Исследовательская работа на тему "Признаки делимости"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1 Г. СЕРДОБСКА

 

 

 

 

 

Исследовательская работа по математике

 «Признаки делимости»

 

 

 

 

 

                                         Выполнила:  ученица 6-б  класса

 Берсанова Анастасия

                                Руководитель:  учитель математики

Горшенина Е.А.                                          

 

 

 

 

 

 

 

                                                2017 уч. г.

Содержание

 

1. Введение_____________________________________________________ 3

2. Признак Паскаля  и его частные случаи___________________________ 4

3. Признаки делимости на составные числа__________________________ 5

4. Применение признаков делимости_______________________________  6

5. Заключение_________________________________________________     7

6. Список литературы___________________________________________   8

7. Приложение_________________________________________________9-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Математика – одна из великих наук, изучением которой занимались многие великие ученые, такие как  Рене Декарт, Блез  Паскаль и другие.

На одном из уроков математики мы изучали признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10. И стало интересно, существуют ли другие признаки делимости, откуда они возникли? Наверняка, существуют более интересные и сложные признаки.

 

Гипотеза

    Я предполагаю, что существуют другие признаки делимости.

 

Цель

    Исследовать признаки делимости на числа от 1 до 20, кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики. И познакомить с ними других учащихся.

 

Для достижения данной цели в исследовательском реферате были поставлены следующие задачи:

1. Познакомиться с различными источниками;

2. Систематизировать полученную информацию;

3. Попробовать на практике применить несколько выявленных признаков;

4. Познакомить с другими признаками учащихся.

 

Объектом данного исследования выступают признаки делимости.

Степень разработанности проблемы.

 Изучением признаков делимости занимались с древних времен. Великий французский ученый Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами в уме.  Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля. Достаточно много различной информации можно найти в книгах, энциклопедиях, Интернете.

Новизна результатов исследования заключается в том, что данная работа систематизирует знания о признаках делимости и, думаю, что многие ровесники и старшеклассники не знают, что существуют другие признаки делимости, кто их открыл. А, ведь знание их значительно упрощает процесс вычисления.

В ходе написание исследовательского реферата следующие методы научного исследования:

Эмпирический метод: анализ систем знаний о признаках делимости.

Теоретический метод: изучение литературы.

 

 

Признак Паскаля

Блез Паскаль(19.6.1623— 19.8.1662)  – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования.

  Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число (трактат «О характере делимости чисел»).

В энциклопедиях признак Паскаля описывают следующим образом:

·         Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в десятичной системы счисления.

 

                                        Основные частные случаи                                       

Признак делимости на 2: число делится на 2 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру.

Признаки делимости на 3 и 9: число делится на 3 (9) без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3 (9).

Признак делимости на 4: число делится на 4 без остатка тогда и только тогда, когда если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4.

Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка тогда и только тогда, когда оно заканчивается на цифру 5 или 0.

Признак делимости на 7: число делится на 7 без остатка тогда и только тогда, если результат вычитания удвоенного последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Признак делимости на 11: Число делится на 11 без остатка тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.

 Признак делимости на 19: число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19. [4]

 

 

Признаки делимости на составные числа

Зная основные признаки делимости  на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа:

Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма цифр делится на 3.

т.к. 6 = 2 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 2 и на 3. [3]

Признак делимости на 12: число делится на 12 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 12= 4 ∙ 3, т.е. число должно делиться на 4 и на 3. [3]

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

т.к. 14= 2 ∙ 7, т.е. число должно делиться на 2 и на 7. [3]

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.

т.к. 15= 3 ∙ 5, т.е. число должно делиться на 3 и на 5.

Признак делимости на 18: число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.  

т.к18= 2 ∙ 9, т.е. число должно делиться на 2 и на 9.

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда и только тогда, когда

число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.

т.к. 20 = 10 ∙ 2 т.е. число должно делиться на 2 и на 10. [2]

Все выше перечисленные признаки обобщены в виде таблицы. (Приложение)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применение признаков делимости

Пример 1: Проверьте делится ли без остатка 378015 на 3; на 5; на 11.

Решение:

Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна: 

3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3.

 Данное число делится на 5, так как его последняя цифра 5.

 Наконец, число делится на 11, так как суммы его чётных цифр:

  3 + 8 + 1 = 12  и нечётных цифр 7 + 0 + 5 = 12  равны.

 

Пример 2: Проверьте делится ли число

                 а) 845 без остатка на 13;

                 б) 646 без остатка на 19.

Решение: а) 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13.

                 б) 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).

 

Задачи на признаки делимости из ЕГЭ по математике (базовый уровень)

1.     Вычеркните в числе 35242345 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно число.

2.     Найдите пятизначное число, кратное 18, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В результате изучения различной литературы, гипотеза была подтверждена, действительно существуют другие признаки делимости, кроме тех которые мы изучаем в школьном курсе математики в огромном количестве. Вывел общий признак делимости великий французский ученый Паскаль. Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля.

Систематизировав полученную информацию, было замечено, что,  зная основные признаки делимости на простые числа, можно вывести признаки делимости на составные числа. Что и попытались сделать, полученные результаты были сведены в одну таблицу. 

Цель достигнута, были изучены признаки делимости от 1 до 20.

Знание, основных признаков делимости значительно упрощает процесс вычисления. Знание признаков делимости нам пригодится при сдаче экзамена по математике в 11 классе (базовый уровень), т.к. задача № 19 решается с помощью этих признаков.

Надеюсь, эта работа привлечет интерес к предмету математике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости—4-е изд.—М.:Наука, 1988.— С. 96.

2. Яковлин М.В.  Свойства чисел, аналогичных теореме Безу, «Математика в школе», 1991, №6.

3. http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).

4. http://www.bymath.net (энциклопедия).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

Признаки делимости от 2 до 20

	Признак	Пример
на 2	Число заканчивается на чётную цифру.	………………2(4,6,8,0)
на 3	Сумма цифр делится на 3.	378015:  3+7+8+0+1+5 = 24. 24:3
на 4	Число из двух последних его цифр нули или делится на 4.	………………12
на 5	Число заканчивается на цифру 5 или 0.	………………0 (5)
на 6	Число заканчивается на чётную цифру, и сумма цифр делится на 3.	375018:   8-четное цифра 3+7+5+0+1+8 = 24. 24:3
на 7	Результат вычитания удвоенного последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.	364:  36 — (2 × 4) = 28,  28:7
на 8	Три последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 8.	……………..064
на 9	Сумма его цифр числа делится на 9.	3780153:  3+7+8+0+1+5+3=27. 27:9
на 10	Число оканчивается на ноль	………………..0
на 11	Сумма цифр числа с чередующи-мися знаками делится на 11	182 919: 1 -8 +2 -9 +1- 9 = -22     22:11
на 12	Две последние цифры числа делятся на 4 и сумма цифр делится на 3.	216:   2+1+6=9,   9:3   и 16:4
на 13	Число  десятков данного числа, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.	845: 84 + (4 × 5) = 104, 104:13
на 14	Число заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.	364:      4 – четная цифра 36 — (2 × 4) = 28,  28:7
на 15	Число заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3.	65480: 6+3+4+8+0=21,   21:3
на 16	Четыре его последние цифры числа - нули или образуют число, которое делится на 16.	…………..0032
на 17	Число десятков данного числа, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.	29053→2905+36=2941→294+12= =306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17
на 18	Число заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.	2034:     4 - четное число 2+0+3+4=9,   9:9
на 19	Число десятков данного числа, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19	646: 64 + (6 × 2) = 76, 76:19
на 20	Число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная	…………………40

 

Скачано с www.znanio.ru