Исследовательская работа по теме "Древние и современные мультипликативные системы счисления"

«Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна …»
Пьер Симон Лаплас

Понятие системы счисления, мультипликативной системы счисления.
Древние мультипликативные системы счисления.
3. Современные мультипликативные системы счисления.
4.

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам, с помощью символов некоторого алфавита.

Символы алфавита, которые используют для записи чисел, называют цифрами.

Цель создания системы счисления― выработка наиболее удобного способа записи количественной информации

Виды систем счисления

значение цифры
не зависит от позиции в записи числа

значение цифры зависит от позиции в записи числа

Мультипликативные системы счисления

В таких системах счисления для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Все цифры здесь изображаются определенными символами.
Для того, чтобы "собрать" такое число используется умножение (multiplication англ.), из-за чего систему и назвали "мультипликативной".
Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета. Любое из действий арифметики и алгебры может быть выполнено легко. Для счета здесь не нужна большая сноровка.
Впервые такая система, вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае, потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали Арабской, и под этим именем она разошлась по всему миру. Так что, говоря "арабские числа" надо иметь в виду, ну, хотя бы индийские.

Вавилонская система
счисления

Китайская система
счисления

Система счисления индейцев Майя

Впервые идея позиционной системы счисления возникла в Древнем Вавилоне.

Числа в этой системе обозначались c помощью двух знаков: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин для обозначения десятка.
Основание системы является число 60, поэтому она называется шестидесятеричной.

Вавилонская система счисления

Китайская система счисления

Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы,
как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

10

100

1000

10 000

(показывают, какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде)

- 5 * 100+4* 10+8 = 548

Двадцатеричная система счисления
индейцев Майя

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
8 — восьмеричная;
10 — десятичная (используется повсеместно);
16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике, а также в шрифтах);
60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

"Алфавит" различных систем счисления

Перевод десятичных чисел в другие

Двоичная система: Алфавит: 0, 1Основание (количество цифр): 2

система счисления

4 3 2 1 0

= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу

6 5 4 3 2 1 0

0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102

0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1

0*0=0 0*1=1
1*0=0 1*1=1

система счисления

2 1 0

= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100

Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

100

{

{

{

{

1 5 68
+ 6 6 28

1

6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0

08

0

4

4 5 68
– 2 7 78

(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1

78

1

5

Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

107

система счисления

2 1 0

= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453

A,10

B,11

C,12

D,13

E,14

B

{

{

{

{

A 5 B16
+ C 7 E16

1 6 D 916

10 5 11
+ 12 7 14

11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6

9

6

1

С 5 B16
– A 7 E16

1 D D16

12 5 11
– 10 7 14

(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1

1

"Машинные" системы счисления

Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная

для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями;

представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

двоичная арифметика проще десятичной.



Недостаток двоичной системы —
быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: