Исследовательская работа по математике на тему: "Квадратные уравнения"

Содержание Введение:...………………………………………………………………………2 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………………...5 Квадратные уравнения в Индии……………………………………………...7 Квадратные уравнения у Аль­Хорезми……………………………………...9 Квадратные уравнения в Европе XII­XVII в………………………………. 10 Способы решения квадратных уравнений………………………………….13 1. Разложение левой части уравнения на множители……………….14 2. Метод выделения полного квадрата……………………………….15 3. Решение квадратных уравнений по формулам…………………..16 4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета……….....19 5. Решение уравнений способом «переброски»……………………..22 6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………..23 7. Графическое решение квадратного уравнения…………………...25 8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки..28 9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы…........30 10.Геометрический способ решения квадратных  уравнений…….33 Исследование……………………………………………………………………37 Шпаргалка ……………………………………………………………………..39 Заключение……………………………………………………………………..41 Литература…………………………………………………………………….42 Введение 2 Из рассматриваемых тем я выбрал тему «Квадратные уравнения», так как она  показалась мне самой интересной.В учебниках по алгебре дается всего два  способа решения квадратных уравнений ,и меня заинтересовало, как же их  решали в древности, какой способ самый простой,самый распространенный и  помнят ли взрослые люди (родители,бабушки,дедушки,дяди ,тети) как они  решаются. Работа над этой темой позволит мне расширить свой кругозор в  решении квадратного уравнения. Объектомисследования стали обучающиеся и их родственники .Всем студентам  в каждой группе среди первокурсников было дано задание решить  3 квадратных уравнения.Студенты и их родственники решили эти уравнения  всеми  способами, которые они знают. Проанализировав их работы мы получили  следующий результат:  какой способ решения наиболее распространен, самый  удобный,простой и понадобились ли квадратные уравнения взрослым в их  повседневной жизни.   Цель работы: разобрать существующие методы решения квадратных уравнений, провести анализ решения квадратных уравнений разными возрастами, создать  шпаргалку по различным методам решения квадратных уравнений.  Задачи исследования: ­ познакомиться с литературой по данной теме; ­ сформулировать все определения, используемые при решении данной задачи; ­ изучить всевозможные способы решения квадратных уравнений, выявить  плюсы и минусы; ­ принять участие в проводимом исследовании решения квадратных уравнений: ­ подготовить компьютерную презентацию результатов работы. 3 Значимость: «если я сделаю запланированное, то приобрету дополнительные  знания, которыми смогу пользоваться на экзамене и в дальнейшей жизни;  студенты получат листовки­шпаргалки с формулами по которым решаются  квадратные уравнения не стандартными методами. План работы: 1. Определить источники информации; 2. Определить способы сбора и анализа информации; 3. Определить способы представления результатов; 4. Выработать критерии оценки результатов и процесса  работы. 4 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в  древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением  площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а  также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения  умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную  алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные  уравнения: Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли  вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные  тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без  указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на  высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах  отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения  квадратных уравнений. В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в  ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых  объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает  неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач. 5 Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96». Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что  искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение  равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины  их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 ­ х. Разность между ними 2х.  Отсюда уравнение: (10+x)(10—x) =96, или же 100 —x2= 96. x2 ­ 4 = 0 Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = ­ 2 для  Диофанта не существует, так как греческая математика знала только  положительные числа. Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых  чисел, то можно прийти к решению уравнения: y (20­y)=96 y2 ­ 20y+96=0 Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел,  Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного  квадратного уравнения. 6 Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате  «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом  Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее  правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической  форме: ax2 + bх = с, а> В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными.  ПравилоБрахмагупты по существу совпадает с нашим. В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных  задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких  соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так  ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая  алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. Задача 3. «Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок, На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?» Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. 7 Соответствующее задаче 3 уравнение: , Бхаскара пишет под видом: x2 ­ 64x = ­ 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к  обеим частям 322, получая затем: x2 ­ б4х + 322 = ­768 + 1024, (х ­ 32)2 = 256, х ­ 32= ±16, x1 = 16, x1 = 48. 8 Квадратные уравнения у Аль­Хорезми В алгебраическом трактате Аль­Хорезми дается классификация линейных и  квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их  следующим образом: 1)  «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх. 2)  «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с. 3)  «Корни равны числу», т. е. ах = с. 4)  «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх. 5)  «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с. 6)  «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2. Для Аль­Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены  каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не  берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор  излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал­джабр  и ал­мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не  говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при  решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль­Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в  конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных  квадратных уравнений Аль­Хорезми на частных числовых примерах излагает  правила решения, а затем их геометрические доказательства. 9 Приведем пример. Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»  (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х). Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от  произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними  2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст  7, это тоже есть корень. Трактат Аль­Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой  систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны  формулы их решения.[3,75] 10 Квадратные уравнения в Европе XII­XVII в. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль­Хорезми в Европе были  впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским  математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно  некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе  подошел к введению отрицательных чисел. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в  Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из  этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV­XVII вв. Общее  правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = спри всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c,  было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета,  однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики  Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо  положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам   Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных  уравнений принимает современный вид. Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой  древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач  11 математического характера, решаемых египетскими, шумерскими,  вавилонскими писцами­вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный  характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых  искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями,  требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или  системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись  арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки  алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели  решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к  уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач,  послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического  компонента и его независимого изучения. Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими  математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия,  посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение  подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с  переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге  длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI— XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим  предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована.  Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в  совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении  понятий и связей их с понятиями других разделов математики. 12 Способы решения квадратных уравнений                 Квадратные   уравнения   –   это   фундамент,   на   котором   покоится величественное   здание   алгебры.   Квадратные   уравнения   находят   широкое применение   показательных,   при   решении   тригонометрических, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью. Например, квадратное уравнение позволяет рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд.         В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью  которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие  способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и  рационально решать квадратные уравнения.  В математической литературе я  нашла десять способов решения квадратных уравнений и в своей работе я  разобрала каждый из них.  Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2+ bх + с = 0, где коэффициенты а, в, с­ действительные числа, а ≠ 0. 13 Определение 2.  Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.  Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов  в или, с равен нулю.  Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 называют всякое значение   переменной   х,   при   котором   квадратный   трехчлен   ах2  +   вх   +   с обращается в нуль. Определение 4. Решить квадратное уравнение — значит найти все его  корни или установить, что корней нет.  1. Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х ­ 24 = 0.  Разложим левую часть на множители: х2 + 10х ­ 24 = х2 + 12х ­ 2х ­ 24 = х(х + 12) ­ 2(х + 12) = (х + 12)(х ­ 2). Следовательно,  уравнение можно переписать так: (х + 12)(х ­ 2) = 0 Произведение   множителей равно нулю,   если   по крайней мере, один из его множителей равен нулю.  х + 12= 0   или    х – 2=0 х=­12                    х=2 Ответ: ­12; 2. 14 2. Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6х ­ 7 = 0.  Выделим в левой части полный квадрат:   х2 + 6х ­ 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 ­ 32 ­ 7 = (х + 3)2 ­ 9 ­ 7 = (х + 3)2 ­ 16. тогда, данное уравнение можно записать так:                (х + 3)2 ­ 16 =0,   (х + 3)2 = 16. х + 3=4   или    х + 3 = ­4  х1 = 1                х2 = ­7 Ответ: 1; ­7. 15 3. Решение квадратных уравнений по формулам. Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0на 4а, тогда 4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0, ((2ах)2 + 2ах • b + b2) ­ b2 + 4ac = 0, (2ax + b)2 = b2 ­ 4ac, 2ax + b = ± √ b2 ­ 4ac, 2ax = ­ b ± √ b2 ­ 4ac, 1. Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b2 ­ 4ac>0, уравнение  ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня. 16 2. Если дискриминант равен нулю, т.е.  b2  ­ 4ac  = 0, то уравнение имеет один корень . 3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b2 ­ 4ac< 0, уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.       Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни  любого  квадратного   уравнения   (если   они   есть),   приведенного   и   неполного.   Словесно   формула   (1)   выражается   так:  корни   в   том   числе квадратного   уравнения   равны   дроби,   числитель   которой   равен   второму коэффициенту,   взятому   с   противоположным   знаком,   плюс   минус   корень квадратный   из   квадрата   этого   коэффициента   без   учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент. Примеры. а) Решим уравнение: 17 4х2 + 7х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3. D = b2 ­ 4ac = 72 ­ 4 • 4  • 3 = 49 ­ 48 = 1,D> 0,  уравнение имеет два различных корня; Ответ: 1;  . б) Решим уравнение:  4х2 ­ 4х + 1 = 0, а = 4, b = ­ 4, с = 1,  D = b2 ­ 4ac = (­4)2 ­ 4 • 4 • 1= 16 ­ 16 = 0, D = 0, уравнение имеет один корень; Ответ:  в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0, а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 ­ 4ac = 32 ­ 4 • 2  • 4 = 9 ­ 32 = ­ 13 , D< 0.  Данное уравнение корней не имеет. Ответ: корней нет. 18 4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета. По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. 19 Приведенным   квадратным   уравнением  называется   уравнение   вида  (1) где старший коэффициент равен единице.  Корни   приведенного   квадратного   уравнения   можно   найти   по   следующей формуле:  Запомнить эту формулу можно заучив следующий стишок. P со знаком взяв обратным На 2 мы его разделим, И от корня аккуратно знаком   отделим, А под корнем очень кстати Половина  в квадрате, Минус  ­ и  вот решение небольшого уравнения. Чтобы   квадратное   уравнение   привести   к   приведенному виду, нужно все его члены разделить на a, , тогда 20 По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни — и дробь уж готова:  В числителе с, в знаменателе а, А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь эта, что за беда — В числителе Ь, в знаменателе а. Если обозначить  , то мы  получим уравнение вида . А формулы примут вид Таким   образом:  сумма   корней   приведенного   квадратного   уравнения   равна второму   коэффициенту,   взятому   с   противоположным   знаком,   а   произведение корней равно свободному члену. По коэффициентам  p и  q можно предсказать знаки корней.      а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q> 0), то уравнение   имеет     два   одинаковых   по   знаку   корня   и   это   зависти   от   второго коэффициента: 21 ­если р< 0, то оба корня  положительные; ­если р> 0, то оба корня отрицательные. Например, x2 – 3x + 2 = 0;  x1 = 2  иx2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = ­ 3 < 0; x2 + 8x + 7 = 0; x1 = ­ 7  иx2 = ­ 1,  так какq = 7 > 0  иp= 8 > 0.        б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p< 0 , или отрицателен, если p> 0 .        Например,  x2 – 8x – 9 = 0; x1  = 9  иx2 = ­ 1, так какq = ­ 9 < 0  иp = ­ 8 < 0;  x2 + 4x – 5 = 0; x1 = ­ 5 иx2 = 1,  так какq= ­ 5 < 0  иp = 4 > 0. 22 5. Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение  ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильно данному.  Его корни у1и у2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно: х1 = у1/а  и  х1 = у2/а. При   этом   способе   коэффициента  умножается   на   свободный   член,   как   бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ   применяют,   когда   можно   легко   найти   корни   уравнения,   используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.  23 Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0. Решение.  «Перебросим»   коэффициент   2   к   свободному   члену,   в   результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета  у1= 5 ,                х1 = 5/2 ,          x1 = 2,5  у2 = 6;                 x2 = 6/2;           x2 = 3.Ответ: 2,5; 3. 6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 1. Пусть дано квадратное уравнение  ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. 1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),  то х1= 1, х2 = с/а. 2) Если a – b + c=0, то х2 =­1, х2 = ­с/а    Примеры. 1) А. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1,      х2 = c/a = ­208/345. Ответ: 1; ­208/345. Б. Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0. Решение. Так кака + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то 24 х1 = 1,    х2 = c/a = 115/132. Ответ: 1; 115/132. 2) Решим уравнение 2х2  + 3х +1= 0.                                                                             Так как 2 ­ 3+1=0, значит  х1= ­ 1, х2 =­с/а=  ­1/2                                                         Ответ:  х1=­1, х2 =­1/2.                                                                      Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.   2. Если второй коэффициент   уравнения  b  = 2k– четное число, то формулу корней         можно записать в виде  Пример. Решим уравнение  3х2 — 14х + 16 = 0.  Решение. Имеем: а = 3, b = — 14 (k = —7), с = 16,  D1 = k2 – ac = (­ 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D1> 0, уравнение имеет два различных корня; Ответ: 2; 8/3 25 Приведенное уравнение       х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором     а = 1,  b  = р  и  с =  q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид   Формулу ( )  удобно использовать, когда р— четное число. Пример.  Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0. Решение. Имеем  а=1, в =­14, (к=­7),с=­15. х1,2 =7± =7± ,  х1,2 = 15; х2 = ­1.   Ответ: х1 = 15; х2 = ­1. 7.Графическое решение квадратного уравнения. Используя  знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно   решить   квадратное   уравнение   так   называемым  функционально­ графическим   методом.  Причем   некоторые   квадратные   уравнения   можно решить   различными   способами,   рассмотрим   эти   способы   на   примере   одного квадратного уравнения. Пример. Решить уравнение =0 26 1способ.   Построим   график   функции   , воспользовавшись алгоритмом. 1)Имеем: Значит,   вершиной   параболы   служит   точка   (1;­4),   а осью параболы – прямая x=1рис.2 2)   Возьмем   на   оси   х   две   точки,   симметричные   относительно   оси   параболы, например точки            х= ­1 и х=3, тогда f(­1)=f(3)=0.  3) Через точки (­1;0) , (1;­4), (3;0) проводим параболу (рис 2). Корнями   уравнений       являются   абсциссы     точек   пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения   2 способ Рис.3 Преобразуем уравнение к виду  . 27 Построим в одной системе координат графики функций   и      (рис 3  ).  Они пересекаются в двух точках A(­1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B, значит, . 3 способ  Преобразуем уравнения к виду .  Построим в одной системе координат графики функций     и     (рис.4)  Они пересекаются в двух точках A(­1;­2) и В (3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек  А и В, поэтому .  Рис.4 4 способ  Преобразуем уравнение к виду, затем   т.е.  28 Построим   в   одной   системе   координат   параболу  и прямую  .  Они пересекаются в точках А(­1;4) и В(3;4). Корнями уравнений служат абсциссы точек  А и В, поэтому  (рис.5). Рис.5 5 способ  Разделим почленно обе части уравнения на x, получим: ; .                              Построим   в   одной   системе   координат     гиперболу     и   прямую Рис.6 (рис.6). Они пересекаются в двух   точках А(­1;­3) и В(3;1). Корнями уравнений являются абсциссы точек А и В, следовательно, . Первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида  29 ах2  + bх + с = 0, а пятый­ только к тем, у которых с не равно нулю.   Графические   способы   решения   квадратных   уравнений   красивы,   но   не дают стопроцентной гарантии решения любого  квадратного уравнения.        8.  Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и                                                   линейки.                         Предлагаю   следующий   способ   нахождения   корней   квадратного уравнения    ах2  + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.7 ). 30 Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 ­ корни уравнения   ах2  + bх + с = 0,  и  проходит  через  точки А(0; 1) и С(0; c/a) на  оси  ординат.  Тогда по теореме о секущих  имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров  SF  и  SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому Рис.7 Итак: 1) построим точки  (центр окружности) и A(0; 1); 2) проведем окружность с радиусом SA; 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осьюОх  являются корнями исходного квадратного уравнения.   При этом возможны три случая. 1)   Радиус   окружности   больше   ординаты   центра  (AS>SK,   или    R>a  +  c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 8а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 ­ корни квадратного уравнения  ах2  + bх + с = 0. 31 2) Радиус окружности равен ординате центра   (AS  =  SB, или  R  =  a  +  c/2a), окружность касается оси Ох (рис.8б) в точкеВ(х1; 0), где х1 ­ корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра                                       окружность   не   имеет   общих   точек   с   осью   абсцисс   (рис   8в),   в   этом   случае уравнение не имеет решения.                                           Рис.8 а) б) в)          Пример.  Решим уравнение  х2 ­ 2х ­ 3 = 0  (рис.9). Решение. Определим координаты  точки центра окружности по формулам:  32 Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1). Ответ:х1 = ­ 1; х2 = 3. Рис.9 33 9.  Решение квадратных уравнений с помощью                                              номограммы.            Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений,   помещенный     на   с.83   сборника:   Брадис   В.М.   Четырехзначные математические таблицы. ­ М., Просвещение, 1990.            Таблица  XXII. Номограмма для решения уравнения  z2  +  pz  +  q  = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, поегокоэффициен­ там определить корни уравнения.      Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.10):      Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия   треугольников  САН  и  CDF получим  пропорцию  Рис.10 34 откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем   буква      z      означает   метку   любой   точки криволинейной шкалы. Примеры. Рис.11 1) Для уравнения z2 ­ 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0  и z2 = 1,0 (рис. 11). Ответ:8,0; 1,0. 2) Решим  с  помощью номограммы уравнение  2z2 ­ 9z + 2 = 0. Разделим  коэффициенты  этого уравнения на 2,  получим уравнение z2 ­ 4,5z + 1 = 0.  Номограмма дает корни z1 = 4 иz2 = 0,5. Ответ: 4; 0,5. 3)  Для уравнения  z2  ­ 25z  + 66 = 0  коэффициенты  p  и  q   выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t,  получим уравнение t2 ­ 5t + 2,64 = 0, которое   решаем   посредством   номограммы   и   получим    t1  =   0,6    и  t2  =   4,4, откудаz1 = 5t1 = 3,0  иz2 = 5t2 = 22,0. Ответ: 3; 2 35 10.Геометрический способ решения квадратных уравнений.                       В   древности,   когда   геометрия   была   более   развита,  чем   алгебра, квадратные   уравнения   решали   не   алгебраически,   а   геометрически.   Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал ­ Хорезми. Примеры.       1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.          В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.12).  Решение.  Рассмотрим   квадрат   со   стороной   х,   на   его   сторонах   строятся прямоугольники  так,  что  другая  сторона   каждого   из   них    равна  2,5, следовательно,   площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в  углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25. 36 Рис.12            Площадь   S  квадрата  ABCD   можно   представить   как сумму   площадей: первоначального   квадрата     х2,   четырех   прямоугольников  (4• 2,5х = 10х )  и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S =х2 + 10х + 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим, что S =  39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата  ABCD, т.е. отрезок  АВ = 8. Для искомой стороны  х  первоначального квадрата получим 2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у ­ 16 = 0. Решение представлено на рис 13.  где  у2 + 6у = 16, или  у2 + 6у + 9 = 16 + 9.  Решение. Выражения  у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой  один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у ­ 16 + 9 ­ 9 = 0 ­ одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = ­ 8 (рис.  . 37 рис.13 3) Решить геометрически уравнение у2 ­  6у ­ 16 = 0. Преобразуя уравнение, получаем у2 ­  6у = 16.         На рис 14.   находим «изображения» выражения у2 ­  6у, т.е. из площади квадрата  со  стороной  у два  раза вычитается  площадь квадрата  со  стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 ­  6у  прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной  у  ­ 3. Заменяя выражение у2 ­  6у  равным ему числом 16, получаем: (у ­ 3)2 = 16 + 9, т.е. у ­ 3 = ± √25, или у ­ 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = ­ 2.  Рис.14 38 Итак,   стандартные   методы   (используются   чаще   при   решении   квадратных уравнений): • Решение квадратных уравнений по формулам • Теорема Виета • Графическое решение уравнений • Разложение левой части на множители • Выделение полного квадрата Нестандартные методы: • Решение способом переброски коэффициентов • Свойства коэффициентов квадратного уравнения • Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки. • Решение с помощью номограммы • Геометрический способ   При решении квадратных уравнений    я сделал следующие выводы: Для того, чтобы хорошо решать любое квадратные уравнения необходимо знать:  •                   формулу нахождения дискриминанта; •                    формулу нахождения корней квадратного уравнения; •                    алгоритмы решения уравнений данного вида. уметь: •                    решать неполные квадратные уравнения; •                    решать полные квадратные уравнения; •                    решать приведенные квадратные уравнения; •                    находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их; 39 •                    делать проверку. Исследование В процессе исследования я провел следующие:  ­ нашёл нужную литературу; ­ рассмотрел все способы, выявил их плюсы и минусы; ­ составил квадратные уравнения; у2+у−12=0 х2+х−2=0 х2−4х+4=0 х2−4х−5=0 3х2+2х−5=0 40 4х2−14х+12=0 2х2−5х+2=0 х2−5х+4=0 х2−3х−4=0 ; х2+3х+2=0 ­ раздал уравнения обучающимся 1 курса, для решения им и их родственникам  (родители, бабушки, дедушки, дяди,тети). ­  проверил решения предоставленные испытуемыми; ­ обработал результаты: Из 4 групп первого курса принимавших участие в эксперименте 80 человек, их  родственники 50 человек. При обработке результатов было видно, что все  испытуемые использовали один и тот же способ решения квадратных уравнений  с помощью формул ( находили дискриминант), правильных решений уравнений с помощью дискриминанта  в   возрастной группе от 15 до 17 лет было 81,25 %, не верных 18,75. Во второй возрастной группе от 18 до 60 лет было решено верно  34 % не решено или решено не верно 66%. Вывод: Из проведенного исследования я сделал следующий вывод: плюсы и минусы  рассматриваемых мной методов. Применяют в своих решениях только  стандартный вариант решения  с помощью формул (дискриминанта), теорему  Витта изучаемую в школьном курсе не применил не один человек. Поэтому  проведя свою работу я сделал листовки­шпаргалки, которые обучающиеся  будут использовать в решении контрольных, практических и экзаменационных  работах. Название способа решения  Плюсы минусы 41 квадратных уравнений Разложение левой части  уравнения на множители     Метод выделения полного  квадрата  Решение квадратных  уравнений по формуле  Решение уравнений с  использованием теоремы  Виета    Решение уравнений  способом переброски  Свойства коэффициентов  квадратного уравнения   Графическое решение  квадратного уравнения   Решение квадратных  уравнений с помощью  циркуля  и линейки   Решение квадратных  уравнений с помощью  номограммы  Геометрический способ  решения квадратных  уравнений Дает возможность сразу  увидеть корни уравнения.  За минимальное количество  действий можно найти корни уравнений Можно применить ко всем  квадратным уравнениям. Достаточно легкий способ,  дает возможность сразу  увидеть корни уравнения. За минимальное количество  действий можно найти корни уравнения, применяется  совместно со способом  теоремы Виета. Не требует особых усилий Наглядный способ Наглядный способ Нужно правильно вычислить слагаемых для  группировки. Нужно  правильно найти все  слагаемые для выделения  полного квадрата.   Нужно выучить формулы.  легко находятся только  целые корни. легко найти только целые  корни. Подходит только к  некоторым уравнениям Могут быть не точности при  составлении графиков Могут быть не точности  Наглядный способ, прост в  применении. Не всегда под рукой имеется номограмма. Наглядный способ. похож на способ выделения  полного квадрата                                                           Шпаргалка 4х2−16х+15=0 1 способ. Разложение левой части уравнения на множители. 4х2−16х+15=0 4х2—10х−6х+15=0 2х(2х—5)−3(2х−5)=0 2. Метод выделения полного квадрата 4х2−16х+15=0 х2—4х+3,75=0 х2—2∙2х+3,75=0 х2—2∙2х+4−4+3,75=0 42 (2х—5)(2х−3)=0 (2х—5)=0или(2х−3)=0 х=2,5х=1,5 (х−2)2−0,25=0 (х−2)2=0,25 х−2=√0,25илих−2=−√0,25 х=2,5х=1,5 3.Решение квадратных уравнений по формуле а)    4х2−16х+15=0 D=(−16)2−4∙4∙15=16,D>0,значиткорней2 х1=16−4 4∙2 =1,5;х2= 16+4 4∙2 =2,5 б) так какbчетное число иk=­8   D=(−8)2−4∙15=4,D>0,значиткорней2 х1=8−2 4 =1,5;х2=8+2 4 =2,5 5. Решение уравнений способом «переброски» 4х2−16х+15=0 х2−16х+60=0 по Виету  у1¿10;у2=6 х1¿ 10   квадратных =6 4=1,5 решение   2 4 =2,5;х 7.Графическое уравнений 4х2−16х+15=0 4х2=16х−15 у=4х2−парабола у=16х+15−прямая     Решение уравнений 4. использованием теоремы  Виета  4х2−16х+15=0 х2−4х+3,75=0   с q=3,75>0 ,имеет два одинаковых по знаку корня p=­4<0, оба корня положительные {х1∙х2=3,75 х1+х2=4 ⇒{х1=1,5 х2=2,5 коэффициентов     Свойство 6. квадратного уравнения a+b+c=0      4 + (­16) + 15 ≠ 0 a+c=d   4 + 15 ≠ 16 данный способ не подходит 8.   Решение   квадратных   уравнений   с помощью циркуля и линейки Построим точку   S( 16 2∙4 2∙4 )значитS(2;2,375) ;4+15 Точка А(0;1) Ответ:1.5; 2.5 43 9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы 10.Геометрический способ решения квадратных уравнений 4х2−16х+15=0 х2—4х+3,75=0 х2—2∙2х+3,75=0 х2—2∙2х+4−4+3,75=0 (х−2)2−0,25=0 (х−2)2=0,25 х−2=√0,25илих−2=−√0,25 Не возможно решить данным способом х=2,5х=1,5 44 Заключение. Я считаю, что достиг целей своей работы,разобрал существующие методы  решения квадратных уравнений, провел анализ решения квадратных уравнений  разными возрастами, создал шпаргалку по различным методам решения  квадратных уравнений.     В перспективах моего исследования, я хочу проверить все методы решения  квадратных уравнений в поле комплексных чисел. 45 Литература 1. Плужников И.10 способов решения квадратных уравнений//Математика в  школе.­2000.­№40 2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные  материалы: Книга  для учащихся. – М.: Просвещение, 1988 3.  Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982 4.Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – м., просвещение, 1990 5.   Дидактические материалы по алгебре. 6. http://revolution.allbest.ru/ 7. http://mat.1september.ru/2001/42/no42_01.htm 46