на   плоскость   второй, третий и т.д. раз?  5. С какой скоростью должен вылететь снаряд , чтобы поразить ракету, стартующую вертикально вверх с ускорением а. Выстрел производится под углом α, расстояние от пушки до места старта ракеты L. .