Исследовательская работа по теме "Древние и современные мультипликативные системы счисления"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №22 г.Иркутск Древние и современные позиционные системы счисления  Автор:  Жилина Наталья,  6 «Б» класс Руководитель:  Михайлова Людмила Борисовна г.Иркутск 1 2012 Оглавление Введение ………………………………………………………………. ………  3 I. Понятие позиционной системы счисления ………………………………...  3 II. Древние позиционные системы счисления………………………. ………. 4 1. Вавилонская система счисления ………………………………. ………. 4 2. Древнекитайская система счисления …………………………………….5 3. Система счисления индейцев Майя …………………………………….  5  III. Современные позиционные системы счисления ………………………… 6 1. Двоичная система счисления …………………………………………... 6 2. Восьмеричная система счисления……………………………………..   8 Заключение …................................................................................................       8 Приложения 2 Введение На   одном   из   занятий   математического   кружка   я   узнала,   что   сейчас   в большинстве   стран   мира,   несмотря   на   то,   что   люди   там   говорят   на   разных языках,   они,   как   и   мы,   пользуются   десятичной   или   позиционной   системой счисления   и   что   это   не   единственная   современная   позиционная   система. Оказывается   в   древности   люди   в   некоторых   странах   тоже   пользовались системами   счисления,   основанными   на   позиционном   принципе.   Какие   же позиционные   системы   счисления   были   в   древности?   Как   в   этих   системах записывались числа и выполнялись арифметические операции?  Почему сейчас не пользуются системами счисления, которые применяли в древности? Какие системы   счисления   используются   в  компьютерной   технике   и   почему?  Чтобы ответить на эти вопросы, я занялась исследованием. Целью   моей   исследовательской   работы   было   изучение   древних   и современных позиционных систем счисления. Из цели вытекают следующие задачи: ­  поиск   информации   о   древних   и   современных   позиционных   системах счисления в различных источниках;  ­  изучение каждой системы счисления — правил составления чисел в них и выполнения арифметических операций над числами. ­ выполнение сравнительного анализа изученных систем; ­ вывод о том, какая из систем является самой удобной для применения.  В моей работе были использованы следующие методы решения основных задач: анализ, синтез и сравнение. I. Понятие позиционной системы счисления Системой счисления  называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать  взаимно­однозначное соответствие между любым числом и его представлением   в   виде   совокупности   конечного   числа   символов.   Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами. Разнообразные   системы   счисления,   которые   существовали   раньше   и которые   используются   в   наше   время,   можно   разделить   на   непозиционные   и позиционные. Позиционной   называется такая система счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.  Французский   математик  Пьер   Симон   Лаплас  (1749—   1827)   такими словами оценил "открытие" позиционной системы счисления: "Мысль выражать все   числа   немногими   знаками,   придавая   им,   кроме   значения   но   форме,   еще значение по месту, настолько проста, что именно из­за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна". 3 Запись   чисел   в   позиционных   системах   счисления   осуществляется следующим   образом:    множество   цифр,   используемых   для   записи   чисел   в позиционных системах счисления, образует алфавит. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе –  позиция.  Сущность   позиционного   представления   чисел   отражается   в развернутой форме записи числа. Основные достоинства любой позиционной системы счисления –  простота выполнения   арифметических   операций   и   ограниченное   количество   символов, необходимых для записи любого числа.  II. Древние позиционные системы счисления Впервые такая система, вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае, потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали  Арабской, и под этим именем она разошлась по всему миру. Так что, говоря "арабские числа" надо иметь в виду, ну, хотя бы индийские. 1. Вавилонская шестидесятеричная система счисления В древнем Вавилоне примерно во  II  тысячелетие до нашей эры была такая система счисления ­ числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков:  для единицы, и   для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали   на   глиняных   табличках   палочками   треугольной   формы.   Эти   знаки повторялись нужное число раз, например   ­ 3;   ­ 20;   ­ 32;     ­ 59 Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними, например так записывается число 302, то есть 5*60+2                . А это 1*60*60+2*60+5 = 3725                      . Но   из­за   отсутствия   значка   для   обозначения   пропущенных   разрядов представление некоторых чисел в этой системе будет одинаковым, например, число 302, может быть и равно и 5*60*60 + 2 = 18002. Лишь в V веке до нашей эры был введен особый знак   , игравший роль нуля. Так выглядела запись числа 7203 = 2*60*60+3                . 4 Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3*60 записывалось так  , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (3*60*60), и т. д.   По этой причине и по причине громоздкости записи чисел было затруднено выполнение арифметических операций в данной системе. Шестидесятеричная   запись   целых   чисел   не   получила   широкого распространения   за   пределами   Ассиро­вавилонского   царства,   но шестидесятеричные   дроби   применяются   до   сих   пор   при   измерении   времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут. 2. Древнекитайская десятеричная система счисления Эта   система   одна   из   старейших   и   самых   прогрессивных,   поскольку   в   нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае. Для записи чисел использовался алфавит:                                                                    1            2           3           4            5           6             7           8            9         0  Числа   в   этой   системе,   так   же   как   и   у   нас   записывались   слева   направо,   от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого­то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда ­ кружок ­ аналог нашего нуля. Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов,   писавшихся   после   основного   иероглифа,  и  показывающих   какое значение принимает иероглиф­цифра в данном разряде.                                       10                100              1000           10 000                                                       Так записывались числа:      ­ 1*1 000 = 1000,    ­ 84.         ­ 9*10 000 + 6*1000 + 3*100 + 5 = 96 305. 3. Двадцатеричная система счисления индейцев Майя Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций  Европы  и  Азии.  Характерной  особенностью  ее  было  наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы. Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять). 1 9 5 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 15 19 0 или 20  Число   20   изображалось   из   двух   цифр,   ноль   и   один   наверху      и называлось   уиналу.   Записывались   числа   столбиком,   внизу   располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в результате получалась «этажерка» с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это обозначало, что   единиц   данного   разряда   нет.   Но,   если   хоть   одна   единица   была   в   этом разряде, то знак нуля исчезал, например, число 21, это будет     . Так же в нашей системе счисления: 10 – с нулем, 11 – без него. Вот несколько примеров чисел: – 61,             – 45,             – 103,                   – 280. III. Современные позиционные системы счисления Наиболее   употребляемыми   в   настоящее   время   позиционными   системами являются:  дискретной   математике,  информатике, (в • 2   —  двоичная  программировании);  • 8 — восьмеричная;  • 10 — десятичная (используется повсеместно);  • 16   —  шестнадцатеричная  (используется   в  программировании, информатике, а также в шрифтах);  • 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).  Рассмотрим некоторые из них. 1. Двоичная система счисления 6 Двоичная   система   счисления —   это  позиционная   система   счисления  с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов (1 и 0). 1.1. Перевод десятичных чисел в двоичную систему счисления. Алгоритм перевода: 1.     Последовательно   выполнять   деление   данного   числа   и   получаемых неполных частных на основание 2 до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя. 2.   Полученные   остатки,   являющиеся   цифрами   числа   в   новой   системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 3. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного. (Пример перевода смотри в приложении 1). 1.2. Перевод двоичных чисел в десятичную систему счисления Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.  Например,   требуется   перевести   двоичное   число  10110110  в   десятичное. Представим его в виде суммы степеней с основанием 2:  101101102  128+32+16+4+2 = 18210 (1∙27)+(0∙26)+(1∙25)+(1∙24)+(0∙23)+(1∙22)+(1∙21)+(0∙20) 1.3. Арифметические действия над двоичными числами =     = Арифметика   двоичной   системы   счисления   основана   на   использовании таблиц сложения, вычитания и умножения. (См.  приложение 1). Двоичное сложение выполняется по тем же правилам, что и десятичное, с той лишь разницей, что перенос в следующий разряд производиться после того, как сумма достигнет не десяти, а двух. (Смотри  приложение 1). Вычитание   в   двоичной   системе   выполняется   аналогично   вычитанию   в десятичной системе счисления. При необходимости, когда в некотором разряде приходится   вычитать   единицу   из   нуля,   занимается   единица   из   следующего старшего   разряда.   Если   в   следующем   разряде   нуль,   то   заем   делается   в ближайшем   старшем   разряде,   в   котором   стоит   единица.   При   этом   следует понимать, что занимаемая единица равна двум единицам данного разряда. (См. приложение 1). 7