Публикация является частью публикации:
Древние и современныемультипликативныесистемы счисления
«Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна …»
Пьер Симон Лаплас
Цель работы:изучение древних и современных мультипликативных систем счисления.
Основные задачи работы:1. Поиск информации о древних и современных мультипликативных системах счисления в различных источниках.
2. Изучение каждой системы счисления — правил составления чисел в них и выполнения арифмети-ческих операций над числами.
3. Сравнительный анализ изученных систем .
4. Вывод.
Рассматриваемые вопросы:
Понятие системы счисления, мультипликативной системы счисления.
Древние мультипликативные системы счисления.
3. Современные мультипликативные системы счисления.
4.
Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам, с помощью символов некоторого алфавита.
Символы алфавита, которые используют для записи чисел, называют цифрами.
Цель создания системы счисления― выработка наиболее удобного способа записи количественной информации
Виды систем счисления
Системы счисления
Адитивные (непозиционные)
Мультипликатив-ные (позиционные)
значение цифры
не зависит от позиции в записи числа
значение цифры зависит от позиции в записи числа
Мультипликативные системы счисления
Древние мультипликативные системы счисления
Вавилонская система
счисления
Китайская система
счисления
Система счисления индейцев Майя
Впервые идея позиционной системы счисления возникла в Древнем Вавилоне.
Числа в этой системе обозначались c помощью двух знаков: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин для обозначения десятка.
Основание системы является число 60, поэтому она называется шестидесятеричной.
Вавилонская система счисления
Китайская система счисления
Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы,
как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.
1 | 6 | ||
2 | 7 | ||
3 | 8 | ||
4 | 9 | ||
5 | 0 |
Служебные иероглифы
10
100
1000
10 000
Алфавит
(показывают, какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде)
- 5 * 100+4* 10+8 = 548
Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:
"Алфавит" различных систем счисления
Система счисления | Основание | Размерность алфавита | Цифры |
Двоичная | 2 | 0, 1 | |
Восьмеричная | 8 | 0,1,2,3,4,5,6,7 | |
Десятичная | 10 | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 | |
Шестнадцатеричная | 16 | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,T,F |
315
24
75
72
3
8
32
7
8
4
315
16
9
16
155
144
11
(В)
16
3
16
1
15
2
2
2
14
1
7
6
1
3
2
1
1
Перевод десятичных чисел в другие
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
39
1
Двоичная система счисления
Перевод целых чисел
Двоичная система: Алфавит: 0, 1Основание (количество цифр): 2
10 2
2 10
19 = 100112
система счисления
100112
4 3 2 1 0
разряды
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19
Метод подбора
10 2
наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу
разряды
64 = 26 = 10000002
75 = 64 + 13
13 = 8 + 5
8 = 23 = 10002
64 ≤ 75 < 128
26
27
5 = 4 + 1
4 = 22 = 1002
1 = 1
1 = 20 = 12
75 = 26 + 23 + 22 + 20 = 10011012
+
75
6 5 4 3 2 1 0
Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1
умножение
0*0=0 0*1=1
1*0=0 1*1=1
Восьмеричная система
8 10
100 = 1448
система счисления
1448
2 1 0
разряды
= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100
Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10 8
100
Перевод в двоичную и обратно
8
10
2
трудоемко
2 действия
8 = 23
17258 =
1 7 2 5
001
111
010
1012
{
{
{
{
Таблица восьмеричных чисел
Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:
1
3
5
7
Ответ: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1
Арифметические операции
сложение
1 5 68
+ 6 6 28
1
6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
1 в перенос
1 в перенос
08
0
4
1 в перенос
вычитание
4 5 68
– 2 7 78
(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1
заем
78
1
5
заем
Контрольные вопросы и задания по разделу «Восьмеричная система счисления»
Шестнадцатеричная система
Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10 16
16 10
107
107 = 6B16
система счисления
1C516
2 1 0
разряды
= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453
A,10
B,11
C,12
D,13
E,14
F 15
B
C
Перевод в двоичную систему
16
10
2
трудоемко
2 действия
16 = 24
7F1A16 =
7 F 1 A
0111
{
{
1111
0001
10102
{
{
Таблица шестнадцатеричных чисел
Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ: 10010111011112 = 12EF16
Перевод в восьмеричную и обратно
трудоемко
3DEA16 =
11 1101 1110 10102
16
10
8
2
Шаг 1. Перевести в двоичную систему:
Шаг 2. Разбить на триады:
Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:
011 110 111 101 0102
3DEA16 = 367528
Арифметические операции
сложение
A 5 B16
+ C 7 E16
1 6 D 916
10 5 11
+ 12 7 14
11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6
1 в перенос
1 в перенос
13
9
6
1
вычитание
С 5 B16
– A 7 E16
заем
1 D D16
12 5 11
– 10 7 14
(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1
заем
13
1
13
Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
16 | 2 | 16 | 2 |
0 | 0000 | 8 | 1000 |
1 | 0001 | 9 | 1001 |
2 | 0010 | А | 1010 |
3 | 0011 | В | 1011 |
4 | 0100 | С | 1100 |
5 | 0101 | D | 1101 |
6 | 0110 | Е | 1110 |
7 | 0111 | F | 1111 |
8 | 2 |
0 | 000 |
1 | 001 |
2 | 010 |
3 | 011 |
4 | 100 |
5 | 101 |
6 | 110 |
7 | 111 |
Двоично-шестнадцатеричная таблица
Двоично-восьмеричная таблица
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.