Исследовательская работа на тему "ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФРАКТАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ"

Бюджетное профессиональное образовательное учреждение Вологодской области  «Череповецкий химико­технологический колледж» ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ФРАКТАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ Автор работы: Шарашов Андрей  Группа 31/ 2016, специальность: «Химическая технология  неорганических веществ»  Курс 1  Научный руководитель: Дедюкова Марина Николаевна Череповец, 2017 Содержание  Введение___________________________________3­4 стр. История возникновения фракталов_____________5 стр. Классификация  фракталов____________________5­9 стр. Геометрические фракталы Алгебраические фракталы Стохастические фракталы Фрактальная геометрия природы_______________9­10 стр. Применение фракталов_______________________10­12 стр. Заключение_________________________________12­13 стр. Список литературы и интернет ресурсов_________14 стр. Приложения_________________________________15­18 стр. 2 Введение Математика вся пронизана красотой и гармонией,  Только эту красоту надо увидеть.  Б. Мандельброт  Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел Слово “фрактал” — это что­то, о чем много людей говорит в наши дни, от ученых до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников   математики,   научных   журналов   и   коробках   с   компьютерным программным обеспечением. Цветные изображения фракталов сегодня можно найти   везде:   от   открыток,   футболок   до   картинок   на   рабочем   столе персонального компьютера. Итак, что это за цветные формы, которые мы видим вокруг? Фракталы   ­   подходящие   средства   для   исследования   поставленных вопросов. Нередко то, что мы видим в природе, интригует нас бесконечным повторением   одного   и   того   же   узора,   увеличенного   или   уменьшенного   во сколько­то   раз.   Например,   у   дерева   есть   ветви.   На   этих   ветвях   есть   ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много   раз,   становясь   все   меньше   и   меньше.   То   же   самое   можно   заметить, разглядывая   фотографию   горного   рельефа.   Попробуйте   немного   приблизить изображение   горной   гряды   ­   вы   снова   увидите   горы.   Так   проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия. 3 Изучение   фракталов   открывает   замечательные   возможности,   как   в исследовании   бесконечного   числа   приложений,   так   и   в   области   математики. Применение фракталов очень обширно! Ведь эти объекты настолько красивы, что их используют дизайнеры, художники, с помощью них в графике рисуются многие элементы деревья, облака, горы и т.д. А ведь фракталы используются даже как антенны во многих сотовых телефонах. В   своей   работе   я   тоже   решил   «прикоснуться»   к   миру   прекрасного   и определил для себя… Цель работы: исследовать особенности фрактальных измерений  Задачи:  1. знакомство   с   понятием,   историей   возникновения   и   исследованиями Б.Мандельброта, Г. Коха, В. Серпинского и др.; 2. знакомство с различными видами фрактальных множеств; 3. изучение научно­популярной литературы по данному вопросу, знакомство с научными гипотезами; 4. нахождение подтверждения теории фрактальности окружающего мира; 5. изучение применения фракталов в других науках . Основополагающий   вопрос   работы:   показать,   что   математика   не сухой,   бездушный   предмет,   она   может   выражать   духовный   мир   человека   в отдельности и в обществе в целом. Предмет исследования: Фрактальная геометрия. Объект исследования: фракталы в математике и в реальном мире. Гипотеза:   Все,   что   существует   в   реальном   мире,   является фракталом. Методы исследования: аналитический, поисковый. Актуальность  заявленной   темы   определяется,   в   первую   очередь, предметом   исследования,   в   качестве   которого   выступает   фрактальная геометрия. 4 История возникновения Понятие «фрактал» придумал Бенуа   Мандельброт (см. приложение 1). Слово   происходит   от   латинского   «fractus»,   означающего   «сломанный, разбитый».  Фрактал   —   термин,   означающий   сложную   геометрическую   фигуру, обладающую   свойством   само   подобия,   то   есть   составленную   из   нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. До появления  фрактальной геометрии наука имела  дело  с системами, заключенными   в   трех   пространственных   измерениях.   Благодаря   Эйнштейну   что   трехмерное   пространство   —   только   модель стало   понятно, действительности, а не сама действительность. Фактически наш мир расположен четырехмерном       континууме. в       Благодаря   Мандельброту   стало   понятно,   как   выглядит   четырехмерное пространственно­временном пространство, образно выражаясь, фрактальное лицо Хаоса. Бенуа Мандельброт обнаружил,   что   четвертое   измерение   включает   в   себя   не   только   первые   три измерения, но и (это очень важно!) интервалы между ними. В основном фракталы классифицируют по трём группам:  1. 2. Алгебраические фракталы Стохастические фракталы Геометрические фракталы 3. Рассмотрим подробнее каждую из них.  Классификация фракталов 5 Геометрические фракталы Бенуа   Мандельброт   предложил   модель   фрактала,   которая   уже   стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Именно   с   них   и   начиналась   история   фракталов.   Этот   тип   фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" ­ аксиома ­ набор отрезков, на   основании   которых   будет   строиться   фрактал.   Далее   к   этой   "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую­либо геометрическую фигуру. Далее  к каждой  части этой  фигуры  применяют  опять тот же  набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если   мы   проведем   (по   крайней   мере,   в   уме),   бесконечное   количество преобразований ­ получим геометрический фрактал.  Фракталы этого класса самые наглядные, потому что в них сразу видна само подобность при любых масштабах наблюдения. В двухмерном случае такие   фракталы   можно   получить,   задав   некоторую   ломаную,   называемую генератором.   За   один   шаг   алгоритма   каждый   из   отрезков,   составляющих ломаную, заменяется на ломаную­генератор, в соответствующем  масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.  В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке   не   имеют   касательной.   Это   означало,   что   кривая   резко   меняет   свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности).   Поиски   данных   кривых   были   вызваны   не   просто   праздным интересом   математиков.   Дело   в   том,   что   в   начале   ХХ   века   очень   бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию 6 движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят   их   в   движение.   После   такого   объяснения   броуновского   движения перед   учеными   встала   задача   найти   такую   кривую,   которая   бы   наилучшим образом показывала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую.  Кривая   Коха   (см.   приложение   2)   является   типичным   геометрическим фракталом.   Процесс   её   построения   выглядит   следующим   образом:   берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним   треугольником   без   этого   сегмента.   В   результате   образуется ломаная,   состоящая   из   четырех   звеньев   длины   1/3.   На   следующем   шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев. Снежинка   Коха.  Выполнив   аналогичные   преобразование   на   сторонах равностороннего   треугольника   можно   получить     фрактальное   изображение снежинки Коха (см. приложение 3). Алгебраические фракталы Это   самая   крупная   группа   фракталов.   Алгебраические   фракталы получили свое название за то, что их строят, используя простые алгебраические формулы.  Получают   их   с   помощью   нелинейных   процессов   в  n­мерных пространствах.   Известно,   что   нелинейные   динамические   системы   обладают несколькими   устойчивыми   состояниями.   То   состояние,   в   котором   оказалась динамическая   система   после   некоторого   числа   итераций,   зависит   от   ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят ­  аттрактор)  обладает  некоторой областью  начальных состояний,  из  которых система  обязательно попадет  в  рассматриваемые  конечные  состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения 7 аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить  цветовой фазовый портрет  этой   системы   (итерационного   процесса).   Меняя   алгоритм   выбора цвета,   можно   получить   сложные   фрактальные   картины   с   причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные структуры.  В   качестве   примера   рассмотрим   множество   Мандельброта   (см. приложение 4). Строят его с помощью комплексных чисел (см. приложение 5).  Множеству   Мандельброта   принадлежат   точки,   которые   в   течение бесконечного  числа   итераций   не   уходят   в   бесконечность   (точки,   имеющие черный цвет). Точки, принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные   структуры)   уходят   в   бесконечность   за   конечное   число   итераций,   а точки,   лежащие   за   пределами   множества,   уходят   в   бесконечность   через несколько итераций (белый фон).  Интересный факт, некоторые алгебраические фракталы поразительным обра1зом напоминают изображения животных, растений и других биологических объектов, вследствие чего получили название биоморфов (см. приложение 6). Стохастические фракталы Еще   одним   известным   классом   фракталов   являются   стохастические фракталы, которые получаются  в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие­либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные ­ несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Типичным   представителем   этой   группы   фракталов   является   «плазма» (см. приложение 7).  Для   ее   построения   берется   прямоугольник   и   для   каждого   его   угла определяется   цвет.   Далее   находится   центральная   точка   прямоугольника   и раскрашивается   в   цвет   равный   среднему   арифметическому   цветов   по   углам 8 прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число ­ тем более "рваным" будет рисунок. Если же предположить, что цвет точки это высота над уровнем моря ­ получим вместо плазмы  горный массив. Именно на этом   принципе   моделируются   горы   в   большинстве   программ.   С   помощью алгоритма,   похожего   на   плазму   строится   карта   высот,   к   ней   применяются различные фильтры, накладывается текстура и фотореалистичные горы готовы. Допустим нужно описать форму горы. Обычные фигуры из Евклидовой геометрии тут не помогут, ведь они не учитывают рельеф поверхности. Но при совмещении   обычной   геометрии   с   фрактальной   можно   получить   ту   самую «шероховатость»   горы.   На   обычный   конус   нужно   наложить   плазму   и   мы получим рельеф горы. Такие операции можно выполнять со многими другими объектами   в   природе,   благодаря   стохастическим   фракталам   можно   описать саму природу.  Фрактальная геометрия природы Красота фракталов двояка: она услаждает глаз, о чем свидетельствует хотя   бы   обошедшая   весь   мир   выставка   фрактальных   изображений, организованная группой бременских математиков под руководством Пайтгена и Рихтера.  Позднее   экспонаты   этой   грандиозной   выставки   были   запечатлены   в иллюстрациях к книге тех же авторов "Красота фракталов". Но существует и другой,   более   абстрактный   или   возвышенный,   аспект   красоты   фракталов, открытый, по словам Р. Фейнмана, только умственному взору теоретика, в этом смысле фракталы прекрасны красотой трудной математической задачи. Бенуа Мандельброт указал современникам (и, надо полагать, потомкам) на досадный пробел   в  "Началах"   Евклида,   по   которому,  не   замечая   упущения,  почти   два тысячелетия человечества постигало геометрию окружающего мира и училось математической   строгости   изложения.   Разумеется,   оба   аспекта   красоты фракталов   тесно   взаимосвязаны   и   не   исключают,   а  взаимно   дополняют   друг друга, хотя каждый из них самодостаточен. 9 Фрактальная   геометрия   природы   по   Мандельброту ­  самая   настоящая геометрия,   удовлетворяющая   определению   геометрии,   предложенному   в "Эрлангенскрой   программе"   Ф. Клейна.   Дело   в   том,   что   до   появления неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевского ­ Л. Больяи, существовала только одна геометрия ­ та, которая была изложена в "Началах", и вопрос о том, что такое геометрия, и какая из геометрий является геометрией реального мира, не возникал, да и не мог возникнуть. Но с появлением еще одной геометрии возник вопрос, что такое геометрия вообще, и какая из множества геометрий отвечает реальному миру. По Ф.Клейну, геометрия занимается изучением таких свойств объектов,   которые   инвариантны   относительно   преобразований:   евклидова   ­ инвариантов   группы   движений   (преобразований,   не   изменяющих   расстояния между   любыми   двумя   точками,   т.е.   представляющих   суперпозицию параллельных   переносов   и   вращений   с   изменением   или   без   изменения ориентации), геометрия Лобачевского­Больяи ­ инвариантов группы Лоренца. Фрактальная   геометрия   занимается   изучением   инвариантов   группы самоаффинных преобразований, т.е. свойств, выражаемых степенными законами. Что   же   касается   соответствия   реальному   миру,   то   фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений, и поэтому   мы   можем  вслед   за   Б.Мандельбротом   с  полным   правом   говорить  о фрактальной   геометрии   природы.   Новые   ­   фрактальные   объекты   обладают необычными   свойствами.   Длины,  площади   и   объемы   одних   фракталов   равны нулю, других ­ обращаются в бесконечность.  Природа   зачастую   создаёт   удивительные   и   прекрасные   фракталы,   с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. И вот их примеры: Молнии  (см.   приложение   8)   восхищают   своей   красотой.   Фракталы, созданные молнией не произвольны и не регулярны. Папоротник  (см.   приложение   9)   так   же   является   хорошим   примером 10 фрактала среди флоры. Фракталы есть везде и всюду в окружающей нас природе. Вся Вселенная построена по удивительно гармоничным законам с математической точностью. Разве можно после этого думать, что наша планета это случайное сцепление частиц? Едва ли.   Применение фракталов Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров: Одни   из   наиболее   мощных   приложений   фракталов   лежат   в компьютерной графике. Это фрактальное сжатие изображений. Современная физика и механика только начинают изучать поведение фрактальных объектов. Достоинства   алгоритмов   фрактального   сжатия   изображений   ­   очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально   упакованные   картинки   можно   масштабировать   без   появления пикселизации   (плохого   качества   изображения   –   большими   квадратами).   Но процесс   сжатия   занимает   продолжительное   время   и   иногда   длится   часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки ­ квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.  Компанией   Iterated   разработан   новый   формат   изображений   "Sting", сочетающий в себе фрактальное и «волновое» (такое как в формате jpeg) сжатие без потерь. Новый формат позволяет создавать изображения с возможностью 11 последующего   высококачественного   масштабирования, графических файлов составляет 15­20% от объема несжатых изображений.    причем   объем В механике и физике  фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью",   и   свойство   это   сохраняется   при   сколь   угодно   большом увеличении   модели.   Наличие   на   фракталах   равномерной   меры,   позволяет применять   интегрирование,   теорию   потенциала,   использовать   их   вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.  Также   фрактальную   геометрию   используют   для  проектирования антенных устройств. Впервые это было применено американским инженером Натаном  Коэном,  который жил  тогда  в  центре Бостона,  где  была  запрещена установка на зданиях внешних антенн. Коэн вырезал из алюминиевой фольги фигуру   в   форме   кривой   Коха   и   затем   наклеил   ее   на   лист   бумаги,   а   затем присоединил   к   приемнику.   Оказалось,   что   такая   антенна   работает   не   хуже обычной. И хотя физические принципы такой антенны не изучены до сих пор, это   не   помешало   Коэну   обосновать   собственную   компанию   и   наладить   их серийный   выпуск.   В   данный   момент   американская   фирма   “Fractal   Antenna System”   разработала   антенну   нового   типа.   Теперь   можно   отказаться   от использования   в   мобильных   телефонах   торчащих   наружных   антенн.   Так называемая фрактальная антенна располагается прямо на основной плате внутри аппарата. Также существуют множество гипотез по поводу применения фракталов – например, лимфатическая  и кровеносная системы, лёгкие и многое другое тоже имеют фрактальные свойства. Заключение 12 Данная работа является введением в мир фракталов. Мы рассмотрели только   самую   малую   часть   того,   какие   бывают   фракталы,   на   основе   каких принципов они строятся. Фрактальная   графика  ­   это   не   просто   множество   самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Вся окружающая нас природа состоит из них. Нельзя не   отметить   широкое   применение   фракталов   в   компьютерных   играх,   где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств. Фракталы очень сильно облегчают рисование компьютерной графики, с помощью фракталов создаются множество спецэффектов,  различных сказочных и невероятных картинок и т.д. Также с помощью фрактальной геометрии рисуются деревья, облака, берега и вся другая природа.   Фрактальная   графика   необходима   везде,   и   развитие   "фрактальных технологий" ­ это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.  В   будущем   я   планирую   научиться   строить   алгебраические   фракталы, когда   более   подробно   изучу   комплексные   числа.   Также   хочу   попробовать построить свои фрактальные изображение в языке программирования Паскаль с помощью циклов.  Следует отметить применение фракталов в компьютерных технологиях, помимо   просто   построения   красивых   изображений   на   экране   компьютера. Фракталы в компьютерных технологиях применяются в следующих областях: 1. Сжатие изображений и информации 2. Сокрытие информации на изображении и в звуке 3. Шифрование данных с помощью фрактальных алгоритмов 4. Создание фрактальной музыки 5. Моделирование систем В нашей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хотим только сказать, что со 13 времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые   озарил   неведомые   доселе   факты   и   закономерности   в   конкретных областях   данных.   С   помощью   теории   фракталов   стали   объяснять   эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком  бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование, и мы сожалеем, что в последнее время она как­то забылась и осталась уделом избранных.   Таким   образом,   концепция   фракталов   становится   не   только   частью “чистой”   науки,   но   и   элементом   общечеловеческой   культуры.   Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко   не   исчерпана   и   еще   подарит   нам   немало   шедевров   ­   тех,   которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму. Список литературы 1. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. РХД 2001 г. 2. Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld­ Россия.­1995 3. Мандельброт   Б.   Самоаффинные   фрактальные   множества,   «Фракталы   в физике». М.: Мир 1988 г. 4. Мандельброт   Б.   Фрактальная   геометрия   природы.   —   М.:   «Институт компьютерных исследований», 2002. 5. Морозов   А.Д.   Введение   в   теорию   фракталов.   Н.Новгород:   Изд­во Нижегород. ун­та 1999 г. 6. Пайтген Х.­О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993. Интернет ресурсы 14 1. http://www.ghcube.com/fractals/determin.html ­Детерминированные фракталы 2. http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/ ­Вселенная фракталов 3. http://fractals.nsu.ru/animations.htm ­Фильмы о фракталах 4. http://www.cootey.com/fractals/index.html ­Изображения фракталов 5. http://fraktals.ucoz.ru/publ ­Статьи о фракталах 6. http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/ ­Всё о фракталах   7. http://www.softlab.ntua.gr/mandel/  ­Mandelbrot Explorer    Приложения 15 Приложение 1 Приложение 2 16 Приложение 3 Приложение 4 Приложение 5 17 Приложение 6 Приложение 7 Приложение 8 18 Приложение 9 19