Исследовательская работа: "Систематизация знаний при ФГОС".

Проектная работа. Кобаидзе Н. И. Систематизация знаний при ФГОС Содержание I. Вступление II. Основная часть III. Заключение. IV. Приложение. 1. Система требований к современному обобщающему уроку. 2. Особенности деятельностного подхода при систематизации знаний. 3. Контролируемые виды деятельности. 4. Систематизация знаний при ФГОС. 5. Структурный ­ не инвариантный анализ выбранного раздела. 6. О технологических картах и об учебниках. 7. Требования к современному учителю. 8. Повторительно­обобщающий урок по теме: «Действия с многочленами». Задачи. 9. 10. Показатели эффективности урока.  Выводы. Рейтинг – контроль. I. Вступление       Если умело учить, удивлять и усовершенствовать, то школьники и на современном уроке  почувствуют, что математика замечательна своей стройностью, точностью, связанностью всех её  частей числами. Процесс обучения должен быть творческим, тогда поиск приводит к новым  знаниям и их систематизации. Одним из проблемных вопросов обучения при ФГОС и является  вопрос о систематизации знаний при деятельностном подходе. Ведь очень часто на уроках  математики случается то, что ребята неплохо знают ту или иную тему, а выполнить задачу не  могут. Учащиеся не чувствуют связей между отдельными звеньями главы или раздела. Учителя в  этом случае должны придавать особое значение тематическому учёту (рейтинг­контролю) знаний  при проведении обобщающих уроков, контролируемым видам деятельности, которые, безусловно,  помогут привести знания в систему.       Система ­ это определённый порядок не только в расположении и связи частей полученных  знаний, но и в действиях (в деятельности).       Обобщающие уроки по систематизации знаний зачастую сводятся к тренировке и подготовке  учащихся к предстоящей контрольной работе. На таких уроках обычно повторяют теорию, а затем  поэтапно выполняют примеры и задачи. Но, помимо отдельных вопросов, необходимых для  выполнения контрольной, система знаний теряется и  по существу остаётся разрозненной.      В этом исследовании мы кратко остановимся на особенностях систематизации знаний при  деятельностном подходе. 1 Приведём примеры различных моделей (материал будет взят из содержания программы 7 – 8  классов), при выполнении которых школьники на мониторингах или тестировании показывают не  высокие результаты. Сформулируем требования к уровню подготовки школьников к ОГЭ (и к ЕГЭ) в среднем звене с использованием категорий (видов познавательной деятельности): «знать  /понимать», применять (использовать) приобретённые математические знания и умения в  дальнейшей практической деятельности и повседневной жизни и «рассуждения» (объяснения). Определим требования к современному обобщающему уроку, установим некоторые особенности  деятельностного подхода при систематизации знаний. Обозначим и разберём виды деятельности  при рейтинг­контроле. Определим  наибольший и наименьший процент (разброс) выполнения  заданий по этим видам деятельности учащихся, составим таблицы.    Приведём повторительно­обобщающий урок алгебры, проведённый в 7 классе, определим цели и  задачи, спроектируем структуру и выделим аспекты урока, используя технологии и методы  современного урока.   Урок создадим с учётом показателей его эффективности, проведём структурный анализ тем,  сделаем выводы. В приложении будут приведены некоторые примеры по виду деятельности –  «рассуждение». II. Систематизация знаний при ФГОС. 1. Система требований к современному обобщающему уроку.   «Современный урок ­  основа эффективного и качественного образования».       Какие бы инновации не вводились, только на уроке, как сотни и тысячи лет назад, встречаются  участники образовательного процесса: учитель и ученик. Как для учеников, так и для учителя, урок интересен тогда, когда он современен в самом широком понимании этого слова. Помимо этого,  если урок – современный, то он обязательно закладывает основу для будущего.      Цель современного урока должна быть конкретной и измеряемой. Цель можно отождествить  с результатом урока. Результатом урока является не успеваемость, не объем изученного  материала, а приобретаемые УУД учащихся (такие, как способность к действию, способность  применять знания, реализовывать собственные проекты, способность социального действия).  Вместе с этим, следует отметить, что такой подход на уроке не отрицает значения знаний, он  акцентирует внимание на способности использования полученных знаний и приведения их в  систему.       К новым образовательным целям урока относятся цели, которые учащиеся формулируют  самостоятельно и осознают их значимость лично для себя.  Это и есть первый аспект урока: мотивационно ­ целеполагающий.  Второй аспект современного урока – «Деятельностный».      Новым смыслом урока является решение проблем самими школьниками в процессе урока через  самостоятельную познавательную деятельность.  2 Современный урок отличается использованием деятельностных методов и приемов обучения  таких, как учебная дискуссия, диалог, видеообсуждение, деловые и ролевые игры, открытые  диспуты, мозговой штурм и т.д. Развитию УУД на уроке способствует применение современных  педагогических технологий: технология критического мышления, проектная деятельность,  исследовательская работа, дискуссионная технология, коллективная и индивидуальная  мыслительная деятельность. Важно, чтобы учитель не искажал технологию, используя из нее только отдельные приемы. Новый подход к образованию соответствует современному представлению об  уроке. Именно такой урок называется современным, где учитель вместе с учащимися на равных  ведет работу по поиску и отбору научного содержания знания, подлежащего усвоению и его  систематизации; только тогда знание становится личностно значимым, а ученик воспринимается  учителем как творец своего знания.  2. Особенности деятельностного подхода при систематизации знаний.  Выделяется раздел содержания математического курса (например, из 7­8 кл.), который   Определяется знание по изученному материалу, который обозначен в Российском стандарте  Обозначим особенности деятельностного подхода при систематизации знаний. ● присутствует в программе основной школы. ● общего образования (ФГОС). ● использованием категорий познавательной деятельности. ●  Формирование и развитие УУД.  Формулируется требование к уровню подготовки повторения и обобщения знаний с       Сначала коротко об усвоении знаний. Возьмём геометрию 7­го класса. 1 глава – «начальные  геометрические сведения». В этой главе три теоремы: свойства смежных углов, вертикальных  углов и теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.  Приедём 1 эпизод. Вышел ученик к доске и рассуждает по свойству о смежных углах.  Нарисовал на доске две взаимно­перпендикулярные прямые. Обозначил все углы буквами.  Расписал всю доску, что ∟AOB+∟BOC=180◦ , и так каждую пару, а потом каждый развёрнутый угол записал через 360◦ – 180◦ = 180◦. В конце пишет, что ∟AOB и ∟BOC ­ смежные, и что в  сумме они дают 180 градусов. Ему доказательство своё очень понравилось. Он удовлетворённо  вздохнул и сказал: ­ Оказывается, это так просто!  Он очень удивился, когда учитель стал ему  всё объяснять с начала. Ему казалось, что он так и говорил, как написано в учебнике. Он  пытался по­своему доказать, не понимая, что из чего следует, и на что опираться, много  жестикулировал.       В начальной школе они тоже учатся рассуждать. Но как?  Очень часто их спрашивают: ­ Как  ты думаешь? И ученик даёт правильный полный ответ: ­ Я думаю, что надо решить так.  Мне,  кажется, надо сделать так. А уже в пятом классе ему говорят: ­ Вот сначала подумай, а не гадай вслух, а потом отвечай. Вот и в этом случае, мальчику хотелось поговорить (рассуждать по­ своему), он – гуманитарий. А где же математика? Нет ни точности, ни рациональности, ни  логики.  Его трудно теперь переубедить, что его многословие в математике ни к чему не  приводит. Тогда он начинает заучивать, совершенно не понимая сути. Некоторые родители  жалуются, что учитель слишком категоричен, и дети не понимают его. Детей надо приучать к  3 самостоятельной работе, и чем раньше, тем лучше. В школе ребята не все, конечно, слышат  учителя, теперь новое усердие у многих ­  занятие с телефоном или осваивание компьютера.  Тогда для чего же и для кого  учитель детально и логически объяснял эти первые начальные  теоремы, понимая важность этого момента? Ведь в интернете есть всё, зачем что­то искать? Вот здесь и начинается кропотливая и трудная работа учителя по совместному добыванию знаний  вместе с учащимися, приучая их к самостоятельности.  Работая по ФГОС, не надо отрицать  полностью советскую классическую систему образования и воспитания, а надо использовать  полезные апробированные методы, средства, принципы и подходы, которые ведут к  поставленным новым целям. Трудно ребят отучать от решебников, но надо!  А некоторые  родители отсылают детей к репетиторам, ссылаясь на то, что сами не могут помочь.               Говорят, что мировое педагогическое сообщество постепенно отходит от проверки  воспроизведения учебного материала, центр тяжести переносится в область применения знаний  и проведения рассуждений (объяснений). Но ещё нет сплошной компьютеризации, и пока  не  вступило в действие применение и в школе искусственного интеллекта, то нам, учителям, что  остаётся? Конечно же, нам приходится на современном уроке  и при деятельностном подходе  приводить знания в систему и учить рассуждению. К примеру, приведём распределение времени тестирования по рейтинг­контролю (оценки  знаний и УУД) по видам познавательной деятельности на обобщающем уроке, который  проводился в 7 классе гимназии №5 (в сравнении с 2010г.) Виды познавательной ФГОС – 2010 г. деятельности Знание (понимание)  Применение (и УУД) Рассуждения в % 37 40 23 ФГОС – 2 2017 г. – в % 32 47 26 Видим, что разброс – небольшой, но низкий. Теперь остановимся на видах деятельности учителя и ученика на повторительно­обобщающем уроке 3. Контролируемые виды деятельности. 1вид деятельности – «знание» (понимание). К этому виду относят: воспроизведение,  распознавание, классификацию при систематизации, вычисления и измерения, извлечение  информации.  Затем на каждый вид приведём примеры, покажем, каких задач в учебниках недостаточно (и в  дальнейшем примеры будут приведены из программы ­  7­8 кл.), хотя они встречаются и  на  экзаменах ОГЭ, а потом и в ЕГЭ. 2 вид деятельности – это «применение» знаний, ориентирован для решения задач и ответа на  поставленные вопросы. В них предлагают либо знакомые учебные ситуации, либо проблемные  (несколько изменённые). Проблемная ситуация чем хороша? Она включает следующие  действия: 4 выбирать продуктивные способы (инструменты) решения проблемы (задачи); представлять   создавать математические модели (уравнения, неравенства, геометрические фигуры), строить  ● данные в форме таблиц, схем или графиков; ● диаграммы, моделирующие проблемную ситуацию, создавать другие пути решения или  эквивалентные формы представления (или конгруэнтные) данного математического объекта или  отношения; ● понятия и алгоритмы, формируя УУД учащихся.   выполнять действия или даже стратегии (пути) для решения проблем, используя известные  Третий вид деятельности – это «рассуждения» ­ ориентирован на применение знаний в новой  незнакомой ситуации. Это связано с решением сложных задач. Это творческий вид деятельности,  что умеют делать лишь немногие. Этот вид деятельности включает такие действия: ● ● ●  анализировать различные зависимости;  синтезировать различные элементы знания;  делать способы решения, в том числе альтернативные;  обобщать и обосновывать (приводить знания в систему, приводить аргументы для  ● обоснования путей и способов решения). Приведём на каждый вид деятельности – примеры по  программе 7­8 классов.  Начнём с задания из алгебры, в котором отмечался вид деятельности – « знать – понимать».  Писать, вычислять, преобразовывать ничего не надо было. Надо было только посмотреть на  рисунок (график) и дать ответ. Задание 1. На рисунке 1 изображены графики линейных уравнений с двумя переменными.  У какой прямой угловой коэффициент является положительным числом? Задание 2. На рисунке 2 изображены графики линейных функций. У какой прямой свободный член  принимает наибольшее значение?                                      Y              1                                                    3                        3                                                                                                                                      X                                     2                              1               2                                                         4                                                                                       4          Рис. 1                                                                                       Рис. 2           5 Задание 3. Даны графики линейных функций. y=a x+4 и y=c x – 2. Сравнить, какой из угловых  коэффициентов  « а»  или «с»  больше?            у                                                               (1)                   (2)                                                                                  ­2                    х                                                       Рис. 3      Школьники показывают низкие результаты именно при выполнении таких заданий.  И таких  заданий в учебнике недостаточно. Поэтому на обобщающих уроках надо давать такие  нестандартные задания, которые учат вниманию, а затем и пониманию.  Приведём некоторые примеры на виды деятельности: применение и рассуждение.      Вот по той же линейной функции: по известным данным они находят неизвестные  коэффициенты, распознают график линейной функции, умеют определять принадлежность точек  графику, находить точки пересечения графиков и т. д. Однако, серьёзные затруднения испытывают  в другом. Например, связать коэффициент «a» у различных линейных функций с расположением их графиков (сравнить углы наклона прямых к оси абсцисс). Иными словами, значения  коэффициентов, которые входят в формулу линейной функции, никак не связываются учащимися с наглядными образами (расположением графиков).  Возьмём другой, совсем простой пример.   Задание 4. Даны на рисунке ­  5 ёмкостей для воды. В какой из них вода занимает большую  часть её объёма? Рисунок дан. Стакан в 250 мл – налито ­ 100 мл. Кувшин в 950 мл – налито ­ 450  мл. Тонкий стакан в 250 мл – налито ­ 80 мл. Кофейник в 850 мл – налито ­500 мл воды. На житейском уровне проверяется владение разделом «Данные и вероятность». Конечно, понятно,  почему такое задание вызывает затруднение. На диаграмме данные записаны в непривычных для  учащихся единицах. Таких задач в учебниках тоже недостаточно. Теперь перейдём к задачам на рассуждение. С этим даже восьмиклассники справляются нелегко. Задача для 5 класса. Дана фигура на клетчатой бумаге. Чему равна её площадь?   6 Пятиклассники, подумав, сказали, что они не смогут найти площадь такой фигуры. В этой задаче  есть несколько подходов к объяснению ситуации, нужно было объяснить свою стратегию выбора. В  ОГЭ ­  таких задач достаточно. Надо учить размышлению при деятельностном подходе ­  в  проблемной ситуации, а не при воспроизведении материала.  Приведём пример задания из алгебры 7 –го класса, в котором проверялся вид деятельности –  «рассуждение». Учащиеся хуже всего справляются с этим видом деятельности. На обобщающем  уроке можно дать следующее задание с применением «метода проектов». Задание 5. Дана последовательность равносторонних треугольников. Длина первого треугольника равна 5см.  У каждого последующего треугольника длина стороны увеличивается на одно и то же число: m см.  Ниже изображены три первых треугольника этой последовательности. Каков будет периметр  треугольника с номером n?         5                   5 + m                     5+2m                                    …      ?               5                        5+m                                                                                                                                        1                                 2                           3                                                        n Задача хорошо согласуется с содержанием курса алгебры (действия над многочленами – 7 кл.). Я это давала, как творческий вид деятельности на обобщённом уроке (дифференцированно ­  на  карточках). Подобных задач в учебнике нет. Но мы обучаемся по ФГОС, поэтому отсутствие таких  задач лишает учащихся опыта проведения маленького исследования, в котором ученик наблюдает,  пробует и приводит знания в систему и обобщает. Теперь сравним разброс результатов выполнения заданий, проверяющих различные виды  деятельности. Наименьший разброс происходит при проверке знаний. Это обусловлено  значительным объёмом теоретического материала в программе по математике, что создаёт  реальную основу для выполнения ФГОС. Составим таблицу по проверке выполнения заданий. Наибольший и наименьший процент выполнения заданий по видам деятельности по годам  2010 и 2017г. Виды Знания Применение Рассуждения 7 Разделгод Числа Алгебра Данные и  вероятность Геометрия 2010 г. 30 43 33 57 2017 80 77 84 77 2010 28 30 18 11 2017 70 75 80 56 2010 8 14 12 9 2017 68 51 62 41 Разброс результатов выполнения заданий, в которых проверяется применение существенно больше,  чем в овладении знаний. Но есть и такие задания, которые выполняет лишь 10% семиклассников, не то, что систематизируют. Самый большой разброс результатов показали учащиеся при выполнении  заданий, требующих рассуждений (объяснений). Это особенно будет заметно и в 10 – 11 классах по  геометрии, если они не научаться рассуждению ­  в 7 – 8 классах. 4. Систематизация знаний.      К примеру, мы проводили  полугодовую контрольную работу по алгебре в 7 классе. Такие темы,  как «Основное свойство степени», «Степень произведения»…  мы повторяли на обобщающем  уроке. И в эту контрольную работу были включены задания из всех этих тем. Но, увы: учащиеся  перепутали алгоритмы преобразования выражений. Но семиклассники  изучали же эти учебные  вопросы не разобщено, а в системе, сравнивали, находили сходства и различия в связях между  величинами, а дальше почему­то эти знания неиспользованным грузом лежали  в их багаже. Знания  были сведены в логически обоснованную систему, но учитывая свойства памяти и  способности  каждого, многие не смогли их применить        Конечно, провести повторительно­обобщающий урок непросто. Учителю надо не только при  новых стандартах проанализировать содержание ­ « склад» учебного материала, подлежащего  обобщению, но и  выбрать вопросы наиболее существенные, образующие ядро знаний (и УУД),  выявить связи между отдельными проблемами внутри темы, её отношение к другим разделам  программы.       Немаловажное значение имеет и постановка цели такого урока – конкретной, а не такой:  «Повторить и обобщить знания». Здесь важно установить не характер учебного процесса, а выводы,  которые должны быть сделаны в ходе урока. Учитель должен чётко определить состав включаемых  в урок свойственных всей теме учебно­тренировочных упражнений.  Обязательно учитывая степень трудности – от элементарных образцов до применяемых в  различных условиях, наиболее типичных их вариаций; соблюдать преемственность.  Установить оптимальный объём практических работ, выделить в них задания с трудоёмкими  преобразованиями выражений, с логическими выводами и рассуждениями.      Надо, наконец, составить тесты и тексты заключительных проверочных работ, причём сделать  это, не завершая изучения темы, а именно приступая к ней: учитель обязан заранее представлять  себе – что должно дать учащимся изучение данной темы.       Вот, например, из каких соображений намечались учебные цели урока систематизации знаний по  алгебре в 7 классе на тему: «Преобразование выражений в многочлен стандартного вида».  (В этом  8 году у меня – 7­ые классы). Выбранная тема не образует самостоятельной главы. Она входит в  состав раздела «Многочлены». Составляющие её вопросы изучаются вместе с другими  подразделами программы. Как показывает практика, поэтому возникает настоятельная  необходимость обобщить этот материал. 5. Структурный – не инвариантный анализ выбранного раздела.      Тема состоит из таких основных вопросов, как понятие многочлена стандартного вида,  приведения к нему суммы и разности многочленов, произведения одночлена и многочлена,  произведения двух многочленов, преобразования с помощью тождеств сокращённого умножения.  Есть и дополнительный материал – преобразование суммы, разности и произведения  расположенных многочленов в многочлен стандартного вида. Материал используется для  упрощения уравнений, неравенств, вычисления числовых значений выражений, доказательства  тождеств и т. д. Он связан с предшествующими знаниями, включает в себя свойства степени с  натуральным показателем, стандартный вид одночлена, понятие о степени одночлена, правила  раскрытия скобок, приведение подобных слагаемых.      Отсюда и вытекает первая учебная цель повторительно­обобщающего урока: «Показать, какие  значения в курсе алгебры имеют преобразования выражений в многочлен стандартного вида. Дать  обзор содержания темы, отметить связи с предшествующим материалом». Этим мы осуществляем  преемственность и принципы систематичности и последовательности.      Далее в практической части темы также усматривается система и по уровню трудности, и по  характеру преобразования выражений. Одна часть упражнений связана лишь с разбором образцов:  алгоритмов, раскрытия скобок, приведения подобных членов, умножения многочленов, операций  по формулам. Здесь в основе заложена воспроизводящая, репродуктивная деятельность  школьников. Но эта часть заданий представляет первооснову каждого вопроса и образует сумму  конкретных знаний по всей теме в целом. Это довольно существенный фактор для обобщения  знаний.      Другая, развивающая умственные силы учеников часть упражнений более сложна. При  выполнении заданий такого типа навыки решения по образцам используются при различных  обстоятельствах. Приходится учитывать дополнительные условия, вскрывать новые связи между  данными и конечными результатами, что усложняет учебный процесс. Учащиеся об этом должны  знать и учиться ориентироваться в подобных ситуациях. Кроме того, из числа относящихся к теме  образцов выделяются те, которые содержат тождества сокращённого умножения, и наиболее  трудоёмкий образец – преобразование куба двучлена или выделение квадрата двучлена.  При  раскрытии куба и сворачивания в квадрат двучлена возможны совмещения операций и  наиболее рациональная, без промежуточных выкладок форма записи. Как известно, при  комментировании решений делаются ссылки на знания теории. Тема содержит 16 теоретических  положений. Было бы неправильно на итоговом уроке требовать от учеников строгого  воспроизведения всех формулировок. Возможен, например, такой подход: определение многочлена и правила тождественных преобразований в многочлен стандартного вида знать наизусть, а  формулировки типа «Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом многочлена»  9 достаточно понимать и воспроизводить по смыслу. С отдельными же понятиями нужно лишь  познакомиться, принять их к сведению – «двучлен, трёхчлен…» и т.д.       Всё это позволяет наметить другую, дидактическую цель урока: «Обобщить все случаи  преобразования выражений в многочлен стандартного вида, выделить элементарные и трудоёмкие  образцы, повторить правила и определения, обратить внимание на те из них, которые должны  воспроизводиться строго и точно». Видимо, нет необходимости продолжать структурный анализ взятой в исследовании в качестве  примера темы повторительно­обобщающего урока, разбираться в других немаловажных вопросах  методики его подготовки, организации и проведения. Казалось бы, что в педагогической копилке (в интернет – ресурсах) должен был бы быть соответствующий материал в помощь учителю.  Но, к сожалению, случается так, что в интернет ­ копилках учитель не находит методических  советов для проведения повторительно­обобщающих уроков. 6. О технологических картах к урокам – по систематизации знаний и об учебниках.        Конечно, в интернете можно найти по обобщающим урокам ­ технологические карты,  расписанные к различным учебникам, но они не решают возникшие проблемы. Ведь, к каждому  классу надо подходить индивидуально и деятельно, поэтому не копировать надо чужие  технологические карты, а руководствоваться своим, чаще всего небогатым опытом при новых  стандартах. Да и учебники не решают до конца проблему. В них хорошо систематизируется  текущий учебный материал. Бесспорно, сведение порознь изученных вопросов программы воедино  осуществляется в последующих заданиях. В частности, обобщение свойств степени с натуральным  показателем, о чём говорилось в начале работы, проводится уже на очередных уроках, при  знакомстве с приведением одночлена к стандартному виду, после чего они являются составной  частью всех дальнейших упражнений. Об этом следовало бы учителю знать. Владение программой в перспективе позволяет избегать многих методических ошибок и заблаговременно принимать меры  к преодолению трудностей обучения. И всё же, на наш взгляд, только этим обойтись нельзя.  Почему? Об учебниках.       Возьмём, к примеру, учебник алгебры того же 7 класса (автор Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин).  Он состоит из восьми глав. Они не содержат итоговых сводных заданий. Да и дополнительные  упражнения к ним тоже составлены тематически и используются главным образом как материал  для дифференцированного подхода в обучении, для расширения и углубления знаний тех или иных  вопросов программы, а не для их систематизации. Учителю самому приходится составлять  необходимые комплексы учебно­тренировочных упражнений для повторительно­обобщающих  уроков. Нет и общего отдела, из которого можно было бы найти материал для проведения таких уроков в  конце четверти или за учебный год. 10 Только в старых пособиях для учителя по алгебре 7 класса в примерном тематическом плане такие уроки назывались резервными (т. е. по усмотрению учителя – это и были уроки повторения,  обобщения и систематизации знаний, умений и навыков). Не все ученики с одинаковой эффективностью осваивают учебную программу и по новым  стандартам. В нашей рассылке приведены рекомендации и требования  для учителей, которые  хотят помочь учащимся привести знания в систему на современном уроке. Обобщающий урок необходимо рассматривать как звено продуманной системы работы учителя, где решаются задачи обучения, воспитания и развития личности.  7. В новых Стандартах сформулированы следующие требования  к современному учителю: во­первых, это профессионал, который  ­ демонстрирует универсальные и предметные способы действий; ­ инициирует действия учащихся; ­ консультирует и корректирует их действия; ­ находит способы включения в работу каждого ученика; ­ создаёт условия для приобретения детьми жизненного опыта. Во­вторых, это учитель, применяющий развивающие технологии. В­третьих, современный учитель обладает информационной компетентностью.  Формирование и развитие УУД на уроках математики возможно при соблюдении учителем  следующих условий: А) Целостность и системность организации образовательного процесса. Б) Учёт возрастных, психологических особенностей учащихся. В) Правильное определение объекта изучения, тщательный отбор содержания урока. Г) Продуманное сочетание индивидуальных и групповых форм работы. Д) Использование проблемно­исследовательской технологии.  8. Повторительно­обобщающий урок по систематизации знаний по теме: «Многочлены и  действия над ними».  Приведём для примера разработку технологической карты урока алгебры в 7 классе  по теме: «Многочлены и действия над ними» (учебник Ш. А. Алимов). Технологическая карта приводится в поэтапной форме. Дата Предмет Деятельность учителя Три пути введут к знанию: путь размышления – это путь самый Деятельность уч­ся УУД Д./задание 11 благородный, путь подражания – это самый лёгкий и путь опыта – самый горький. (Конфуций). Алгебра, 7класс. Тема: «Многочлены и действия над ними». Цель: Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся при  выполнении арифметических действий над многочленами.  Совершенствование знаний. Применяемая технология ­ Технология развития критического мышления ­ (ТРКМ). И технологии: игровые, рефлексивные, здоровьесберегающие,  информационные   Технология развития критического мышления ­  (ТРКМ) помогает развивать мыслительные  навыки учеников (учатся сравнивать, критически оценивать, делать выводы, приводить знания в  систему, совершенствовать УУД, которые пригодятся им не только в учёбе, но и в обычной жизни). ТРКМ актуальна в работе любого учителя. Задачи: 1. Систематизировать материал по данной теме. 2. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения  практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень. 3. Развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность,  сообразительность. 4. Выработать критерии оценки своей работы, умение анализировать проделанную работу и  адекватно её оценивать (я провожу рейтинг­контроль). Планируемые результаты:  Предметные:  Расширение и систематизация понятийной базы по теме –  «Многочлены» за счет включения в неё подтем:  • умножение многочлена на одночлен; • отработка правила умножения; • решение уравнений. Повторение, закрепление и обобщение материала: • основное свойство степеней; • умножение одночленов; • умножение одночлена на многочлен; • приведение многочлена к стандартному виду; •  раскрытие скобок; 12 • приведение подобных слагаемых.  • умножение многочлена на многочлен; Метапредметные результаты:            представлять конкретное содержание и сообщать его в устной и письменной форме; вступать в диалог, а также участвовать в коллективном обсуждении проблем; умение аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию; использование адекватных языковых средств для отображения в форме речевых  высказываний своих чувств, мыслей, побуждений и иных составляющих внутреннего мира; речевое отображение (описание, объяснение) учеником содержания совершаемых действий в форме речевых значений с целью ориентировки (планирование, контроль, оценка)  предметно­практической и иной деятельности, как в форме громкой социализированной  речи, так и в форме внутренней речи (внутреннего говорения в ходе усвоения новых  умственных действий и понятий); поиск и выделение необходимой информации; умение структурировать знания; выдвижение гипотез и их обоснование; умение наблюдать; умение обобщать и систематизировать полученные данные; умение формулировать познавательную цель; осознанное управление своим поведением и деятельностью, направленной на достижение  поставленных целей; способность преодолевать трудности и препятствия; сверяют и  сравнивают свой способ действия с эталоном; понимают возможность различных точек зрения, не совпадающих с собственной. Личностные результаты:    проявляют дисциплинированность, трудолюбие и упорство в достижении поставленных  целей; умение оказывать помощь своим сверстникам, находить с ними общий язык;  формирование активности; развитие коммуникативных способностей обучающихся;  формирование у обучающихся познавательного интереса к предмету. Использованные методы обучения:     объяснительно­иллюстративный (наглядный);  частично – поисковый; 13  проблемный. Приемы обучения:       постановка учебных задач;   демонстрация образца выполнения практических действий; воспроизведение показанного  образца действий;  самостоятельное выполнение заданий под контролем учителя;  взаимопомощь и взаимоконтроль.  Личностно­ориентированный подход в обучении:   Учёт возрастных, физиологических, психологических и индивидуальных особенностей  обучающихся;  Каждый ребенок  уникален и индивидуален. Распределение обучающихся в соответствии с  уровнем их знаний  и способностей.   Графический диктант. (Групповая работа по вариантам – по таблице). Содержание урока:  1. Организационный этап.   2.Определение темы.  Вступительное слово учителя, в котором он подчёркивает значение  материала изученных тем, ставит цель и задачи. Сообщает план урока. (По заданной таблице  определяют тему урока). Проверка домашнего задания. В это время 3 ученика получают карточки – аналоги д/з.). 3. Выполнение учащимися индивидуально и коллективно различного рода устных и письменных  заданий обобщающего и систематизирующего характера, вырабатывающих умения, формирующих  понятийные знания на основе обобщения фактов, явлений.  ● Устная работа. «Опросник». Найдите ошибку. Вставьте пропущенное число. ● 4. Игра с действиями – стих. Практическая работа. (В тетрадях ­ для практических работ). Проверка и корректировка (при необходимости). 5. Рефлексия. (Формулирование выводов по проработанному материалу).  6. Минутка занимательности. (Картинная галерея). 7. Разноуровневая самостоятельная работа (Приведение знаний в систему).  Оценка результатов урока и рейтинг­контроль по работам учащихся. 8. Рефлексия. Заполнение метод – листов: ­ «Знаю, но умею ли применять?» 9. Подведение итогов урока поиска.  Д/з. (Самостоятельно составить примеры и выполнить  действия и операции над многочленами, занести в таблицу и распределить их по пройденным  темам.).   10. Творческое задание. Создание опор. Ход урока. 1. Организационный этап.  14 Рефлексия на начало урока: ­ выберете из предложенных рисунков ­ рисунок для себя.  «Мне хорошо, я готов к уроку. Мне безразлично. Я тревожусь, все ли у меня получится?» На этапе рефлексии: учитель в системе обучает детей оценивать свою готовность обнаруживать  незнания, находить причины затруднений, определять результат своей деятельности. ⨁⊝⊗ ? Деятельность учителя. ⊕⊝⊗ Деятельность уч­ся.         ­ знаю          ­ умею применять УУД Р                          К П КК Л  Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, умений и навыков учащихся по пройденной  теме; урок творческого поиска по повторению. Методы обучения: практический, репродуктивный, частично­поисковый, наглядный, проблемный (создание проблемной ситуации). Оборудование: Компьютер с   проектором, карточки с заданиями, рейтинг ­ листы и метод ­ листы. . 1. Определение темы: «Многочлены и действия над ними». 1. Задание. Из центра квадрата ходом шахматного коня отгадайте тему урока. Цель: Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков  учащихся при выполнении арифметических действии над  многочленами. Развитие познавательного интереса к предмету, активизация мыслительной деятельности, развитие  творческого мышления, развитие навыков самостоятельности. 15 Е И Н О Ы Л А М М Т Н Й Я Н Г Н Е О С И  Ч  Д В И  По таблице  определяют тему. Для того, чтобы  сформировать у  учащихся любое  УУД необходимо: Сформировать  первичный опыт  выполнения этого  действия и мотивацию; ­ Сформировать понимание алгоритма выполнения УУД, основываясь на имеющийся опыт; ­ Сформировать умение выполнять УУД посредством включения его в практику, организовать  самоконтроль его выполнения. I. 1 Задание.   Определяют тему урока и называют её. УУД Регулятивные Познавательные Коммуникативные 16 Личностные II. Итак, молодцы! Тема нашего урока: «Многочлены  и действия над ними». 2. Индивидуальная работа. Проверка домашнего задания.  Скорректировать выполнение д/з. Проверяют друг у друга д/з. Дифференцированная  работа по карточкам; задания, аналогичные дом. упражнениям. Получают карточки – аналоги д/з и решают. Регулятивные Познавательные Коммуникативные Личностные III. Карточки. 1. Упростить выражение: 1 ученик: 3х+5+….=8х­11  3 ( х  3 ху  3 у )  3 2( х  3 у )  3 ( х  )2 ху  2ученик: 7а+3+…=2а+8    3 ( х  3 ху  3 у )  3 2( х  3 у )  3 ( х  )2 ху  17 3 ученик: 7­9у+…=15­2у  3 ( х  3 ху  3 у )  3 2( х  3 у )  3 ( х  )2 ху  2. Найдите ошибку!  1. 2. 3. 4. 5. 6. 6 a  ( x  3 b  )1 6 a  x 3 b  1 5 y  2( bax  ) 5 y  2 bax    2 5 x  2 12 y  21  x 2  2 6 y  1 3 x  2 18 y 2 6(2 x x  ) y 12 2  x 2 yx  16 y 2( x  3 2y  )1  32 yx  48 y 2  16 y 2 ab 3  b 6  abb (3 )3 3. Вынести общий множитель. 1 ученик:  26 yx 3 x  ­15a³b²c – 10a²b²c² – 5ab²c³= 2 ученик: 15 y  25 y  3 14 x  21 2 yx 2  4 70 x  3 ученик: ab  22ba  18 43 8 ba  12 22 ba  16 34 ba  IV. 3. Найдите ошибку: 1. 3х (х­3) = 3х2­6х; 2. 2х+3ху = х(2+у); 3. (8+3х)(2х­у) = 16х­8у+6х+3ху; 4. х(а+с) ­2 (а+с) = (а+с) (х+2).  Графический диктант.  5. 1 вариант 1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей.  2. Целое выражение, которое содержит произведение чисел и букв, называют одночленом. 3. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными  членами.  4. В результате умножения многочлена на одночлен получается одночлен.  4. Вставьте пропущенное  выражение: 1. 5х(2х2­х) = 10х3­…; 2. ­3ау­12у = ­ 3у (а+…); 3. (а­5) (11­в) = 11а ­ ав­55+…; 4. (в­с) – а (с­в) = (в­с) (…). Если вы согласны с моим утверждением, то ставите: ­  «+», если нет «­». 5.Многочлен, в котором отсутствуют подобные члены и каждый из них одночлен стандартного  вида, называется многочленом стандартного вида.                  Познавательные Личностные Регулятивные Коммуникативные 19 Вариант ­ 1  Ответ:­++­+ Проверяют друг  у друга ответы. V. 2 вариант. 1. Буквенный множитель одночлена, записанного  в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.  2.Сумма показателей степеней всех букв входящих  в одночлен называемый степенью одночлена.  3.Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется одночленом 4. В результате умножения одночлена на многочлен получается многочлен 5.Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак “+”, скобки надо опустить, сохранив знак  каждого члена, который был заключен в скобки.  2 вариант Ответ:­+­++ УУД Регулятивные Познавательные Коммуникативные Личностные VI. 6.  Игра с действиями. Я многочлен от слова «много»            Во мне всегда звучит тревога: Как одночлены все собрать, В какую сумму записать? VII. Живу всегда с друзьями в  мире, Люблю играть в примеры с ними, А знаки «плюсы», «минусы»,  «умножить» Всегда готовы не только играть, но  исследовать тоже. 20 VIII. Пример – на  исследование  а) Разложить многочлен на  множители: 35а2 – 21ах+ 30ас – 18хс. Как вы считаете, каким образом  знак влияет на многочлен?  Сможем ли мы разложить  многочлен, поменяв знаки?  Проведите исследование и  сделайте вывод. Каким образом  их можно менять, а каким нельзя. б) поменяйте знак у каждого  члена, разложите на множители,  сделайте вывод; ­ 35а2 + 21ах ­ 30ас + 18хс = ( ­  35а2 +   IX. +21ах )  ­ (30ас – 18хс) =  X. ­ 7а (5а – 3х) ­6с (5а – 3х) = ­ (5а  – 3х) . (7а + 6с); XI. в) измените все знаки, кроме  одного, разложите на множители, сделайте вывод; XII. г) измените только два  знака, разложите на множители,  сделайте вывод. XIII. Исследовательская работа.  (Работа в парах). XIV. XV. XVI. XVII. Вывод: да, можно вынести за скобки (­1). XVIII. Пример 2. Далее  практическая работа творческого  характера с самопроверкой: XIX. Вместо коэффициентов  многочлена XX. XXI. ах3 +вх2+сх+d запишите числа: 3, 5, 6, 10 так, чтобы  полученный многочлен можно было  разложить на множители. XXII. Ответ: всего можно  составить 8 таких многочленов. 21 7.  «Минутка занимательности». XXIII. Деловая игра.  XXIV. XXV. XXVI. Вариант­1 (8+3х) и (2у­1) ­ ⨁⊝⊗ (8+3х) + (2у­1 ) = 8 + 3х+  2у­1 = 3х+2у+7 XXVII. (8+3х) ­ (2у­1) = 8 + 3х ­  2у­1 = 3х­2у+9 XXVIII. (8+3х)(2у­1) = 16у­ 8+6ху­ 3х. «5» ­ 3 правильных ответа, «4» ­ 3 верных ответа, «3» ­ 1 верный ответ.     XXIX.   XXX. XXXI. Вариант ­ 2 (5+3х) и ( у – 2 ) ­  ⨁⊝⊗ 5+3х) + ( у – 2 ) = 5+3х +у – 2 =  3х+у+3 XXXII. (5+3х) ­ ( у – 2 ) = 5+3х – у +2  =3х­у+7 (5+3х)(у – 2 ) = 5у­10+3ху­6х XXXIII. XXXIV. Критерии оценки:    «5» ­ 3 правильных ответа, «4» ­ 3 верных ответа, «3» ­ 1 верный ответ. XXXV. XXXVI. Проверка и коррекция.   Выводы. 22 XXXVII. XXXVIII.8 задание. XXXIX.  Разноуровневая  дифференцированная работа. XL. XLI. XLII. XLIII. XLIV. (На карточках). 9 задание.  (Транзитная работа:  начинает – слабый  ученик, проверяет –   сильный). XLV.   3 уровень.  Вариант 1 XLVI. Приведите многочлен к  стандартному виду: XLVII. XLVIII. XLIX. L. 7( х yx2  yxy  3 x 2  6 y  2 5 x  7 y Выполните действия: 2  5 х  )3 2 7( х  )5 Картинная галерея (после  LVI. деловой игры). Портреты: (Ковалевская,   LVII. Ломоносов,  Евклид,  Декарт,  Гаусс)  LVIII. LIX. 4а9х5 3а3х3 а3х3 ­3а3х3 –а3х3  – определить степень многочлена? 1.Кому принадлежат эти  строки? «Математика ­ царица  всех наук»?  ( Гаусс К.Ф.) 2. Кому принадлежат эти  LX. строки? «Математику уже  затем учить надо, что она ум в  порядок приводит»?  ( М.В.Ломоносов)  3.Кому принадлежат эти  LXI. строки? «Нельзя быть  математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе»?  (С.В.Ковалевская) LXII. LI. 12( 4 х  3 )9 х  2 2( х  3 10 х  13 х 4 )  LII. LIII. LIV. Выполните умножение: knm  ) (  ( tpx  )3 LV. Решите уравнение:  (3х+5)+(8х+1)=17. LXIII. 23 CXXIX. Образец карточки                     В ­1                 CXXX. В ­2 1. 1С * 2В          3С * 4Д 2. 1В + 3Д          3А + 3С 3. 4С – 2Д          1А – 4Д 4. 3А * 2В          4В * 5Д 5. 2С : 1В           4Д : 4А CXXXI. 1. Умножение  одночленов. Таблица 1. CXXXII. 2. Сумма многочленов.  Таблица 2. CXXXIII. 3. Разность многочленов.  Таблица 2. CXXXIV. 4. Умножение  многочленов. Таблица 2. CXXXV. 5. Деление одночлена на  одночлен. Таблица1. CXXXVI. Таблицы взяты из опор  учащихся. LXIV. LXV. 10 задание. Творческая  работа, составленная  учащимися, дома.  (№1 и №5 – устно). LXVI.LXVII. LXVIII. В А LXIX. С LXX. Д LXXII. LXXIII. LXXI. 5 а 1 LXXIV. 2ав3 LXXV. 8а3в2 LXXX. ­ 5\ 6а 2в5 LXXXV. 1 2\ 3а 2в2 XC. 0,3а5в 4 LXXVIII. LXXVII. LXXVI. ­ а 2 LXXIX. ­3а2в LXXXI. LXXXII. LXXXIII. ­ ­ 3 LXXXIV. ­ 1 , 2 а 2 в 3 LXXXVI. 4 LXXXVII. а LXXXVIII. 1\ ­ LXXXIX. 2 , 5 а 4 в XCI. XCII. ­ XCIII. 2\ XCIV. 0,6а XCV. 1\6а3в 24 5 в 5 3 XCVI. Таблица  №1. XCVII. XCVIII.XCIX. А C. В CI. С CII. Д CVII. 3с + 2 CXII. 2с + 1 CVI. 2с +   3 CXI. с ­ 2 CIII. 1 CIV. с2 ­ 5с + 6 CV. 3с ­ 2 CVIII. 2 CIX. с2 + 5с ­ 6 CXIII. 3 CXIV. с2 ­ 3с + 4 CXVIII. 4 CXIX. 2с2 ­ 5с CX. 2с ­ 1 CXV. с + 5 CXX. 4с  +   5 CXVI. 5с ­ 1 CXVII. 5с + 1 CXXI. 5с ­ 4 CXXII. 4с ­ 5 CXXIII. 5 CXXIV. 1\2с2 + с ­ 2 CXXV. 2с ­ 7 CXXVI. 2с CXXVII. 7с ­ 2 +   7 CXXVIII.Таблица №2. 25 CXXXVII. CXXXVIII. Оценка результатов урока и рейтинг­контроль по работам учащихся.  Проставляют себе баллы в листы ­  рейтинг – контроля. CXXXIX. Подведение итога урока. CXL. Рефлексия на конец урока ­  выберете из предложенных рисунков.  Делают отметки в метод – листах. CXLI. «Мне хорошо, я был готов к уроку. Мне безразлично Я тревожусь, все ли у  меня  CXLII. получилось?» CXLIII.  Ребята, в переводе с греческого  ­  многочисленный, то есть многочлен имеет ещё одно название полином.  ­ Ребята, на каждую букву этого слова  подберите ответ на один лишь вопрос. CXLIV. ­  Каков был урок?       ­  Молодцы! CXLV. CLXIV. CLXV. Выводы: CXLVI. CXLVII. CXLVIII. Или ­  CXLIX. Урок был:  Познавательный, CL. CLI. CLII. CLIII. CLIV. CLV. CLVI. CLVII. Основательный, Любознательный, Изучающий, Нужный, Обобщающий. Модульно – системный! Урок был, ­ ответили  дети, ­ (Повторяли), CLVIII. CLIX. (Ошибались), (Латали прорехи в  знаниях), CLX. CLXI. (Исследовали), (Находили верное  решение), CLXII. Мыслили. CLXIII. CLXVI. Обобщающий урок направлен на приведение знаний в систему, на  формирование и развитие УУД, на достижение личностных результатов; урок  строится в рамках системно ­ деятельностного подхода развивает у учащихся  способности самостоятельно ставить учебную задачу и выполнять её;  CLXVII. Показатели эффективности урока: CLXVIII. 1. Проектирование и конструирование на уроке среды развития  обучающихся. CLXIX. 2. Реализация на уроке содержания учебного материала как системы  научных понятий. CLXX. 3.Дифференциация и индивидуализация учебного материала по степени  сложности и по объёму. CLXXI. 4. Выбор формы: обобщение и систематизация. 5. Оснащение урока. CLXXII. 6. Создание условий для активизации учебно­познавательной деятельности. CLXXIII. 7. Реализация компонентов учебной деятельности. CLXXIV. 8. Формирование УУД – регулятивных, познавательных, коммуникативных,  26 личностных. CLXXV. 9. Построение урока с учётом индивидуальных, возрастных,  психологических и физиологических особенностей. CLXXVI. 10. Умение создать атмосферу доверия, психологической безопасности,  одобрения, поддержки, сотрудничества, здоровьесбережения. CLXXVII.Рейтинг – контроль по систематизации знаний (часть таблицы).  CLXXVIII. Список класса (7 – е, гимназии №5, г. Владикавказ, РСО – А). CLXXXI. Во 2­ой четверти 2017г. – оценка CLXXXII. 4 5 4 4 4 4 4 5 3 CLXXIX. CLXXX. исок Сп Ба Го К К К К То Ч Щ Ру сиева Т. баев Г. улаева А. озырева М. очиев А. оцоева К. гоева В. умаков В. ербак Ю. баева З.  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. CLXXXIII. Степень владения школьниками проверяемых видов познавательной деятельности  для приведения знаний в систему (в %). Таблица. CLXXXIV. № ­  учащегося в  списке CLXXXV. 1 CXCIII. CXCIV. CXCII. CXCI. CLXXXIX. CLXXXVIII. CLXXXVII. CXC. CLXXXVI. 1 9 8 7 5 3 6 4 2 27 CXCV. 1 вид  деятельности – знание  (понимание) темы (в%) CXCVI. 8 CXCVII. 8 CXCVIII. 9 CC. CXCIX. 7 7 CCI. 5 CCIV. CCV. CCIII. CCII. 2 9 7 5 CCVI. 2 вид  деятельности –  применение и усвоение CCXVII. 3 вид  деятельности –  рассуждения  (объяснение ситуации) CCXXVIII. Развитие  и формирование УУД на конкретном уроке CCVIII. CCVII. 7 6 CCXIII. CCXII. CCXI. CCX. CCIX. 4 4 6 6 7 CCXIV. 5 CCXVI. CCXV. 2 7 CCXVIII. 3 CCXIX. 3 CCXX. CCXXI. 2 2 CCXXII. 3 CCXXIII. 1 CCXXIV. 1 CCXXV. 2 CCXXVI. 4 CCXXVII. 1 CCXXIX. 4 CCXXX. 5 CCXXXI. 5 CCXXXII. 4 CCXXXV. CCXXXVII. CCXXXIII. 8 4 6 CCXXXVI. CCXXXVIII. CCXXXIV. 2 4 4 CCXXXIX. Анализируя и сравнивая не только эти данные конкретного урока, мы  отметим, что наши школьники могут успешно, например, записать формулы, т. е. знать  формально, но не могут их применять. В нашей таблице самый большой разброс результатов  показали школьники при выполнении более трудоёмких заданий, т. е. при рассуждениях. CCXL.  Заключение       Известно, что успех обучения и при новых стандартах зависит от мастерства педагога,  его знаний, таланта, энергии, творчества и  самокритической оценки своего труда, от  системы требований педагогической деятельности.   CCXLI.      Математика, как и всякая наука – прекрасна. На уроках математики мы  воображаем, мыслим, решаем, исследуем, систематизируем и делаем выводы. «Везде  исследуйте всечасно, что есть велико и прекрасно». М. В. Ломоносов.   Надо обучать такому мышлению, чтобы творческие пути формирования  универсальных  учебных действий, нравственное развитие предметных и метапредметных знаний с  педагогикой не расходились. Но за всем этим в школе стоит ученик в единстве со своим  интеллектом, которого ещё учит учитель и приводит знания  «индивида» в систему,  подводит их к всеобщему опыту, а не все знающий робот с искусственным интеллектом.  Каждый педагог уверен в том, что знания — это лишь малая часть того, что так необходимо дать ребенку, а затем привести их в систему, овладев универсальными учебными действиями в школе, на уроке.  CCXLII.  Основная же задача — помочь личности гармонично развиться, раскрыть творческий  потенциал и активно включиться в жизнь социума.  CCXLIII. Приложение. 28 CCXLIV. Опросник правил по алгебре. Тема: «Многочлены и действия над ними». 1. Что называется многочленом? 2. Что называется одночленом? 3. Что называется коэффициентом одночлена? 4. Какие одночлены называются подобными? 5. Какие виды многочленов вы знаете?» 6. Что можно определить у многочлена? 7. Что такое степень многочлена? 8. Сформулировать правило приведения подобных членов. 9. А какие действия мы можем осуществить с данными многочленами? Назовите правила  сложения, вычитания,  умножения и деления многочлена на одночлен. 10. Тождества сокращённого умножения изучим позднее. 29 11. Приложение 2.  Приведём некоторые опоры с примерами, которые составили учащиеся. 12. 13. 14. Литература 15. 1. Л. Денищева, г. Москва. Статья. Как владеют наши школьники контролируемыми видами  деятельности. Математика / ноябрь / 2017. Стр. 20 16. 2. Кобаидзе Н. И. Методическое пособие. Нестандартные уроки по математике. 2007 г. 17. 18.Учитель математики МБОУ гимназии№5 имени Луначарского А. В. – Кобаидзе Н. И. 2018  г.