Комплексные числа

Комплексные числа Комплексные числа Комплексные числа Комплексные числа

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Понятие комплексного числа Х+А=В ­   недостаточно положительных                  чисел Х+5=2 А∙Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на                    множестве рац.чисел Х²=2 или Х³=5  ­ корни ­ иррациональные                             числа

Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа

Решение квадратных уравнений А · Х²+ В ·Х+ С =0 При D<0 действительных корней нет Рациональные числа Иррациональные числа + Действительные числа

Рациональные числа Иррациональные числа + Действительные числа Комплексные числа

Вид комплексного числа Х²=­1 Х=i      ­корень уравнения i­ комплексное число, такое , что i²=­1 А + В· i ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

А + В· i i²= ­1 А и В – действительные числа i­ некоторый символ , такой, что А – действительная часть В – мнимая часть i – мнимая единица

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексно сопряженные числа. Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕZ= А + В· i (Z) = Z Модуль комплексного числа Z = A + B i= А  2 В 2

Тригонометрическая форма комплексного числа Z =r φ- аргумент аргумент комплексного числа Z=r cos φ + i Z sin φ = = r (cos φ+ i sin φ) Для Z=0 аргумент не определяется

Т.к Z =r = А  2 В 2 Z= А + В· i=                cosφ+i              sinφ  А  2 В 2 А  2 В 2 cos  A  2 A 2 B sin  В  2 A 2 B tg  B A

Сложение и умножение комплексных чисел Геометрическая форма Алгебраическая форма Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC)i Произведение Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1) Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2) Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)]

Если Z 1= Z2, то получим Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ) Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+ i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ) Формула Муавра    (cos sin i r    (cos sin n ) n Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n   i n )]  [ n Z n r

Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*) nZ Из данного определения вытекает, что nZ n  каждое решение уравнения является корнем степени n из числа ω. Z= r (cos φ+ i sin φ) Z k  n  [cos( k )],  Zk n n r r  (cos    n nи или r  n  ) sin   i  Zk ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)    (cos ) i n sin   ,2 где k  2 n n  2 n n Вторая формула Муавра   Zk sin(   k , k ) i ,  2 n n 

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n n  Za n где  Za n 1 a a ,..., n n  1  0 1 Za 1  ... заданные  0 a 0 копмплексн ые числа . Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.

Пример: Решить уравнение: 3  x 8  88  x r  3 r (cos тогда  2 3   i    k (cos( ) 2    (cos ) i sin     3 i 8)3sin   3 2 k  k , Zk  sin(  k  2 )), Zk  (cos(  k  2 )  i sin(  k  2 )), Zk  r r 3  8  2  k  2 3 x  2 (cos k  ...2,1,0  i sin  k  2 3 )), Zk  x 1  (cos 2 1)  3  i  3  i  sin  3  2 ) 3 3  4 ) 3 3     2 3 3  4 3 3  )) ))  2  1 3  i x 2 x 3  (cos( 2 i sin(  (cos( 2  i sin(

Свойства сложения и умножения Переместительное свойство: Z1 + Z2 = Z1 +Z2 Z1 · Z2 = Z1 ·Z2 Сочетательное свойство: (Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 + (Z2+Z3) Распределительные свойство: Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3 (Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Вычитание и деление комплексных чисел Вычитание – операция, обратная сложению: Z+ Z2 = Z1 Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )Z= Z1 - Z2 –разность Деление – операция, обратная умножению: Разделив обе части на Z2 получим: Z · Z2 = Z1 Z  Z Z 1 2 Z 2  0

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Примеры: Найти разность и частное комплексных чисел i  43 Zиi  54 Z 1 2 Решение: Z 2 Z Z 2 1  Z i )43( 1  4534 16 25     i  )54( i  5344 16 25   i 1 32  41 1 41 i

Литература • Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г, • Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г • НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г