Исследовательская работа по теме "Числа Фибоначчи и золотое сечение"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение                                                             «Лицей № 1»                                                 Исследовательская работа                                  Числа Фибоначчи и золотое сечение                                                                              Автор: Прошкин Николай                                                                                      учащийся 6 «Б» класса                                                                              Руководитель: Казьменко Е.А.                                                                                      учитель математики                                                                      г. Воронеж 2017г. Содержание ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………......3 ЦЕЛЬ РАБОТЫ……………………………………………………....................3 1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………….……..…………………..........5     1. 1  Биография Леонардо Фибоначчи………………………………..….....5     1. 2  История и закономерность чисел Фибоначчи…………………..…....6 2.  ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ………………………..……………………..…….…8     2. 1  История создания «Золотого сечения»….………………………….....8     2. 2  Числа Фибоначчи и «золотая пропорция»………………………..…..9     2. 3  Прямоугольники золотого сечения……………………………….......10     2. 4  Спирали Фибоначчи…………………………………………………....10 2. 5  Совершенство форм в «золотых пропорциях». Числа  Фибоначчи             и «золотое сечение» в строении и жизни    человека……….……....13 3.  ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ……….……………………………..................16     3. 1  Построение золотого прямоугольника……………………………......16     3. 2  Деление сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи…....18     3. 3  Закономерность Фибоначчи в живой природе…………………..…...19     3. 4   Анализ строения человека……………………………………………..21  ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………...............23  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………......24 ВВЕДЕНИЕ 3 Математика   постоянно   имеет   дело   с   бесконечностью.   Так,   самое   простое понятие как натуральный ряд чисел 1,2,3,…­бесконечен. С его помощью описывают бесконечные объекты, в частности числовые последовательности. Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55…, названной впоследствии "рядом Фибоначчи". Ряд этих чисел позволяет решать нам серьезные математические задачи. Человек стремится к знаниям, пытается изучить Мир, который его окружает. В процессе   наблюдений   появляются   многочисленные   вопросы,   на   которые, соответственно, требуется  найти  ответы. Человек   ищет  эти  ответы, а находя  их, появляются другие вопросы. Оказывается,   закономерность   явлений   природы,   строение   и   многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли   и   достижения   науки   –   всё   это   можно   объяснить   последовательностью Фибоначчи. Актуальность выбранной темы заключается в том, что числа Фибоначчи и их различные   их   варианты   отражаются   во   всех   творениях   мироздания,   которые продуманы и подчинены единым законам природы и имеют большой практический и теоретический интерес во многих науках. Цель данной работы:  изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ними закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов, найти примеры использования чисел Фибоначчи. Объект   исследования: человек,   изобретения   человека,   окружающий растительный и животный мир.           Предмет исследования: Числа и их закономерности 4 Задачи исследования: 1. Изучить ряды Фибоначчи; 2. Рассмотреть примеры золотого сечения; 3. Увидеть математические закономерности в строении человека, растительного мира и неживой природы. Новизна   исследования ­   открытие   чисел   Фибоначчи   в   окружающей   нас действительности. Практическая   значимость ­ использование   приобретенных   знаний   и   навыков исследовательской   работы   при   изучении   других   школьных   предметов,   осознание вездесущности математических законов. Методы исследования: 1. Теоретический.   Рассмотреть   литературу,   в   которой   описывается   ряд   чисел. Познакомиться с числами Фибоначчи и историей их создания. 2. Наблюдение, эксперимент. Эксперимент с делением сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи.   Построение золотого прямоугольника. Исследование чисел с помощью измерения фаланг руки. 5                 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ                 1.1  Биография Леонардо Пизанского Фибоначчи родился в итальянском городе Пиза, предположительно в 1170­е годы (в некоторых источниках стоит 1180 год) Его отец Гильермо,  был купцом и государственным чиновников. В 1192 году он был назначен представлять пизанскую торговую колонию в Северной Африке и часто бывал в Беджаи, Алжир. По желанию отца, который хотел, чтобы Леонардо стал хорошим торговцем, он переехал в Алжир. Благодаря этому обстоятельству ему удалось   "устроить"   своего   сына,   будущего   математика   Фибоначчи,   в   одно   из арабских учебных заведений.  Он  изучал там математику (искусство вычислений) у арабских   учителей,   где     и   получил   неплохое   для   того   времени   математическое образование. Труды математиков Античности и Древней Индии он прочитал в арабских переводах. В   1200   году   Леонардо   вернулся   в   Пизу   и   принялся   за   написание   своего первого труда.  Значительную часть, усвоенных им знаний он изложил в своей «Книге абака»   (Liber   abaci, 1202   год;   до   наших   дней   сохранилась   только   дополненная рукопись 1228   года).   Эта   книга   состоит   из   15   глав   и   содержит   почти   все арифметические   и   алгебраические   сведения   того   времени,   изложенные   с исключительной   полнотой   и   глубиной.   Первые   пять   глав   книги   посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII—X главах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В XI главе рассмотрены задачи на смешение. В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов — арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории   математики,   возвратного   ряда,   приводящего   к   последовательности   так называемых чисел   Фибоначчи.   В   XIII   главе   излагается   правило   двух   ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIV главе Леонардо на числовых примерах разъясняет способы  приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV главе 6 собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные   уравнения.   Леонардо   впервые   в   Европе   использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг.    Впоследствии   получил   признание   потомков   в   качестве   первого   крупного математика Европы периода Средних веков. Что же касается имени Фибоначчи, под которым он вошел в историю математики, то оно закрепилось за ним только в XIX веке.          1.2  История и закономерность ч сел  Фибон ччи   ии аи Числа Фибоначчи это элементы последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.           То, что  мы  сейчас  знаем  под названием  «числа  Фибоначчи», было  известно древнеиндийским   математикам   задолго   до   того,   как   ими   стали   пользоваться   в Европе.          Действительно, когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал,   насколько   близко   ему   удалось   приблизиться   к   разгадке   одной   из величайших тайн мироздания! Фибоначчи   вёл   отшельнический   образ   жизни,   много   времени   проводил   на природе,   и,   гуляя   в   лесу,   он   обратил   внимание,   что   эти   числа   стали   буквально преследовать   его.   Повсюду   в   природе   он   снова   и   снова   встречал   эти   числа. Например, лепестки и листья растений строго укладывались в данный числовой  ряд.        В числах Фибоначчи существует интересная особенность: частное от деления последующего   числа   Фибоначчи   на   предыдущее,   по   мере   роста   самих   чисел, стремиться к 1,618.   Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне  именуется как золотое сечение  или  золотая пропорция. 7       С   математической   точки   зрения   последовательность   оказалась   просто уникальной, поскольку обладала целым рядом выдающихся свойств: ­ сумма двух любых последовательных чисел есть следующее число   последовательности                                        55 + 89  =  144                                                 144 + 233  = 377                                                     377 + 610  = 987; ­ отношение каждого числа последовательности, начиная с пятого, к   предыдущему, равно 1,618, в алгебpе это число обозначается     гpеческой буквой фи (Ф),  получается что             233 / 144   = 1,618                  377 / 233   = 1,618                                     610 / 377   = 1,618                  987 / 610   = 1,618 ­ разница между квадратом любого числа и квадратом числа на две φ  = 1,618   позиции левее, будет числом Фибоначчи                                        212  ­  82  =  441  ­  64   =  377                                        342  ­  132  =  1156  ­  169  =  987 ­ сумма квадратов стоящих рядом чисел будет числом Фибоначчи                              82  +  132  =  64  +  169  =  233                                       212  +  342  =  441  +  1156  =  1597 Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство,   что   все   исследователи   золотого   деления   в   растительном   и   в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду, как арифметическому выражению закона золотого деления.     Учёные,   анализируя   дальнейшее   применение   этого   числового   ряда     к природным   феноменам   и   процессам,   обнаружили,   что   эти   числа   содержатся буквально во всех объектах живой природы, в  растениях, в животных и в человеке. Удивительная   математическая   игрушка   оказалась   уникальным   кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом  Вселенной. 8 2. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ         2. 1  История создания «Золотого сечения» История «Золотого сечения» ­ история человеческого познания мира. Понятие «Золотое сечение» прошло в своем развитии все стадии познания. Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (IV в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание   у   египтян   и   вавилонян.   И   действительно, золотого   деления   позаимствовал   пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы   Тутанхамона   свидетельствуют,   что   египетские   мастера   пользовались соотношениями   золотого   деления   при   их   создании.   Числа   Фибоначчи   в   природе соотношения   Фибоначчи,   носящие   разные   имена,   –   Золотой   пропорции,   Золотого сечения, Божественной пропорции – встречаются в самых неожиданных и загадочных местах. Знаменитый Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение   высоты   здания   к   его   длине   равно   0,618.   Если   произвести   деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада. При его   раскопках   обнаружены   циркули,   которыми   пользовались   архитекторы   и скульпторы античного мира.  В Помпейском циркуле, который находится в музее в Неаполе, также заложены пропорции «золотого деления».                                                  Рис.1  Античный циркуль золотого сечения 2. 2  Числа Фибоначчи и «золотая пропорция» 9 Для   практических   целей   ограничиваются   приблизительным   значением    = 1,618. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой­ либо величины в отношении 62 % и 38 %. Рис. 2 Золотая пропорция Длина отрезка   с = 1,  а  =  0,618,  b  =  0,382. Отношение   с   к  а  =  1, 618. Отношение   с  к   b  =  2,618 Возьмем   два   следующих   друг   за   другом   члена   из   его   последовательности. Разделим   большее   число   на   меньшее   и   получим   приблизительно   1,618.   А   теперь задействуем то же большее число и следующий за ним член ряда (т.е. еще большее число) – их отношение рано 0,618. Вот пример: 144, 233, 377. 233/144 = 1,618       и       233/377 = 0,618 Кстати, если  попробовать  проделать тот же эксперимент с числами из начала последовательности (например, 2, 3, 5), ничего не получится.  3/2 = 1,5       и       3/5 = 0,6 Правило   золотого   сечения   почти   не   соблюдается   для   начала последовательности. Но зато по мере продвижения вдоль ряда и возрастания чисел работает отлично. 10 Для того, чтобы вычислить весь ряд чисел Фибоначчи, достаточно знать три члена последовательности, идущих друг за другом.  Получается, что   золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что большая часть отрезка составляет такую же долю в целом отрезке, какую меньшая   часть   отрезка   составляет   в   его   большей   части.   Позже   это   было распространено на произвольные величины. 2.3  Прямоугольники «золотого сечения» Рис.3  Золотой прямоугольник Золотой   прямоугольник с   длинной стороной   а   и   короткой   стороной   b,    помещенный   рядом   с   квадратом   со   стороной    а,    дает  подобный    золотой прямоугольник с длинной стороной  а + в и короткой стороной а.   Это показывает отношение      а   =   а а+в в   = φ                           2.4  Спирали Фибоначчи       Последовательность Фибоначчи постоянно повторяется в жизни, так как она порождена спиралью Золотого сечения, не имеющей ни начала, ни конца, уходящей в бесконечность. Жизнь не знает, как ей вести себя с бесконечностью, и эта  11 последовательность, ставшая известной как последовательность Фибоначчи, дает ей ответ на вечный вопрос. Рис.4  Спирали Фибоначчи в природе Существует   множество   способов   построения   Золотой   спирали   и   спирали Фибоначчи.   Для   построения   Золотой   спирали   можно   использовать   Золотой прямоугольник.   Этот   процесс   можно   продолжать   до   бесконечности.   Эти получающиеся прямоугольники, скручиваются внутрь. Они промаркированы А,B, C, D, E, F и G.                                                                     Рис. 5 Спираль Фибоначчи 12 Спираль   Фибоначчи   может   быть   двойной.   Существуют   многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи.  Посмотрим   на   сосновую   шишку.   Чешуйки   на   ее   поверхности   расположены строго закономерно — по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом.   Число   таких   спиралей   у сосновых   шишек   равно 8 и 13 или 13 и 21.                                                                                     Рис. 6  Спирали Фибоначчи в шишке Первая спираль идет в одну сторону, вторая  ­ в другую. Если посчитать число чешуек в спирали, вращающейся   в одном направлении, и число чешуек в другой спирали,   можно   увидеть,   что   это   всегда   два   последовательных   числа   ряда Фибоначчи.                                                            Рис. 7  Спирали Фибоначчи в подсолнухе 14 В подсолнухах встречаются пары спиралей : 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает!!! 2.5 Совершенство форм в «золотых пропорциях».   Числа Фибоначчи и «золотое сечение» в строении и жизни человека. Около   двух   веков   идея   применения   золотой   пропорции   в   исследовании человеческого тела была предана забвению, и лишь в середине XIX века немецкий ученый Цейзинг вновь обратился к ней. Он находил, что все тело человека в целом и каждый   отдельный   его   член   связаны   математически   строгой   системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важнейшее место.  Измерив тысячи человеческих тел, он установил, что золотая пропорция есть среднестатистическая   величина,   характерная   для   всех   хорошо   развитых   тел.   Он нашел, что средняя пропорция мужского тела близка к 13/8=1,625, а женского — к 8/5=1,60. Аналогичные значения получены и при анализе антропометрических данных населения СССР (1,623 для мужчин и 1,605 для женщин).  Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность   или   тело   человека   считаются   идеально   сложенными.   Принцип   расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:     М m    =  1,618 Рис. 8  Золотые пропорции    15 Есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:                                                       Рис. 9  Золотое сечение и человек ­ расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1 : 1,618; ­ расстояние от уровня плеча  до макушки головы  и  размера головы равно 1 : 1,618; ­ расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы     равно 1 : 1,618; ­ расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1 : 1,618; ­ расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней      губы до ноздрей равно 1 : 1,618; ­ расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии     бровей до макушки равно 1 : 1,618; ­ расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии    макушки равно 1 : 1,618;   бровей   до Рис. 10  Рука и золотое сечение 16 У   человека   2   руки,   пальцы   на   каждой   руке   состоят   из   3   фаланг   (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух  фаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения.   Тогда как все эти цифры 2, 3, 5  и 8 есть числа последовательности Фибоначчи. Совокупность   рассмотренных   психологами   фактов   биографий   известных людей позволяет изобразить критические возрасты мужчин следующим рядом лет: 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, который отвечает ряду чисел Фибоначчи. В жизни человека можно выделить семь основных периодов,   отвечающих   числам   Фибоначчи:     до года — младенчество,  1—8 лет — детство,   8—13 лет — отрочество,   13—21 год — юность,   21—34  года  — молодость,   34—55   лет— зрелость,   55—89  лет  — старость. Дальше следует редко реализуемый период долгожительства —  89—144 года. 3.  ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ 17 3.1  Построение золотого прямоугольника Чтобы   построить   Золотой   прямоугольник,   построим   сначала   квадрат   со сторонами в 2 единицы и проведем линию от середины одной из его сторон к одному из углов у противоположной стороны, как показано на рис. 11.                                                                        Рис. 11 Построение золотого прямоугольника – шаг 1      Треугольник  EDB  –   прямоугольный.     Пифагор   в   свое   время   доказал,   что квадрат   гипотенузы   прямоугольного   треугольника   равен   сумме   квадратов   его катетов. В этом случае , длина гипотенузы ЕВ – равна корню квадратному из 5. Следующий шаг в построении Золотого прямоугольника заключается в продолжении линии СD  до точки  G  так, чтобы  EG  равнялась корню квадратному из 5 или 2,236 единиц длины. Рис. 12 Построение золотого прямоугольника – шаг 2 18 После   завершения   построения,   стороны   прямоугольника   будут   соотносится   и  BFGD  являются как   Золотая   пропорция,   поэтому     прямоугольники  AFGC  Золотыми прямоугольниками. Можно построить Золотой прямоугольник с помощью циркуля.                    Рис. 13 Построение золотого прямоугольника с помощью циркуля Золотой     прямоугольник   обладает   многими   интересными   свойствами.   Если, например, от золотого прямоугольника АВСD  отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получится золотой прямоугольник EFВС и т.д. Рис. 14 Отсечение квадрата от золотого прямоугольника    3.2   Деление сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи.       Я рассмотрел  ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… и т.д. и взял   квадрат, 19 сторона которого  равна 34 см.                                                       Рис. 15  Деление сторон квадрата Площадь   квадрата   равна    S  = 34 ∙ 34 = 1156  см2.  Одну   сторону   квадрата разделила на две части, длины которых соответствуют двум числам ряда Фибоначчи. Это числа 13 и 21. 34 – 13 = 21 см. 34 + 13 = 55 см. Площадь получившегося прямоугольника равна   S = 21 ∙ 55 = 1155  см2. В изученной статье книги М. Гарднера «Математические чудеса и тайны» есть объяснение этого результата. Фибоначчи так сформулировал данное свойство: «При возведении   в   квадрат   любого   числа   этого   ряда   получается   произведение   двух соседних членов ряда, плюс или минус единица».      В данном примере сторона квадрата равна 34 см, а площадь 1156см2. Числа 13 см и 21 см – это длины сторон. Площадь равна 1155см2, получается число 1156 больше на одну единицу.      Анализируя результаты опыта, видно, что «недостаток» или «вырост» для любого ряда   чисел   Фибоначчи   равен   разности   между   квадратом   любого   их   числа   и 20 произведением соседних. 3.3  Закономерность Фибоначчи в живой природе. Рассмотрим строение некоторых видов животных и насекомых. Современные членистоногие очень разнообразны. У лангуста  пять пар ног, на хвосте пять перьев, брюшко делится на пять сегментов, а каждая нога состоит из пяти частей. Рис. 16   Лангуст Гусеницы многих насекомых членятся на 13 сегментов, например, у шкуроеда, мукоеда,   козявки   мавританской.   У   большинства   жуков­вредителей   гусеница членится на 13 сегментов. У некоторых насекомых брюшко состоит из восьми сегментов, имеется три пары конечностей, состоящих из восьми частей, а из ротового отверстия выходят восемь различных усикоподобных органов. У нашего хорошо знакомого комара — три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков — антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов. 21                                                                                           Рис. 17  Комар Вид черепахи на фоне покрытого трещинами такыра — явление удивительное. В   центре   панциря   большое   овальное   поле   с   крупными   сросшимися   роговыми пластинами, а по краям — кайма из более мелких пластинок.                                                          Рис. 18 Черепаха Если рассмотреть любую черепаху  —  от   болотной до гигантской морской, суповой   черепахи   —     увидим,   что   рисунок   на   панцире   у   них   аналогичный:     на овальном поле расположено 13 сросшихся роговых пластин — 5 пластин в центре и 8 — по краям, а на периферийной кайме около 21 пластинки (у чилийской черепахи по периферии   панциря   точно   21   пластина).   На   лапах   у   черепах   по   5   пальцев,   а позвоночный столб состоит из 34 позвонков. Нетрудно заметить, что все указанные величины   отвечают   числам   Фибоначчи.   Следовательно,   развитие   черепахи, формирование ее тела, членение целого на части осуществлялось  по закону ряда чисел Фибоначчи. 3.4  Анализ строения человека. 22 Найдём   пропорции   различных   частей   нашего   тела,   и   убедимся,   что   они действительно  составляют число, очень близкое к золотому сечению. Занесём данные измерения и вычисления в таблицы 1 и 2. Измерение ладони.  1.  Нам понадобится измерить: третью, вторую, первую фалангу пальцев, третью  кость кисти трех человека. 2. Оборудование:  школьная линейка,  фломастер.  3. Предмет обследования:  кисть руки. 4.  Измерение.    Для   начала  приготовим   ладони   для  измерения  и  последовательно выполняем действия:  4.1. На руках отметим границы сгиба пальцев рук  4.2. Измерим 1­ю фалангу пальцев 4.3. Аналогично диагностируем 2­ю и 3­ю фалангу пальцев 4.4. Фиксируем вдоль третьей кости кисти 4.5. Заполняем таблицу 1  после проведения всех действий  Таблица 1 Объекты измерений Александр, 6 лет Даниил, 12 лет Иван, 12 лет 1 фаланга,  2 фаланга, 3 фаланга, см 1,7 2,1 2,0 см 2,0 2,3 2,2 см 3,7 4,4 4,2 3­я кость кисти, см 5,7 6,7 6,5 Мы   видим,   что   с   возрастом,   по   мере   роста   человека   пропорциональные зависимости  сохраняются. Антропологические измерения человека.  1. Нам понадобится измерить  23 1.1 Расстояние от запястья до локтя/ от кончиков пальцев до запястья; 1.2 Расстояние от уровня плеча до макушки головы /от плеча до бровей; 1.3 Длина головы / ширина головы; 1.4 От макушки головы до пупка/от макушки головы до плеча; 1.5 От  бровей  до  середины  губ  /  от  бровей  до  основания  носа. 2. Оборудование:  школьная линейка,  рулетка, ручка.      3. Предмет обследования:  тело человека.     4. Результаты измерений заносим в таблицу 2. Александр, 6 лет Даниил,12 лет Иван, 12 лет Таблица 2                     Имя       Измере­ ния     Расстояние от  запястья до локтя/ от кончиков пальцев до  запястья Расстояние от уровня плеча до макушки  головы /от плеча до  бровей Длина головы /  ширина головы От макушки головы  до пупка/от макушки головы до плеча От  бровей  до   середины  губ  /  от   бровей  до   основания  носа   Видим, что пропорция   φ , которая равна отношению соседних чисел из ряда  Фибоначчи , проявляется и в человеческом теле. Из этого исследования вытекает, что в   окружающих   нас растениях, живых   проявляют   себя   числа   из организмах   и   даже   в   строении   человека последовательности  Фибоначчи,   что отражает  гармоничность их строения. 24 Заключение В своей исследовательской работе я описал числа Леонардо Фибоначчи, их закономерность   и   историю   создания.   Решая   задачи,   я   убедился   в   том,   что   ряд Фибоначчи   действительно   очень   важен   для   нас   в   изучении   математики. Последовательностью ряда Фибоначчи можно объяснить многое. На этом, я завершу свое исследование, хотя точно понимаю, что его можно продолжать также бесконечно, как и сам ряд чисел Фибоначчи. Связь с числами Фибоначчи прослеживается во многих областях науки.  Можно   проанализировать   создание   скрипки   и   произведения   великих композиторов, творение великих художников  и поэтов, строение Солнечной системы и астрологию.   Я абсолютно уверен , что математика – интереснейшая наука. Мне есть, что учить, исследовать, а значит я смогу реализовать свои цели и способности. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 25 1. Энциклопедия   для   детей.   Т.11.   Математика/   Глав.   Ред.   М.Д.Аксенова, ­М.:Аванта+, 1998. 2. Васютинский,   Н.   Золотая   пропорция/   Васютинский   Н,   Москва,   Молодая гвардия, 1990, — 238[2] с. — (Эврика). 3.   1001   вопрос   для   очень   умных   (с   подсказками   для   остальных).­   М.:РИПОЛ КЛАССИК, 2002. 4. М. Гарднер, «Математические чудеса и тайны», М. «Наука», 1986. 5. Интернет – ресурсы. 27