ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.
Комплексные числа
Комплексные числа
Комплексные числа
Комплексные числа
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ
ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Комплексные числа. Геометрическая
интерпретация комплексных чисел.
Действительная и мнимая часть, модуль
и аргумент комплексного числа.
Алгебраическая и тригонометрическая
формы записи комплексных чисел.
Арифметические действия над
комплексными числами в разных формах
записи. Комплексно сопряженные числа.
Возведение в натуральную степень
(формула Муавра). Основная теорема
алгебры.
Понятие
комплексного числа
Х+А=В недостаточно положительных
чисел
Х+5=2
А∙Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на
множестве рац.чисел
Х²=2 или Х³=5 корни иррациональные
числа
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Действительные числа
Решение квадратных
уравнений
А · Х²+ В ·Х+ С =0
При D<0 действительных корней
нет
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
+
Действительные
числа
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
+
Действительные
числа
Комплексные числа
Вид комплексного
числа
Х²=1
Х=i корень уравнения
i комплексное число, такое , что
i²=1
А + В· i
ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО
ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ
А + В· i
i²= 1
А и В – действительные числа
i некоторый символ , такой, что
А – действительная часть
В – мнимая часть
i – мнимая единица
Геометрическая
интерпретация
комплексного числа
Комплексно
сопряженные числа.
Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕZ= А + В· i
(Z) = Z
Модуль комплексного
числа
Z = A + B i=
А
2 В
2
Тригонометрическая форма
комплексного числа
Z =r
φ- аргумент аргумент
комплексного числа
Z=r cos φ + i Z sin φ =
= r (cos φ+ i sin φ)
Для Z=0 аргумент не
определяется
Т.к Z =r =
А
2 В
2
Z= А + В· i= cosφ+i sinφ
А
2 В
2
А
2 В
2
cos
A
2
A
2
B
sin
В
2
A
2
B
tg
B
A
Сложение и умножение
комплексных чисел
Геометрическая
форма
Алгебраическая
форма
Сумма
(A+iB) + (C+iD)=
(A+C)+(B+D)I
Произведение
(A+iB) · (C+iD)=
(AC-BD)+(AD+BC)i
Произведение
Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)
Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)
Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+
φ2)]
Если Z 1= Z2, то получим
Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²=
r² (cos2 φ+ i sin 2φ)
Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos
φ+
i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)
Формула Муавра
(cos
sin
i
r
(cos
sin
n
)
n
Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и
любого натурального числа n
i
n
)]
[
n
Z
n
r
Число Z называется корнем степени n из
числа ω (обозначается ), если
(*)
nZ
Из данного определения вытекает, что
nZ
n
каждое решение уравнения
является корнем степени n из числа ω.
Z= r (cos φ+ i sin φ)
Z
k
n
[cos(
k
)],
Zk
n
n
r
r
(cos
n
nи
или
r
n
)
sin
i
Zk
ω= ρ(cos ψ+ i sin
ψ)
(cos
)
i
n
sin
,2
где
k
2
n
n
2
n
n
Вторая формула Муавра
Zk
sin(
k
,
k
)
i
,
2
n
n
Вторая формула Муавра определяет все
корни двучленного уравнения степени n
n
Za
n
где
Za
n
1
a
a
,...,
n
n
1
0
1
Za
1
...
заданные
0
a
0
копмплексн
ые
числа
.
Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в
множестве комплексных чисел по крайне мере один корень
Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в
множестве комплексных чисел ровно n-корней.
Пример:
Решить уравнение:
3
x
8
88
x
r
3
r
(cos
тогда
2
3
i
k
(cos(
)
2
(cos
)
i
sin
3
i
8)3sin
3
2
k
k
,
Zk
sin(
k
2
)),
Zk
(cos(
k
2
)
i
sin(
k
2
)),
Zk
r
r
3
8
2
k
2
3
x
2
(cos
k
...2,1,0
i
sin
k
2
3
)),
Zk
x
1
(cos
2
1)
3
i
3
i
sin
3
2
)
3
3
4
)
3
3
2
3
3
4
3
3
))
))
2
1
3
i
x
2
x
3
(cos(
2
i
sin(
(cos(
2
i
sin(
Свойства сложения и
умножения
Переместительное свойство:
Z1 + Z2 = Z1 +Z2
Z1 · Z2 = Z1 ·Z2
Сочетательное свойство:
(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +
(Z2+Z3)
Распределительные свойство:
Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3
(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)
Геометрическое изображение
суммы комплексных чисел
Вычитание и деление
комплексных чисел
Вычитание – операция, обратная
сложению:
Z+ Z2 = Z1
Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(-
Z2 )Z= Z1 - Z2 –разность
Деление – операция, обратная
умножению:
Разделив обе части на Z2 получим:
Z · Z2 = Z1
Z
Z
Z
1
2
Z
2
0
Геометрическое изображение
разности комплексных чисел
Примеры:
Найти разность и частное
комплексных чисел i
43
Zиi
54
Z
1
2
Решение:
Z
2
Z
Z
2
1
Z
i
)43(
1
4534
16
25
i
)54(
i
5344
16
25
i
1
32
41
1
41
i
Литература
• Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров
Ю.В. и др/ Алгебра и начала анализа
10-11кл, Просвещение 2005г,
• Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/
Алгебра и начала анализа 10-11кл,
Просвещение 2005г
• НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др.
Алгебра и начала анализа 10-11кл,
Просвещение 2005г
презентация комплексные числа.ppt
