Итерационные методы решения СЛАУ

1

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Лекция 1 Итерационные методы решения СЛАУ

2

Пусть дана СЛАУ (невырожденная):


(1)


В матричном виде: AX = B.

3

В матричном виде СЛАУ запишем так: AX = B, где


, ,

4

Предполагая, что диагональные элементы aii  0, выразим:
x1 - через первое уравнение системы,
x2 - через второе уравнение системы и так далее.
В результате получим эквивалент-ную систему:

5

Обозначим новые коэффициенты:

6

Тогда в матричном виде система может быть записана
Или:


(2)

7

8

Далее любое (k+1)-е приближение вычисляют по формуле:

где .

9

Если последовательность прибли-жений имеет предел
, то этот предел является решением системы, т.к.

(по свойствам пределов), т.е.

Если сумма модулей элементов строк или сумма модулей элементов столбцов матрицы  меньше единицы, то процесс итерации для данной СЛАУ сходится к единственному решению независимо от выбора начального вектора.

11

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации.
В методе Зейделя при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi учитываются найденные ранее k-е приближения неизвестных x1, x2, … ,хi-1.

12

Пусть дана СЛАУ, приведённая к нормальному виду:

13

Выбираем произвольно начальное приближение корней и подставляем в первое уравнение системы:

14

Полученное первое приближение под-ставляем во второе уравнение системы (остальные - нулевые приближения):


Полученные первые приближения
и подставляем в третье уравнение системы и т.д.

15

Таким образом, предполагая, что k-е приближения корней известны, по методу Зейделя строим (k+1)-е приближения по формуле:

16

Метод Зейделя часто приводит к более быстрой сходимости, чем метод итерации. Можно дать оценку числа итераций N, необходимых для достижения заданной точности :
,где
n - размерность квадратной матрицы из коэффициентов при неизвестных.

17

Алгоритм в методе Зейделя прост и удобен для вычислений. Он не требует никаких действий с матрицей . Ранее вычисленные на текущей итерации компоненты сразу же учас-твуют в расчетах наряду с компонен-тами и, таким образом не требуют дополнительного резерва памяти, что существенно при решении больших систем.

18

ПРИМЕР 1

Методом Зейделя решить систему :

19

Решение:

Приведем систему к нормальному виду:

20

Продолжение решения:

За нулевые приближения возьмем соответствующие значения свободных членов:


Строим итерации по методу Зейделя.

21

Продолжение решения:

Первые приближения:

22

Продолжение решения:

Вторые приближения:



и так далее.
На восьмой итерации (четвертый знак не меняется):