Исследовательская работа "Математические аспекты в экологии"

Работу выполнил
Ученица 11 класса
Никитченко Инна

Руководитель
учитель математики
Баймуканова Г.Т.

МБОУ «Юбилейная СОШ»
Районная учебно-исследовательская конференция «Старт в науку»

Знаете ли вы, что с помощью математики можно найти такие оптимальные размеры коробок, которые позволят сохранить огромный запас древесного материала?

Гипотеза:
Действительно ли, что с помощью математики можно подобрать оптимальные размеры коробки.
 Цель исследования:
Рассмотреть способы нахождения оптимальных размеров для экономичной упаковки.
 Задачи работы:
Изучить состояние лесов в России;
Раскрыть математические понятия объема и поверхности прямоугольного параллелепипеда, производной функции и задачи оптимизации.
Рассмотреть различные способы экономии затратного материала.
Проанализировать полученные результаты вычислений.

Объект исследования:
Вопросы экономии и математические понятия объёма, площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, производной функции.
 Предмет исследования:
Упаковки чая «МК», «Липтон», «Принцесса Нури»
Методы исследования:
изучение литературы;
анкетирование;
математическая обработка данных;
измерение, вычисление, сравнение и анализ результатов;
Прогнозирование
 

Площадь поверхности параллелепипеда.

Способы экономии расходного материала решаются с помощью задач оптимизации. Задачи оптимизации - это задачи получения заданного результата при наименьших затратных средств и материалов, или при заданных исходных данных получить наилучший результат.

Задача из сайта Дмитрия Гущина «Решу ЕГЭ» /http://reshuege.ru
Пример1.Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
Из формулы объёма V= SH= abc находим а, равное 4.
Ответ: 4.
Пример 2 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
.
Откуда находим третье ребро, которое равно 5.
Ответ: 5

 

.
Понятие производной
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Производная чаще всего определяется через понятия теории пределов.
Иллюстрация понятия производной
 

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a;b]

1) Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a;b].
2)Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b] 
3)Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]
4) Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также при x=a и x=b.
5) Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции соответственно.

Задача оптимизации
Задача. Открытый бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала?
Решение: Пусть a-длинна, b-высота, c-ширина. Объём бака можно вычислить по формуле V=abc, а так как в основании бака находится квадрат, то из этого следует, что длинна равна высоте (a=c), то объём бака можно найти так:
V=a²b=32
Площадь поверхности открытого бака находится по формуле
S=a²+4ab, где b=32/a2 (из формулы V=a²b=32), тогда S=a²+4*32*a/a²=a²+128/a
S'=2a+(-128/a²)=2a-128/a²
2a-128/a²=0
2a3=128
a3=64
a=4
Сделав проверку знаков производной, убеждаемся в том, что 4 является наименьшим числом.
a=4, то находим b.
42+b=32
b=2, а c=a=4
Ответ:4×4×2 (дм)

Исследование 1. Измерения и вычисления.
1.Упаковка чая «Липтон», 100 г.
Размеры: 10,3×7,6×4,5 (см) без учета припусков на швы.
V1=352,26 см3
S1=2(10,3×7.6+10,3×4,5+7,6×4,5)=317,26см2

2.Упаковка чая «МК», 100 г.
Размеры: 11,6×8,8×3,2 (см) без учета припусков на швы.
V2=326,656 см3
S2=2(11,6×8,8+11,6×3,2+8,8×3,2)=334,72 см2

3.Упаковка чая «Принцесса Нури», 100 г.
Размеры: 11×7,6×4 (см) без учета припусков на швы.
V3=334,4 см3
S3=2(11×7,6+11×4+7,6×4)=316 см2

Наиболее экономичная упаковка от чая «Липтон»: при наибольшем объеме упаковка имеет среднее значение площади поверхности.

Найдём отношение наибольшего объема (упаковка «Липтон») к наименьшему (упаковка «МК»).
V1 /V2=1,08
Уменьшим поочередно каждую из сторон упаковки «Липтон» в 1,08 раз и вычислим площадь поверхности:
4,5:1,08 = 4,2
получим размеры: 10,3×7,6×4,2
S=2(10,3×7,6 + 7,6×4,2 + 10,3×4,2)=306 (см2)
2)10,3:1,08 = 9,5
получим размеры: 9,5×7,6×4,5
S =2(9,5×7,6 + 7,6×4,5 + 4,5×9,5) =298,3(см2)
3) 7,6:1,08 = 7,04
получим размеры: 10,3×7,04×4,5
S = 2(9,5×7,6 + 7,04×4,5 + 4,5×9,5) = 293,26(см2)

И так, мы получили при минимально допустимом объеме наименьшая площадь поверхности упаковки293,26 см2. То есть на 1 коробке можно сэкономить до 24,4 см2расходного материала (317,66 -293,26 = 24,4).

Вычислим значение наименьшей площади коробки «Липтон» при заданном ее объёме 352,26см3.
Пусть a-ширина, b-высота, c-длина, тогда V=abc=352,26; a=c
V=a2b=352,26. Отсюда выражаемb: b=352.26/a2
S=2а2+4аb.
S=2а2+4а*(352,26/а2)=2а2+1409,04/а
S'=4а+(-1409,04/а2)=4а-1409,04/а2; 4а-1409,04/а2=0
4а3=1409,04
а 3=352,26
а=7,07
b =7,05
S=299,34 см2.
 
Таким образом, мы получили до 18,32 см2экономии материала с 1 коробки, но при условии, что основание коробки квадратное.

Занесем полученные данные в таблицу и сравним.

Вывод: Самая большая экономия наблюдается при изменении упаковки «МК» - до 50,14 см2с одной коробки.

Чтобы представить объем экономии, рассмотрим пример.
20 тыс. коробок- пол дерева.
40 тыс. коробок- целое дерево.


Оптимальные размеры экономичной упаковки для чая:

Цель работы достигнута: используя найденные измерения прямоугольного параллелепипеда можно сократить расход картонного материала. Таким образом, математика вносит большой вклад в решении экологических проблем.

Данное исследование планируется продолжить и полученные размеры предложить производителям коробок. Необходимо еще учесть размеры припусков на швы и стандартные размеры габаритных коробок для перевозки.

Эту работу можно использовать при изучении таких вопросов как прямоугольный параллелепипед по геометрии, производная функции по алгебре и началам анализа в 11 классе, а так же в подготовке к ЕГЭ.

Берегите лес, ребята!
Он нам дарит кислород,
По утрам поют там птицы,
А листва укроет в зной,
И пыльца цветов на лицах
Оставляет запах свой.
Берегите лес, ребята!
И не жгите в нём костры
Благодарны будут звери,
И деревья, и кусты!