Исследовательская работа по математике «Открытие, которое покорило мир».

Научно­практическая конференция учащихся Исследовательская работа по математике  «Открытие, которое покорило мир».                                          Оглавление 1. Введение.                                                                                                          2 2. Основная часть. 2.1. Наука топология.                                                                                           3 2.2. А. Ф. Мёбиус и его удивительное открытие.                                              4 2.3. Определение листа Мёбиуса.                                                                       5 2.4. Топологические свойства ленты Мёбиуса.                                                 5 2.5. Применение листа Мёбиуса.                                                                         6 3. Практическая часть. 3.1. Проведение опытов с листом Мёбиуса.                                                      10 3.2. Общие результаты проделанных опытов.                                                   12 3.3. Существуют ли объекты, подобные листу Мёбиуса.                                 13 3.4. Фокусы, основанные на свойствах ленты Мёбиуса.                                  14 4. Заключение.                                                                                                      14 5. Библиографический список.                                                                         16 6. Приложения. 1. Портрет А. Ф. Мёбиуса. 2. Построение листа Мёбиуса. 3. Лист Мёбиуса. 4. Применение ленты Мёбиуса в быту. 5. Американские горки. 6. Памятный знак у входа в Национальную академию наук в Беларуси. 7. Памятник «Ленте Мёбиуса» в Москве, на Комсомольском проспекте. 1 8. Гравюра Маурица Эшера «Лента Мёбиуса». 9. Ювелирные украшения в виде ленты Мёбиуса. 10. Бутылка Клейна. 1. Введение.                           «Лучший способ изучить что­либо ­ это открыть самому».                                                                                                                           Д. Пойа       Для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. Наш современник В. А. Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. На одном из внеклассных мероприятий по математике мы были очень удивлены   и   заинтересованы   свойствами   ленты   Мёбиуса,   о   которых   рассказала   нам учительница математики Чугунова Л. М.       Интересность ленты заключается уже в том, что в отличие от обыкновенного листа она имеет только одну поверхность, а не две. Загадки продолжались, когда я начала разрезать ленту Мёбиуса. Меня так заинтересовал этот лист, что я стала искать про него разную информацию   и   проводить   с   ним   разные   опыты.   Отсюда,  объект  исследования:  лист Мёбиуса   как   модель   односторонней   поверхности.  Предмет   исследования:  свойства односторонней поверхности на примере ленты Мёбиуса.       Цель работы:  ­ определить и опытно­экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мёбиуса.       В соответствии с поставленной целью определились следующие задачи: ­ раскрыть понятие топологии; ­ изучить вклад А. Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии; ­ описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления; ­ установить области применения листа Мёбиуса.      В своей работе я использовала следующие методы: 2 ­ анализ литературы по теме; ­ сравнение; ­ обобщение; ­ моделирование (метод моделирования позволил нам получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями); ­ эксперимент.     Актуальность и теоретическая значимость нашей работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь   геометрии   –   топология.   В   наше   время   эта   наука   бурно   развивается   и   находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется внимания в школьном курсе геометрии. 2. Основная часть. 2.1. Наука топология.    Лист   Мёбиуса   –   один   из   объектов   области   математики   под   названием «топология»   (по­другому   –   «геометрия   положения»).   Слово   это   придумал   Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Топология изучает свойства таких   фигур,   которые   не   изменяются   при   деформациях   (растяжение,   сжатие),   не допускающих разрывов и склеивания. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать – делать с ней всё, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. Его интересуют самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при   каких   преобразованиях.   Поэтому   иногда   топологию   называют   «геометрией непрерывности».      Например, с точки зрения топологии, баранка и кружка – это одно и то же. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. 3 Топология – это наука, результаты исследования которой применяются в математике, технике,   экономике.   Она   известна   и   под   именем   «резиновая   геометрия»,   потому   что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.       Топология изучает необычные свойства фигур. Это односторонность, непрерывность, связность, ориентированность. 2.2. А. Ф. Мёбиус и его удивительное открытие.   17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик. Как и все дети, он сначала научился ползать, потом ходить, позже говорить. Всё шло своим чередом. Школа, затем университет  в Лейпциге. Мальчику  повезло:   астрономию  ему  преподавал   сам «король математиков» ­ Гаусс, математику – Пфафф. Имя мальчика – Август Фердинанд Мёбиус (Приложение 1). Как­то незаметно для всех в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической   лаборатории   в   Лейпцигском   университете.   Научные   статьи,   лекции, работа. Всё как у обычного профессора университета. Своих студентов А. Ф. Мёбиус любил удивлять неожиданными задачками. Возможно, его имя за 222 года растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро. Профессор сидел в кресле. В это время на пороге   комнаты   появилась   разгневанная   жена,   которая   категорически   требовала немедленно   уволить   служанку,   которая   настолько   бездарна,   что   даже   не   способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай   да,   Марта!   Девочка   не   так   уж   глупа.   Ведь   это   же   односторонняя   кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!» Открытая поверхность получила математическое обоснование   и   имя   в   честь   описавшего   её   математика   и   астронома.   Ленту   взял   на вооружение   цех   парижских   портных.   Отныне   в   качестве   экзамена   для   новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты   Мёбиуса.   Оценили   по   достоинству   невольное   изобретение   Марты   и   учителя. 4 Неугомонным ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мёбиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.        Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений. Лента   Мёбиуса   положила   начало   новой   науке   –   топологии.   Главная   ценность   листа Мёбиуса   состоит   в   том,   что   он   дал   толчок   новым   обширным   математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики.   2.3. Определение листа Мёбиуса.   У   любого   тонкого   объекта,   такого   как   лист   бумаги,   кусок   ткани,   доска   или пластинка, как  правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна   поверхность?   «Может!».   И   таким   листом   является   лист   Мёбиуса.   Поэтому   он относится к числу «математических неожиданностей».        Лист Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол­оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом (Приложения 2, 3).    2.4. Топологические свойства ленты Мёбиуса.    Односторонность – топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него.       Непрерывность  – с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. На листе Мёбиуса   любая   точка  может  быть  соединена   с  любой   другой   точкой.  Разрывов   нет – непрерывность полная.  Связность – чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа   Мёбиуса,   то   количество   связей   меняется   в   зависимости   от   смены   количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен  и  т.  д. Связность   принято  оценивать  числом  Бетти,  или  иногда  пользуются эйлеровой характеристикой. 5 Ориентированность  – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение. «Хроматический   номер»  ­   максимальное   число   областей.   Которые   можно нарисовать  на  поверхности  так, чтобы  каждая  из  них  имела  общую  границу  со  всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.  2.5. Применение листа Мёбиуса: в технике: Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.   Многие   учёные   в   своих   изобретениях   использовали   принцип   ленты Мёбиуса.       В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить  лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера – энергозатраты снизятся на  одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится (Приложение 4).            Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка.   Через   какое­то   время   стирается   и   сам   шлифовальный   слой   на   ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину   было   выдано   авторское   свидетельство   на   шлифовальное   устройство   с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое.            Есть  фильтры, в которых  жидкость   пропускают  сквозь  ленту  из  фильтрующего материала. Постепенно эта лента засоряется, приходится её менять. На фильтр с лентой Мёбиуса тоже выдано авторское свидетельство. 6 Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная плёнка,   соединённая   таким   образом,   записывает   звук   на   обеих   сторонах.  Магнитофон прокручивает плёнку в виде ленты Мёбиуса вдвое дольше, чем обычную.             Аттракцион   «Американские   горки»   ­   это   тоже   применение   ленты   Мёбиуса (Приложение 5).        Лента Мёбиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.       Устройство под названием резистор Мёбиуса – это недавно изобретённый электронный элемент,   который   не   имеет   собственной   индуктивности.   Никола   Тесла   запатентовал подобное   устройство   в   начале   1900­х   годов.   Катушка   для   электромагнитов предназначалась для использования в его системе глобальной передачи электричества без проводов.        А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.        Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса. в литературе и  искусстве:   Лента Мёбиуса понравилась и фокусникам. Более ста лет она используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались в цирке,   где   подвешивались   яркие   ленты,   склеенные   в   виде   листов   Мёбиуса.   Фокусник закуривал  сигарету  и горящим концом  дотрагивался до средней линии  каждой ленты, которая   была   выполнена   из   калийной   селитры.  Огненная   дорожка   превращала   первую ленту в более длинную, а вторую – в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник   разрезал   лист   Мёбиуса   не   посередине,   а   на   расстоянии   в   одну   треть   его ширины).            Чудесные свойства породили множество научных трудов, а также фантастических рассказов.   Лист   Мёбиуса   был   эмблемой   известной   серии   научно­популярных   книг «Библиотечка «Квант». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в   рассказе   Артура   Кларка   «Стена   Темноты».  Иногда   научно­фантастические   рассказы 7 предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также   кольцо   Мёбиуса   постоянно   упоминается   в   произведениях   уральского   писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе А. Дейча «Лента Мёбиуса» описывается случай в Нью­Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мёбиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: «Где начало того конца, которым оканчивается начало?».       Игрушка эта очень понравилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мёбиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.       Целую серию скульптур в виде листа Мёбиуса создал  Макс Билл и другие скульптуры (Приложение   6,   7).   Довольно   много   разнообразных   рисунков   оставил   Мауриц   Эшер. Особенно   интересна   гравюра   с   изображением   муравья,   ползающего   по   ленте   Мёбиуса (Приложение 8).            В настоящее время существует множество женских ювелирных украшений в виде ленты Мёбиуса (Приложение 9).       Ленте Мёбиуса посвящают стихи. Наталья Юрьевна Иванова                        Лист Мёбиуса.       Лист Мёбиуса – символ математики,       Что служит высшей мудрости венцом…       Он полон неосознанной романтики:       В нём бесконечность свёрнута кольцом.       В нём – простота, и вместе с нею – сложность, 8 Что недоступна даже мудрецам:        Здесь на глазах преобразилась плоскость        В поверхность без начала и конца.        Здесь нет пределов, нет ограничений,         Стремись вперёд и открывай миры,        Почувствуй силу новых ощущений,        Прими познанья высшего дары:        Познай любовь и ненависть изведай,        Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.        Ты в одночасье насладись победой        И горечь пораженья испытай.        На грани бесконечного блаженства        Испытывая суеверный страх,        Найдёшь свой путь. Достигнув совершенства,        Окажешься в таинственных мирах.             И, вдохновлённый этим дерзновеньем,        По экспоненте поднимаясь в высь,        Ты ощутишь восторг освобожденья,        Почувствуешь, как возникает Мысль.          Покажется, что распростёрлась Вечность,        Что взломан Мироздания пароль.        И вдруг твоё стремленье в бесконечность        Тебя вернёт к исходной точке: в ноль. 9 Как о порог, об этот ноль споткнёшься.        Но как бы ни был прежний путь тернист,        Вновь выбирай (и ты не ошибёшься!)        Путь в бесконечность – Мёбиуса лист! в  науке:  Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.    Физики утверждают, что все оптические законы основаны на ленте Мёбиуса, например, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, ведь мы видим перед собой своего зеркального двойника!        Учёные, занимающиеся космологией, рассматривают различные модели пространства, в том числе и модели с кручением, то есть в виде листа Мёбиуса. 3. Практическая часть. 3.1. Проведение опытов с  листом Мёбиуса.   В   практической   части   своей   работы   я   проделала   ряд   несложных   опытов   с обыкновенным кольцом и листом Мёбиуса. Сравнительные результаты записала в виде таблицы. № Содержание опыта опыта 1 Поставим   точку   на одной стороне каждого   кольца   и начертим   Результаты опыта, проведённого с обыкновенным кольцом Линия   проходит   вдоль кольца по одной стороне, сходясь   в   точке   начала. Вторая   сторона   остаётся Результаты опыта, проведённого с лентой Мёбиуса Непрерывная   линия проходит   по   двум сторонам, заканчиваясь в   10 чистой. начальной точке. непрерывную   линию вдоль   него,   пока   не придём   снова   в отмеченную точку. Закрасим   полностью только   одну   сторону колец. Одна   сторона   закрашена, другая – нет.          Лента закрашена целиком.    «Если   кто­нибудь вздумает   раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой   ленты, пусть сразу погрузит её   всю   в   ведро   с краской»,   ­   пишут Рихард   Курант   и Герберт   Робинс   в книге   «Что   такое математика?»   Линия получилась, непрерывно закрашенная  на  всём кольце. волк Заяц     не встретятся   пересекая   края,   в любом случае. края и   , 2 3 4 5 Закрасим непрерывной   линией только   один   край колец. Один   край   кольца закрашен,   второй   край нет. Заяц   и   волк   никогда   не встретятся,   не   пересекая края.     На внутреннюю сторону   обычного кольца посадим зайца, а на наружную волка. Разрешим   им   бегать как   угодно,   запретив перелезать края кольца.   Посадим   на ленту   Мёбиуса   зайца и волка. Разрешим им бежать   в   разных направлениях. Разрежем   кольца пополам   по   линии, параллельной краям. Получилось   два   кольца, уже, чем исходное, причём длина окружности каждого   будет   такой   же, как   длина   окружности первоначально взятой.   Получилось   одно кольцо   в   виде восьмёрки. Это обычное кольцо.   6 Разрежем   кольцо Получилось   два   кольца: Получилось   два 11 вдоль,   отступив   от края   на   1/3   ширины кольца. одно   уже,   другое   в   два раза шире. 7 8   Разрежем   результат опыта   №5   (уже разрезанную   ленту) пополам вдоль. Склеить   ленту   из квадрата,   не   сминая бумагу. Получаются   отдельные кольца, всё уже и уже. Получится «труба». 3.2. Общие результаты проделанных опытов. сцепленных   друг   с другом   кольца:   одно маленькое,   другое   – большое.   Причём маленькое   –   это лента   Мёбиуса.   А большое   –   обычное кольцо. Получились больших   переплетённые между   собой   в   виде восьмёрки. Невозможно осуществить на практике,   не   сминая бумагу.   два кольца,          На основе проведённых теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы: 1 Лента Мёбиуса имеет один край. 2 3 4 5 6 Лента Мёбиуса имеет одну поверхность. Лента Мёбиуса имеет одну искривлённую поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю. Лист  Мёбиуса –  топологический  объект.  Как и  любая   топологическая  фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски. Один   край   и   одна   сторона   листа   Мёбиуса   не   связаны   сего   положением   в пространстве, не связаны с понятием расстояния. Если закрашивать одну сторону ленты Мёбиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты. 12 7 8 9 Если   пустить   по   поверхности   ленты   Мёбиуса   движущиеся   объекты,  они   будут двигаться бесконечно долго. Лента Мёбиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины. Если допустить, что можно взять квадрат или прямоугольник любого размера и при этом можно сгибать бумажную поверхность, то мы сможем склеить ленту Мёбиуса. 10 Если   разрезать   ленту   Мёбиуса   вдоль   посередине   параллельно   краю,   то   можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мёбиуса. 11 Если   разрезать   ленту   Мёбиуса   вдоль,   отступив   от   края   1/3   её   ширины,   то получится два кольца, сцеплённые между собой, одно большое – не лента Мёбиуса, другое маленькое – лента Мёбиуса.   3.3. Существуют ли объекты, подобные листу Мёбиуса?  Да, существуют, и в научной литературе они описаны.   Если лист Мёбиуса – «условно двумерный объект» (он получен из плоской полоски), то его подружка – Бутылка Клейна полноправно занимает три измерения (Приложение 10).       Запустите туда муравья, и он побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.       На всех рисунках показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» ­ не делая в ней зазора, казалось бы это неправильно! Ведь, если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по листу Мёбиуса ему нужно разворачиваться, после того как он куда­то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!      А почему мы только обходим Бутылку Клейна? Что же будет, если её разрезать?     Это невероятно, но получится лист Мёбиуса. Резать, правда, нужно так, чтобы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной.         Чудеса!   Бутылка   Клейна   в   трёх   измерениях   –  это   аналог   листа   Мёбиуса   в   двух измерениях. 13 3.4. Фокусы, основанные на свойствах ленты  Мёбиуса. 1. Заязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов.        Это   можно   сделать так.     Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа   сам   собой   получится   узел.   Пользуясь   топологической   терминологией,   можно сказать,   что   руки   зрителя,   его   корпус   и   шарф   образуют   замкнутую   кривую   в   виде “трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок. 2.Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет болтаться в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. 4. Заключение. «Мышление начинается с удивления», ­ заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления. Лист Мёбиуса – это удивительное открытие. Открытие, которое действительно перевернуло мир.   Эта необычная полоска явилась началом нового специального раздела математики – топологии. Мёбиус повлиял не   только   на   математиков,   но   и   художников,   скульпторов,   архитекторов   и   многих, многих… 14 В результате появились картины, скульптуры, марки, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса. Работая над проектом, я пришла к выводу, что свойства, которыми   обладает   лента   Мёбиуса   можно   использовать   в   швейном   производстве   при оригинальном   раскрое   ткани.   В   технике   ещё   немало   появятся   изобретений   с использованием ленты Мёбиуса.      А для школьников лента Мёбиуса интересна  результатами экспериментов с ней.  Также привлекает внимание цирковые фокусы, основанные на свойствах ленты Мёбиуса. В   будущем   я   продолжу   проведение   опытов   с   перекручиванием   колец   и   с   двойными кольцами.    При изучении литературы по данной теме я выяснила, что топология изучает не только односторонние   поверхности.   К   топологическим   задачам   относятся   задачи   на вычерчивание   фигур   одним   росчерком.   Сеть   таких   кривых   называют   графами   (от греческого слова «графо» ­ пишу), головоломки со шнурами и бечёвками. Эти задачи меня заинтересовали. Возможно я продолжу исследовательскую работу в этом направлении.       15 Библиографический список 1.  Август Мёбиус  htt://www. Calend.ru/person/2637/ 2.  Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987. 3.  Видеоролик «Разрезание бутылки Клейна» (The Klein Bottle),   htt://video.yandex.ru/seapch.xml? text 4. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М: Наука, 1978. 5. Гарднер М. Математические досуги. М. Мир, 1972. 6. Е. С. Смирнова. Курс наглядной геометрии. – М: Просвещение, 2002. 7. И. Ф. Шарыгин, Л. Н. Еранжиева. Наглядная геометрия. 5­6 класс. – М.: Дрофа,2000. 8. Кордемский Б. А., Топологические опыты своими руками. Квант. 1974, №3, с. 73­75. 9. Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва, 1984. 10. Ленгдон Н., Снейп Ч. «С математикой в путь» Издательство «Педагогика», 1987 г., с.  42­43. 11. Леонова О. А. Введение в топологию «Лист Мёбиуса». 12. Статья: Что такое лист Мёбиуса? htt://www.genon.ru 13. Статья: Трогаем бесконечность. Мёбиус, клейн и другие топологические парадоксы.  htt://www.log­in./articles/1360/ 14. Энциклопедия для детей «Математика». – М.: Аванта +, 2005. 16