КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1

Тема 1. КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

2

Кинематика (от греческого слова kinema – движение) – раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их массы и действующих на них сил.
Динамика (от греческого dynamis – сила) изучает движения тел в связи с теми причинами, которые обуславливают это движение.

Статика (от греческого statike – равновесие) изучает условия равновесия тел.
Поскольку равновесие – есть частный случай движения, законы статики являются естественным следствием законов динамики и в данном курсе не изучаются.

5

Без знаний механики невозможно представить себе развитие современного машиностроения.

Развитие механики, как науки, начиналось с III в. до н.э., когда древнегреческий ученый Архимед (287 – 312 до н.э.) сформулировал закон рычага и законы равновесия плавающих тел.

7

8

Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564 – 1642) и окончательно сформулированы английским физиком И. Ньютоном (1643 – 1727).
Механика Галилея и Ньютона называется классической, т.к. она рассматривает движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме.

9

Галилео Галилей
(Galileo Galilei)

10

Исаак Ньютон
(Isaac Newton)

11

Альберт Эйнштейн
(Albert Einstein)

12

Всякое движение относительно, поэтому для описания движения необходимо условиться, относительно какого другого тела будет отсчитываться перемещение данного тела. Выбранное для этой цели тело называют телом отсчета.
Практически, для описания движения приходится связывать с телом отсчета систему координат (декартова, сферическая, цилиндрическая и т.д.).

13

Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом (отсчёта) по отношению к которому изучается движение.
Движения тела, как и материи, вообще не может быть вне времени и пространства. Материя, пространство и время неразрывно связаны между собой (нет пространства без материи и времени и наоборот).

14

Пространство трехмерно, поэтому «естественной» системой координат является декартова или прямоугольная система координат, которой мы в основном и будем пользоваться.

В декартовой системе координат, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y, z или радиусом-вектором , проведенным из начала координат в данную точку

15

Рисунок 1.1

При движении материальной точки её координаты с течением времени изменяются.
В общем случае движение материальной точки определяется скалярными или векторными уравнениями:

16

Кинематические уравнения движения материальной точки:


Эти уравнения эквивалентны векторному уравнению

где х, у, z – проекции радиуса-вектора

на оси координат, а 𝒊𝒊, j, k – единичные векторы (орты), направленные по соответствующим осям, причем

17

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы i.

Если материальная точка движется в пространстве, то она имеет три степени свободы i=3 (координаты х, у, z). Если материальная точка движется на плоскости – две степени свободы i=2, а если вдоль линии – одну степень свободы i=1.

18

Положение точки А в пространстве можно задать с помощью радиуса-вектора , проведенного из точки отсчета О или начала координат

19

При движении точки А из точки 1 в точку 2 её радиус-вектор изменяется и по величине, и по направлению, т.е. зависит от времени t.
Геометрическое место точек конца радиуса-вектора при перемещении материальной точки называется траекторией точки.
Длина траектории есть путь Δs.

20

Пусть за время t точка А переместилась из точки 1 в точку 2.
Вектор перемещения есть приращение за время t

(1.3.1)

(1.3.2)

(1.3.3)

21

Если точка движется поступательно по прямой, то приращение равно пути s.

22

Средний вектор скорости определяется как отношение вектора перемещения ко времени t, за
которое это перемещение произошло



Вектор
совпадает с
направлением
вектора

23

Мгновенная скорость в точке 1:

24

При t  0 т.е. на бесконечно малом участке траектории
S = r (перемещение совпадает с траекторией) В этом случае мгновенную скорость можно выразить через скалярную величину – путь:

25

Так вычислять скорость проще, т.к. S – скаляр

Отобразим на рисунке произвольную зависимость ѵ(t)

Рисунок 1.2

– площадь бесконечно узкого прямоугольника. Чтобы вычислить весь путь S за время t, надо сложить площади всех прямоугольников(провести интегрирование).

26

(1.3.5)

27

Если материальная точка участвует в нескольких движениях, то ее результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности:

28

Так как


Тогда

Таким образом, скорость тоже подчиняется принципу независимости движения.
В дальнейшем мы подробнее рассмотрим принцип независимости действия сил.

29

В физике существует общий принцип, который называется
принцип суперпозиции
результирующий эффект сложного процесса взаимодействия представля-ет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга.
Принцип суперпозиции играет большую роль во многих разделах физики и техники.

30

31

32

33

34

35

36

В векторной форме уравнения записываются легко и кратко. Но для практических вычислений нужно знать проекции вектора на оси координат выбранной системы отсчета.

Положение точки А
задается
радиусом-вектором .
Спроецируем вектор
на оси – x, y, z.

37

38

Понятно, что координаты х, y, z зависят от времени t, т.е. x(t), y(t), z(t). Зная зависимость этих координат от времени (закон движения точки) можно найти в каждый момент времени скорость точки.

Проекция вектора скорости на ось x
равна:

39

Проекции вектора скорости на оси равны:

где i, j, k единичные векторы – орты.

(1.3.6)

Модуль вектора скорости:

Так как вектор, то

40

В произвольном случае движения скорость не остается постоянной. Быстрота изменения скорости по величине и по направлению характеризуется ускорением:

(1.3.7)

Ускорение величина векторная.
При криволинейном движении изменяется и по времени, и по направлению. В какую сторону? С какой скоростью? Из выражения (1.3.7) на эти вопросы не ответишь.

41

Введем единичный вектор (рисунок 1.9), связанный с точкой 1 и направленный по касательной к траектории движения точки 1 (векторы и в точке 1 совпадают).
Тогда можно записать:

Где – модуль вектора скорости.

Рисунок 1.9

42

Найдем общее ускорение (как производную):

(1.3.8)

Получили два слагаемых ускорения:

– тангенциальное ускорение, совпадающее с направлени-
ем в данной точке.

– нормальное ускорение или центростремительное.

43

44

r(t)

45

или по модулю

-показывает изменение вектора скорости по величине:

- если , то направлено в ту же сторону, что и вектор т.е. ускоренное движение;

- если , то направлено в противоположную
сторону , т.е. замедленное движение;

- при , – , движение
с постоянной по модулю скоростью.

46

Рассмотрим подробнее второе слагаемое уравнения

т.е. нормальное ускорение:

Быстрота изменения направления касательной к траектории опреде-ляется скоростью движения точки по криволинейной траектории и степенью искривленности траектории.

47

Радиус кривизны r
– радиус такой окружности, которая сливается с кривой в данной точке на бесконечно малом ее участке dS.

Степень искривленности плоской кривой характеризуется кривизной С.

48

в любой точке траектории движение материальной точки можно рассматривать как вращательное движение по окружности, (с касательным aτ и нормальным an ускорениями)

49

Скорость изменения направления касательной можно выразить как произведение скорости изменения угла на единичный вектор , показывающий направление изменения угла.
Т.о. – единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной в данной точке, т.е. по радиусу кривизны к центру кривизны.

50

отсюда

– нормальное ускорение или центростремительное
т.к. направлено оно к центру кривизны, перпендикулярно

51

Центростремительным называют ускорение – когда движение происходит по окружности. А когда движение происходит по произвольной кривой – говорят, нормальное ускорение, перпендикулярное к касательной в любой точке траектории.

52

Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости

aτ aτ aτ

Суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:

53

Модуль общего ускорения равен:

an an an

a a a

Рассмотрим разные случаи движения:

– равномерное прямоли- нейное движение;

– равноускоренное прямолинейное движение;

– равномерное движение по окружности.

54

ar

vr

55

aτ aτ aτ

a a a

an an an

Вспомним несколько полезных формул

При равномерном движении

При движении с постоянным ускорением

56

По определению

отсюда


или, так как

Следовательно

Обратная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному значению ускорения a(t) найти скорость точки и восстановить траекторию движения r(t).

Различают пять видов движения твердого тела:
- поступательное;
- вращательное вокруг неподвижной оси;
- плоское;
- вращательное вокруг неподвижной точки;
- свободное.
Поступательное движение и вращательное движение вокруг оси – основные виды движения твердого тела.
Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному их этих основных видов или к их совокупности.

58

Поступательное движение – это такое движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению и при этом, все точки твердого тела совершают равные перемещения.

59

Скорости и ускорения всех точек твердого тела в данный момент времени t одинаковы. Это позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки, т.е. к задаче кинематики материальной точки, подробно рассмотренной в прошлом разделе.

60

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой , называемой осью вращения (рисунок 1.3).
Из определения вращательного движения ясно, что понятие вращательного движения для материальной точки неприемлемо.

Рисунок 1.3

61

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения.

Пусть абсолютно твердое
тело вращается вокруг
неподвижной оси ОО'

Рисунок 1.4

62

Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время точка М совершает элементарное перемещение
При том же самом угле поворота другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояния, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого тела,
ни первая производная

, ни вторая производная

не могут служить
характеристикой движения
всего твердого тела.

63

Угол поворота характеризует переме-щение всего тела за время dt (угловой путь)

Удобно ввести – вектор элементарного поворота тела, численно равный и, направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы из его конца мы видели вращение ,происходящим против часовой стрелки (направление вектора и направление вращения связаны
правилом буравчика).

64

Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:

Угловой скоростью называется вектор , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении ( и
всегда направлены в одну сторону).

65

Связь линейной и угловой скорости

Пусть – линейная скорость точки М.
За промежуток времени dt точка М проходит путь В то же время
(центральный угол). Тогда,

66

В векторной форме -

Вектор ортогонален к векторам и
и направлен в ту же сторону, что и векторное произведение

67

- Связь линейной и угловой скорости