Комплект оценочных средств по математике для СПО

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  «ВЛАДИВОСТОКСКИЙ МОРСКОЙ ТЕХНИКУМ» Комплект оценочных средств  для проведения промежуточной аттестации по дисциплине                 ЕН   .01. Математика____ (название) По специальности среднего профессионального образования базовой подготовки            180403   «Судовождение»_  __    (код, название) Форма проведения оценочной процедуры: Экзамен г. Владивосток     2014 г. 2 Комплект   контрольно­оценочных   средств   (КОС)   разработан   на   основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования   по   специальности   СПО   180403   «Судовождение»     программы   учебной дисциплины ЕН.01. Математика. Разработчик (и): ___НОУ    СПО    ВМТ___               ____преподаватель____        _____А. С. Кантаева____ (место работы)                                                           (занимаемая должность)                                      (инициалы, фамилия) _______________________               _____________________        _____________________ (место работы)                                                           (занимаемая должность)                                      (инициалы, фамилия) «Утверждаю» Зам. Директора по учебно­воспитательной работе ___________________    О. А. Гречухина «____»_____________ 2014 г. Одобрено на заседании цикловой методической комиссии Общепрофессиональных и математических дисциплин Протокол  № _____  от «____»_____________ 2014 г. Председатель ЦМК   ______________  И. Б. Горовая Одобрено Методическим советом Протокол  № _____  от «____»_____________ 2014 г. 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. 2. 3. 4. умений, контролируемых при текущем контроле Общие положения Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке 2.1. Формы текущей и промежуточной аттестации по учебной дисциплине 2.2. Распределение типов контрольных заданий по элементам знаний и  2.3. Распределение типов контрольных заданий по элементам знаний и  умений, контролируемых при промежуточной (итоговой) аттестации Оценка освоения учебной дисциплины 3.1. Задания для обучающихся 3.2. Пакет экзаменатора 3.3. Критерии оценки Перечень используемых материалов, информационных источников 4 4 6 7 8 9 9 29 32 32 4 1. Общие положения В   результате   освоения   учебной   дисциплины    ЕН.01.   Математика  обучающийся должен   обладать   предусмотренными   ФГОС   по   специальности   СПО   180405 «Эксплуатация   судовых   энергетических   установок»     умениями   и   знаниями,   которые формируют профессиональную компетенцию, и общими компетенциями: ОК 2.   Способность   организовывать   собственную   деятельность,   выбирать   типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. ОК 3. Способность принимать решения, в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность. ОК 4. Способность осуществлять поиск и использование информации, необходимой для   эффективного   выполнения   профессиональных   задач,   профессионального   и личностного развития. ОК 5.   Способность   использовать   информационно­коммуникационные   технологии   в профессиональной деятельности. ПК 1.3.   Обеспечивать   использование   и   техническую   эксплуатацию   технических средств судовождения и судовых систем связи. ПК 3.1.   Планировать   и   обеспечивать   безопасную   погрузку,   размещение,   крепление груза и уход за ним в течение рейса и выгрузки.  При проведении текущего контроля и промежуточной аттестации используются следующие   формы   и   методы   контроля:   устный   опрос,   письменный   контроль   (тест, самостоятельная   работа),   практические   работы,   выполнение   домашней   работы, индивидуально­дифференцированные  карточки.  Формой аттестации по учебной дисциплине является комплексный экзамен. 2. Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке Результаты обучения (освоенные умения, усвоенные знания)   Уметь: У 1 решать задачи  математического анализа. ОК 2.  ОК 3. ОК 4. Основные показатели оценки результатов Таблица 1 Форма контроля и оценивания         находить предел функции в точке,  раскрывать неопределенность вида  0/0, ∞/∞; вычислять производные функций,  используя формулы  дифференцирования; находить угловые коэффициенты  касательной к графику функции; находить скорость изменения  функции в точке; находить дифференциал функции; проводить исследование и  построение графиков многочленов; находить наименьшее и наибольшее значения функции. вычислять интегралы методом  интегрирования и методом      домашняя работа устный опрос практическая работа индивидуально­ дифференцирова нные карточки 5 У 2 применять  различные методы для  решения обыкновенных  дифференциальных  уравнений и их систем. ОК 2.  ОК 3.  ОК 4 ОК 5.  У 3 решать  вероятностные и  статистические задачи. ОК 2.  ОК 3.  ОК 4 ОК 5. Знать: З 1 основные понятия и  методы  математического  анализа, дискретной  математики,  теории  вероятности и  математической  статистики.            подстановки; вычислять определенный интеграл  по формуле Ньютона­Лейбница,  методом подстановки; находить площади криволинейных  трапеций; восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по  ускорению и т.д. решать дифференциальные  уравнения первого порядка  решать дифференциальные  уравнения с разделяющими  переменными; решать простейшие  дифференциальные уравнения  второго порядка. вычислять вероятность события. вычислять математическое  ожидание дискретной случайной  величины, дисперсию дискретной  случайной величины; применять основные численные  методы для решения прикладных  задач. первый и второй замечательные  пределы; определение производной, ее  физический и геометрический  смысл; таблицу производных;   формулы производных суммы,  произведения, частного; основные методы интегрирования; таблицу простейших интегралов;    формулу Ньютона­Лейбница;  свойства определенного и  неопределенного интегралов  определение дифференциального  уравнения;  определение общего и частного             домашняя работа устный опрос практическая работа индивидуально­ дифференцирова нные карточки домашняя работа устный опрос практическая работа домашняя работа устный опрос практическая работа индивидуально­ дифференцирова нные карточки 6 решений дифференциальных  уравнений, их геометрической  интерпретации;  методы решения обыкновенных  дифференциальных уравнений с  разделенными переменными, с  разделяющими переменными,  линейных дифференциальных  уравнений первого порядка;  методы решения  дифференциальных уравнений  второго порядка с постоянными  коэффициентами;  определение   числового   ряда, частичной суммы ряда;  признаки сходимости ряда.  классическое вероятности;   определение  основные понятия комбинаторики;  основные формулы вычисления  математического ожидания  дискретной случайной величины,  дисперсии дискретной случайной  величины;     домашняя работа устный опрос практическая работа индивидуально­ дифференцирова нные карточки З 2 основные численные методы решения  прикладных задач. 2.1.  Формы текущей и промежуточной аттестации по учебной дисциплине1 Наименование элемента умений или знаний У 1 решать задачи  математического анализа У 2 применять различные  методы для решения  обыкновенных  дифференциальных уравнений  и их систем. У 3 решать вероятностные и  статистические задачи. Виды аттестации Таблица 2 Текущий контроль домашняя работа, устный опрос, практическая работа,  индивидуально­ дифференцированные  карточки домашняя работа, устный опрос, практическая работа,  индивидуально­ дифференцированные  карточки домашняя работа, устный опрос, практическая работа,  индивидуально­ дифференцированные  карточки Промежуточная (итоговая) аттестация экзаменационный  вопрос, практическое задание практическое задание экзаменационный  вопрос, практическое задание 1 Формы контроля (расчётные, тестовые, проектные задания, контрольная работа и  т.д.) 7 З 1 основные понятия и методы математического анализа,  дискретной математики,   теории вероятности и  математической статистики. З 2 основные численные  методы решения прикладных  задач. домашняя работа, устный опрос, практическая работа,  индивидуально­ дифференцированные  карточки экзаменационный  вопрос, практическое задание домашняя работа, устный опрос, практическая работа экзаменационный вопрос 8 2.2.   Распределение   типов   контрольных   заданий   по   элементам   знаний   и   умений, контролируемых при текущем контроле2 Таблица 3 Содержание учебного материала по программе УД Тип контрольного задания У 1 У 2 У 3 З 1 З 2 УО, ДР, ИДК, ПР 5­7 УО, ДР, ИДК, ПР 1­4 Раздел 1. Математический анализ. Тема 1.1. Дифференциальное и  интегральное исчисление. Функция  одной независимой переменной.  Пределы. Тема 1.2. Обыкновенные  дифференциальные уравнения. Задачи, приводящие к дифференциальным  уравнениям. Общее и частное решение. Дифференциальные уравнения с  разделяющимися переменными. Тема 1.3. Ряды. Числовые ряды.  Сходимость и расходимость рядов.  Признаки сходимости.  Знакопеременные ряды. Абсолютная и  условная сходимость. Раздел 2. Основные численные методы. Тема 2.1. Понятия события и  вероятности события. Достоверные и  невозможные события. Классическое  определение вероятности события.  Теоремы сложения и умножения  вероятностей. Раздел 3.  Основы теории вероятностей и математической статистики Тема 3.1. Понятие события и  вероятности события. Достоверные и  невозможные события. Теоремы  сложения и умножения вероятностей. УО, ДР, ИДК, ПР 8­9 УО, ДР, ИДК, ПР 10­12 УО, ДР, ПР 13­15 УО, ИДК УО, ИДК УО, ИДК УО, ИДК УО УО – устный опрос ДР – домашняя работа ИДК ­ индивидуально­дифференцированные  карточки ПР – практическая работа 2 Указывается форма контроля, которая применима для оценки образовательного  результата в ходе текущего контроля 9 2.3. Распределение типов контрольных заданий по элементам знаний и умений, контролируемых при промежуточной (итоговой) аттестации3 Содержание учебного материала по программе УД Тип контрольного задания У 1 У 2 У 3 З 1 З 2 РЗ РЗ Раздел 1. Математический анализ. Тема 1.1. Дифференциальное и  интегральное исчисление. Функция  одной независимой переменной.  Пределы. Тема 1.2. Обыкновенные  дифференциальные уравнения. Задачи, приводящие к дифференциальным  уравнениям. Общее и частное решение. Дифференциальные уравнения с  разделяющимися переменными. Тема 1.3. Ряды. Числовые ряды.  Сходимость и расходимость рядов.  Признаки сходимости.  Знакопеременные ряды. Абсолютная и  условная сходимость. Раздел 2. Основные численные методы. Тема 2.1. Понятия события и  вероятности события. Достоверные и  невозможные события. Классическое  определение вероятности события.  Теоремы сложения и умножения  вероятностей. Раздел 3.  Основы теории вероятностей и математической статистики Тема 3.1. Понятие события и  вероятности события. Достоверные и  невозможные события. Теоремы  сложения и умножения вероятностей. РЗ РЗ ЭВ ЭВ ЭВ ЭВ Таблица 4 РЗ – расчетное задание ЭВ – экзаменационный вопрос 3 Указывается форма контроля, которая применима для оценки образовательного  результата в ходе промежуточной аттестации (экзамена/дифференцированного  зачета или зачёта) 10 5 2  sin sin2 Вариант 1 x x Вариант 2 x 2 x Вариант 3 x Вариант 4 5cos x x tgx 2 y  y  ln  y  4 5  Вариант 5 y y 2  x ctgx 2  55х Вариант 6 х Вариант 7 x x Вариант 8 x x 6sin sin5 5 5  y  4 7  3. Оценка освоения учебной дисциплины. 3.1. Задания для обучающихся. Раздел 1. Математический анализ. Тема 1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление. Проверяемые результаты обучения: У 1 1. Расчетное задание. 1.1. Текст задания: Найти производную функции y  4 5  y  1.2. Время на выполнение: 15 мин. Проверяемые результаты обучения: З 1 2. Устный опрос. 2.1. Текст задания: Ответить на вопросы. 1. Дать определение производной. (формула, обозначение) 2. Дать определение второй производной. (формула, обозначение) 3. В чем заключается геометрический смысл производной? (формула) 4. В чем заключается физический смысл производной? (формула) 5. В чем заключается физический смысл второй производной? (формула) 6. Производная сложной функции. (формула) 7. Дать определение производной. (формула, обозначение) 2.2. Время на выполнение: 10 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 3. Расчетное задание 3.1. Текст задания: Исследовать функцию. . 2 3 . 4 . )( xf 2 Вариант 1   x 8 Вариант 2 2 x )( xf  2 2  x x 3 2 x 5  Вариант 3   x Вариант 4 x 4  x 16  2 1 4 . )( xf )( xf 4 2 3 x x 2 3  Вариант 5   x Вариант 6   x Вариант 7   x 2 Вариант 8  . 23 x 3 x x  3 3 )( xf )( xf )( xf )( xf 2 . 3 . . 11 3.2. Время на выполнение: 15 мин. Проверяемые результаты обучения: З 1 4. Устный ответ 4.1. Текст задания Сформулировать   правила   дифференцирования   и   записать   производные   основных элементарных функций: c ( x В частности, ) (tgx (ctgx (arcsin x (arccos x (arctgx (arcctgx ) ) ) ) ) ) x ( 2x ( 3x ( x    1 x    ) ) )    ) b ) ( kx ( xa В частности, ) (log xa В частности, (sin x (cos x ) ) ( xe ) (ln x (lg x ) ) ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ  ) ( vu   ( vu ) ) (uv ) (cu     u v     В частности,     1 v     ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ ))(( f  x 4.2. Время на выполнение: 15 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 5. Расчетное задание 5.1. Текст задания. Вариант 1 1. Найти производную функцию первого и второго порядков: y  5 x  13 4 x 2. Найти производную функции в точке: ctgx  sin3 x y x 0 2   3. Найти уравнение касательной к графику функции: f(x) 0  x  (x 2 1)(x ­ 2) 4. Найти дифференциал функции: y 2 e x x Вариант 2 1. Найти производную функцию первого и второго порядков: y  x 5 x  x 2. Найти производную функции в точке: x  sin5 x y  x 0  2 cos  2 3. Найти уравнение касательной к графику функции: 3 ­ 2) f(x) x  (x  4 0 4. Найти дифференциал функции: y x cos   Вариант 3 1. Найти производную функцию первого и второго порядков: sin5 x y  e e x x   ln ln x x 2. Найти производную функции в точке: 5  2 3 x  2 y x 0  2 x  2 3. Найти уравнение касательной к графику функции: 3 f(x) x 0 x 2  4. Найти дифференциал функции: y  x 42 x  x Вариант 4 1. Найти производную функцию первого и второго порядков: y  x 5 x  x 2. Найти производную функции в точке: x  sin5 x y  x 0  2 cos  2 3. Найти уравнение касательной к графику функции: 3 ­ 2) f(x) x 0  (x 4  4. Найти дифференциал функции: y  cos  x sin5 x 5.2. Время на выполнение: 30 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 6. Расчетное задание 6.1. Текст задания Вариант 1 Найти частные производные функций. x  ln   x ln  1  x 2 y  y x  2 y  y . 2 . 3 . 1. 2. 3. z z z Вариант 2 Найти частные производные функций. 1. 2. z  . yx yx z 2xy   . 3 2 3 3. z ln x y . 6.2. Время на выполнение: 25 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 7. Расчетное задание 7.1. Текст задания Вариант 1 2 Найти производную функции  Найти производную третьего порядка функции  sin  4 x y   3 6 . y  3 4  x x . 5cos 3 x Написать уравнение касательной к графику функции  )(   в точке xf с абсциссой  x 0 1 ,  0 x 1 . Материальная точка движется по закону  tx )(  1 3 3 t  t 2 2  t 5 . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.) 9 Найти производную функции  2 5  Найти производную третьего порядка функции  x Написать уравнение касательной к графику функции  )( xf cos . y    6 x y  2 4 . x 3sin  2 x 2 x  в точке с абсциссой  0 x 0 ,  0 x 2 . Материальная  точка движется по закону   )( tx  3 t 2 4 t . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.) 13 . Найти производную функции  Найти производную третьего порядка функции  34 x y Написать уравнение касательной к графику функции  3 4 x  tg  y   5 .  )( xf xe 5 2 x 1  в точке с абсциссой  0 x 0 ,  0 x 1 . Материальная точка движется по закону  )( tx  1 4 4 t 2  t . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.) 6 Найти производную функции  5 4  Найти производную третьего порядка функции  x Написать уравнение касательной к графику функции  )( xf 5 3 x ctg . y    y  4 4 x cos 3 x . 1  в точке с абсциссой  x 0 1 ,  0 x 2 . Материальная точка движется по закону  tx )( 4  t 2 t . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.) 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Найти производную функции  . Найти производную третьего порядка функции  x Написать уравнение касательной к графику функции  arcsin y  3 7  x y 2 4 4  2sin )( xf . x tgx  в точке с абсциссой  x 0 ,  x 0  4  3 . Материальная точка движется по закону  )( tx 3  t 2 8 . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.) Вариант 6 1. 2. Найти производную функции  . Найти производную третьего порядка функции  arctg y  6 5x 4 y  56 x  4 xe . Написать   уравнение   касательной   к   графику   функции   xf 1)(  cos x   в 3. 4. точке с абсциссой  0 x 0 ,  x 0  2 . Материальная точка движется по закону  tx )( 4  t 2 t . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.) 7.2. Время на выполнение: 40 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 8. Расчетное задание 8.1. Текст задания Вариант 1 Исследовать функцию  Вариант 2 )(   на непрерывность в точке  xf 1 x 0 x 0 .  на непрерывность в точке  0 x 0 . Исследовать функцию  Вариант 3 )( xf  2    x 1 при при  ,0  0 x x Исследовать функцию  )( xf 8.2. Время на выполнение: 10 мин. 2   на непрерывность в точке  x 0 x 0 . Проверяемые результаты обучения: У 1 9. Расчетное задание 9.1. Текст задания Вариант №1. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf   sin4 x  3cos x . 2. Вычислите интеграл:   3 2 . dxx cos    xF x  3. Является ли функция  Вариант №2. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:  5 3 x 3  2 2 2   x 2. Вычислите интеграл:    x 1  3. Является ли функция  xF Вариант №3. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   3 2 x dx  1 x  . 4  6   2. Вычислите интеграл:  3cos  dxx .  12  3. Для какой из функций  3 xf   является первообразной? 1   x 3 2    xg 3 2 x 2 ,  x   3  xF  Вариант №4.   xx 2  и   xq  2   3 2 x  6 x  1  функция  первообразной функции   xf    x 3 2  1 ?  xf    x 5 2 x  3 .  первообразной функции   xf   34 x  2 x  x ?  xf   2 x 8 . 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf   1 2 cos  x 1 2 sin . x  2 .  65  dxx 2. Вычислите интеграл:     5   3. Для какой из функций  xf   является первообразной? 1  Вариант №5. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:    xg  xF 4 3 x 4 2 x   ,  1 8 x x   4 2. Вычислите интеграл:   3.   Проверьте,   что   функция    sin xdx .    xF 2   sin  x x cos x . x x  xf sin  Вариант №6. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:  2. Вычислите интеграл:   3.   Проверьте,   что   функция   sin xdx .  x  xF 12    0   x 4 3  2  xq   и    xx 4 2  2  функция  xf   x 5 56 x .   является   первообразной   для   функции  xf   x cos x .   является   первообразной   для   функции  xf   Вариант №7. x 12  x . 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf    x 5 2 x  3 . 2 2 2  x 2. Вычислите интеграл:    x 1  3. Является ли функция  xF Вариант №8. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:    3 2 x dx  1 x  . 4  6   2. Вычислите интеграл:  3cos  dxx .  12  3. Для какой из функций  xf 3   является первообразной? 1   x 3 2    xF  xg 3 2 x 2 ,  x    3  первообразной функции   xf   34 x  2 x  x ?  xf   2 x 8 .   xx 2  2  и   xq   3 2 x  6 x  1  функция Проверяемые результаты обучения: У 1 10. Расчетное задание 10.1. Текст задания Вариант 1 Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1­5). 1. 2. 3.    5  83 x  x 6 cos x  2 3 x  5  x 5 x  3 2 x  4 x dx dx .  4 1 x   dx  . . Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6­8). 6. . 2 2 . . x 1 x  1    dx  1 2 cos x dx 16       1  dx  x  34 8  3 x 5 12   4 3 x x 5   6 . 5 dx e x Найти   неопределенный   интеграл   методом   интегрирования   по   частям: 5 dx 3 . x   x  cos Вариант 2 Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1­5). dxx . 4. 5. 7. 8. 9. 1. 2. 3. 4. 5. x  3 4 x  1 x   dx  .  6 2 x dx . . 5 dx 1 2 sin x   dx  . 3 9  sin6     x  x  7 2  1 x   1  dx   2 7 7 x x 2 x   . 294 x . Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6­8). 6.  dx  x  45 7  x 3 18   3 6 x x 3   8 . 7 dx e x Найти   неопределенный   интеграл   методом   интегрирования   по   частям: dx 7. 8. 9. 8 . 2 x  x   2 sin dxx . 10.2. Время на выполнение: 60 мин. Проверяемые результаты обучения: З 1 11. Устный ответ 11.1. Текст задания  x Записать табличные интегралы: 1о.  dx0 2о.  dx  В частности, dx x  dxa  В частности,  xd  dx 3о. 4о. e x x  5о.  6о. cos  xdx sin xdx    dx  2 cos x dx  x 2 sin dx  2 В частности,  a x 2  dx  1 x 2  7о. 8о. 9о. 10о. 2 2  dx  a В частности,   x dx  2 1 x  11.2. Время на выполнение: 10 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 12. Расчетное задание 12.1. Текст задания Вариант №1. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf   sin4 x  3cos x . 2. Вычислите интеграл: a)   3 2  dxx cos . 7 2 b)   1 dx x Вариант №2. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf    x 5 2 x  3 . 2. Вычислите интеграл: a)  2  x 2  dx 2   x 1 7 2 xdx b)   45 x 1 Вариант №3. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf   2 x 8 . 2. Вычислите интеграл: a)   2   sin xdx .  b)  5 dxx 4 2 Вариант №4. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf   1 2 cos  x 1 2 sin . x 2. Вычислите интеграл: a)  Вариант №5.  2    5 65   dxx . 2 b)    sin xdx   1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf   sin4 x  3cos x . 2. Вычислите интеграл: a)   3 2  dxx cos . 7 2 b)   1 dx x Вариант №6. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf    x 5 2 x  3 . 2. Вычислите интеграл: a)  2  x 2  dx 2   x 1 7 2 xdx b)   45 x 1 Вариант №7. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:  2. Вычислите интеграл: a)    6  12 dx 2 sin . x  xf   2 x 8 . b)  5 dxx 4 2 Вариант №8. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf   1 2 cos  x 1 2 sin . x 2. Вычислите интеграл: a)   2    5 65   dxx . 2 b)    sin xdx   12.2. Время на выполнение: 40 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 13. Расчетное задание 13.1. Текст задания Вариант №1. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf   sin4 x  3cos x . 2. Вычислите интеграл: a)   3 2  dxx cos . 7 2 b)   1 dx x 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:  a)  b)  y  ,  2x 2 2 y x 2  x 2 0y  0 x ,2 y  , y  . 4. Докажите справедливость равенства:   xF   5. Является ли функция  6. Найти производную функции:  a) y=2tgx + 2ctgx   3 3         b)   y= 3 x x 2 3 1  4 1  dx 1  2 cos 0   первообразной функции  5  dx x . 0  xf    x 3 2  1 ? Вариант №2. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf    x 5 2 x  3 . 2. Вычислите интеграл: a)  2  x 2  dx 2   x 1 7 2 xdx b)   45 x 1 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:  a)  b)   2 x y  , ,2 y xx y  ,  2x  y x  1  2 4. Докажите справедливость равенства:   3  sin 0 xdx  1 4  1 16 1 x dx . 5. Является ли функция  6. Найти производную функции:  a) y=2sin2x + 12cosx  3 2 x  1 x 4  первообразной функции   xF   xf   34 x  2 x  x ?         b)   y= 1   25 Вариант №3. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:  2. Вычислите интеграл: a)   6    12 3cos  dxx .  xf   2 x 8 . b)  5 dxx 4 2 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: a)  b)  1x ,  2 x y  ,  2x ,2 y x , 0y y y  2  2 4. Докажите справедливость равенства:   cos 2 ,       xx 5. Для какой из функций  xf  3 2  является первообразной? 1 x   x 3 2    xg  xF xdx 3 x   0 3 3 33  x 0 2  . 2 dx 2  и   xq   3 2 x  6 x  1  функция 6. Найти производную функции:  a) y=5tg2x + ctgx x         b)     y (*9 3 x  )4 x Вариант №4. 1. Найдите общий вид первообразной для функции:   xf   1 2 cos  x 1 2 sin . x 2. Вычислите интеграл: a)   2    5 65   dxx . 2 b)    sin xdx   3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:  a)  y  ,  0x 2x b)  y sin y  ,  x 0y ,  x ,   x  2 4. Докажите справедливость равенства:  5. Для какой из функций   4 2 x   xF x  4  4 3 x   xf  является первообразной? 1 ,  1 8  x 1   2 0  x   1  xg 2    x 0   x 4 3  dx  3  2  1  и  . dx  xq   xx 4  2  2  функция 6. Найти производную функции:  a)   xf          b)  x 5  xf   56 x  x cos x 13.2. Время на выполнение: 40 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 14. Расчетное задание 14.1. Текст задания Вариант 1 1. Вычислить определенный интеграл:  2  x dx 3 . 2  x 4 0 2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:   x  2 3 2  dx 31 . 3. Вычислить,   предварительно   сделав   рисунок,   площадь   фигуры,   ограниченной линиями:  y  2 x  ,4 y  ,0 x  ,2 x  2 . 4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:   ,0 5. Скорость движения точки изменяется по закону  v S, пройденный точкой за 10 с от начала движения.  y x y , ,1   x 3 2 t  x  2 t 1 . 4  (м/с). Найти путь Вариант 2 1. Вычислить определенный интеграл:  2  x 4 dx . 3  x 2 0 2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:   x  3 1 0  dx 41 . 3. Вычислить,   предварительно   сделав   рисунок,   площадь   фигуры,   ограниченной линиями:  y  x ,12  y  ,0 x  ,1 x  1 . 4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:   5. Скорость движения точки изменяется по закону   y x y , ,0 v x ,0 9 2   t x t 8 .  1  (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за четвертую секунду. 14.2. Время на выполнение: 40 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 15. Расчетное задание 15.1. Текст задания Вариант 1 1. Вычислить предел функции: lim 2 x  3 x x  2  8 x 9  . 15 2. Вычислить предел функции: lim  x 2  x  3 x 5 6 . 3. Вычислить предел функции: lim 0 x sin sin 17 12 x x . 4. Вычислить предел функции:    1 lim   x x  37  x  . Вариант 2 1. Вычислить предел функции: 2. Вычислить предел функции: x lim  x 4 20 2  x  2 x 16 . lim  x 2 3 2 x x   6 4 . 3. Вычислить предел функции: lim 0 x 7sin x 13 sin x . 4. Вычислить предел функции:    1 lim   x 12 x    x 4 . Вариант 3 1. Вычислить предел функции: lim 2 x  7 x 2 x   5 49  x 14 . 2. Вычислить предел функции: lim  x 3 x 2 2 x   4 6 . 3. Вычислить предел функции: lim 0 x 9sin 4sin x x . 4. Вычислить предел функции:    1 lim   x 15 x    x 5 . Вариант 4 1. Вычислить предел функции: 2 x lim  x 5  x 12  2  x 25 35 . 2. Вычислить предел функции: lim  x 5 2 x 2 x   1 10 . 3. Вычислить предел функции: lim 0 x 8sin x 19 sin x . 4. Вычислить предел функции:    1 lim   x x 24   x  . Вариант 5 1. Вычислить предел функции: 2. Вычислить предел функции: 2 x lim  x 6  2 x 3   x 36 18 . lim  x 4  2 x  3 x 3 12 . 3. Вычислить предел функции: lim 0 x 5sin x 14 sin x . 4. Вычислить предел функции:    1 lim   x 10 x    3 x . Вариант 6 1. Вычислить предел функции: lim 2 x  9 x x  2  81  11 x . 18 2. Вычислить предел функции: 3. Вычислить предел функции: lim  x 6 3 x x 2   5 12 lim 0 x 19 x sin 3sin x . . 4. Вычислить предел функции: lim  x    1  14 x    2 x . 15.2. Время на выполнение: 40 мин. Раздел 1. Математический анализ. Тема 1.3. Ряды. Числовые ряды. Сходимость и расходимость рядов. Признаки  сходимости. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Проверяемые результаты обучения: З 1 16. Устный ответ 16.1. Текст задания 1. Что называется окрестностью точки? 2. Дать определение предела функции по Гейне. 3. Дать определение предела функции по Коши. 4. Перечислить операции над пределами функции. 5. Записать 1 Замечательный предел. 6. Записать 2 Замечательный предел. 16.2. Время на выполнение: 10 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 17. Расчетное задание 17.1. Текст задания Вариант 1 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:   Решите ряд:  8 2 n n 5   1 2 9  n n 2 n 1 4  8  n Вариант 2 1. Решите ряд и определите, сходится ли он:  n  1 2 n 2   4 n 7 Решите ряд:  Вариант 3  1 n 2  nn  22 2 n 8  2 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:  n  1 3 3 n n  3 3 n  6 2 n 7  2   Решите ряд:  3 n  1 27 2 n 3  4 n Вариант 4 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:   n  1 Решите ряд:  4 n  1 2 2 n  9  8 2 n Вариант 5 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:   2 Решите ряд:  1 9   n n  8  1 8 n n Вариант 6 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:  n  1 Решите ряд:  2 n  1 2 n 7 3  n  8 2 n 9 n 2 n  8 n 4 5 n 2 4 n   3 8 n 3 n 5 2 n 3 n 4  8  7 Вариант 7 1. Решите ряд и определите, сходится ли он:   n  1 3 n  4 8  n n 5 2. Решите ряд:  Вариант 8  1 n 2  n 8 n 9   9 8 n n 2 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:   n  1 3 2 8 n 24   n n Решите ряд:  3 n  1 2  2 n 8 n  2 8 n n Вариант 9 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:  n  1 Решите ряд:  7 n  1 4 5 n n   2 2 5 n n 8 Вариант 10 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:   n  1 Решите ряд:  5 n  1 n n   2 2 3 6 n n Вариант 11 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:  n  1 Решите ряд:  4 n  1 2  2 n 8 n  2 n n 8 Вариант 12 1. 2. Решите ряд и определите, сходится ли он:   n  1 Решите ряд:  6 n  1 2  5 4 n n  2 n 85  n  4 5 8 n 5 n n 3 3   4 8 n n 5 n 2  4 n 4  8 n  5 n 3 2 n 5  8 n n 5  4 4 nn 17.2. Время на выполнение: 40 мин. Проверяемые результаты обучения: З 2 18. Устный ответ 18.1. Текст задания 1. Что называется числовым рядом? 2. Какой ряд называется сходящимся? 3. Что называется степенным рядом? 4. Какой ряд называется расходящимся? 5. Какой ряд называется функциональным? 6. В чем заключается признак Коши? 7. В чем заключается признак Даламбера? 8. В чем заключается признак Лейбница? 9. В чем заключается признак сходимости ряда? 10. Что называется общим членом ряда? 11. В чем заключается признак сравнения? 12. В чем заключается предельный признак сравнения? 18.2. Время на выполнение: 15 мин. Проверяемые результаты обучения: У 1 19. Расчетное задание 19.1. Текст задания 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд  ... 1 2 3 1 2 3 4 расходится. n  1 n  ... 2. С помощью признака Даламбера решить вопрос о сходимости ряда  1 3 2 2 3  3 3 3  ...  ... n n 3 3. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд  1 1 2  1 3 1 4   ...  1 n  1  ... 1 n 4. Пользуясь   признаком   сходимости   знакопеременного   ряда,   исследовать   на сходимость ряд 1 !4  1 !2 1 !3 1    ...  1 n  1 1 ! n  ... 19.2. Время на выполнение: 30 мин. Раздел 1. Математический анализ. Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи, приводящие к  дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение. Дифференциальные  уравнения с разделяющимися переменными. Проверяемые результаты обучения: З 1 20. Устный ответ 20.1. Текст задания 1. Когда и кем был впервые введен термин «дифференциальное уравнение»? 2. Что понимают под дифференциальным уравнением? 3. Что собой представляют коэффициенты линейного уравнения? 4. Что называется дифференциальным уравнением первого порядка? 5. Что называется задачей Коши? 6. Какое дифференциальное уравнение называется однородным? 7. Уравнения,   какого   вида   можно   привести   к   уравнениям   с   разделяющимися переменными? 8. Запишите вид уравнения с  разделяющимися переменными. 9. Какие уравнения  называются линейными дифференциальными уравнениями? 10. Какие методы решения дифференциальных уравнений вы знаете? 20.2. Время на выполнение: 15 мин. Проверяемые результаты обучения: У 2 21. Расчетное задание 21.1. Текст задания Вариант 1 Решите дифференциальное уравнение:  a. b. y 4  cos 2 x  ) 4( x 2 y 4 Вариант 2 Решите дифференциальное уравнение:  a. b. sin 2 1 8 ex 7 yx  y y Вариант 3 Решите дифференциальное уравнение:  y    dy 2 x  4    5 4 dxx 2 y a. b.  0 Вариант 4 Решите дифференциальное уравнение:  a. b. y 6 2  dy 2  yy xdx 1  1  0 2 x Вариант 5 Решите дифференциальное уравнение:  y 1   x sin3 y 1 2 y a. b. Вариант 6 Решите дифференциальное уравнение:  x   y 8 2  yx 2 1 2 3  y x a. b. Вариант 7 Решите дифференциальное уравнение:  a.  2 y  y  tgx 3 3( x  1 2 y )2 x 21.2. Время на выполнение: 25 мин. Проверяемые результаты обучения: З 2 22. Устный ответ 1. Что называется частным решением дифференциального уравнения? 2. В каком виде записывается дифференциальное уравнение? 3. Что называется решением дифференциального уравнения? 4. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными? 5. Что называется общим решением дифференциального уравнения? 6. Какое дифференциальное уравнение называется линейным? 7. Что называется дифференциальным уравнением? 22.2. Время на выполнение: 15 мин. Проверяемые результаты обучения: У 2 23. Расчетное задание 23.1. Текст задания Вариант 1 Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1­4). x y  4. y 5. Решить задачу Коши:  ,2 4 y . y  4 3 x  2 x  ,5 y )1(  8 . Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для № 6­12).  y  y 2 4 y   0 5 y y  y 0 . . 1. 2. 3. y y y   ec 1  x ec 1 8 x 4 e  , 5 x  y  ec 2 x xe c  2 x , , 1 y 8  2 . y y y 10. 11. 12. Вариант 2 Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1­4). .  x ,2 xe  x , y  3 y  y  y . 15  0  4 y 0 . 4 6 y y . 1. 2. 3. 4. y y y y 2 x x  3    ec 1 ec 1 3 e 5 x  , x  c 2  ec 2 ,5 y  y y 2 . 6. 7. 8. 9.  4 x . y y y 1  2 cos 6 y  x 1  2 y x . . y 2     . y  1 x  0 5 3 y .   y 10 7 y 0  4 y 4 y 0 . 5. Решить задачу Коши:  y  3 2 x  2 x  ,6 y )2(  19 . Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для № 6­12).  7 x . 2 x 1  . y  1 8 y y x 2 y  2 y . . y   2 1 x   y 0 8 3 .    y 8 y 0 16   12  y y 0 . y y y y . 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 23.2. Время на выполнение: 60 мин. Раздел 2. Основные численные методы. Тема 2.1. Понятия события и вероятности события. Достоверные и невозможные  события. Классическое определение вероятности события. Теоремы сложения и  умножения вероятностей. Проверяемые результаты обучения: У 3 24. Расчетное задание 24.1. Текст задания 1. Из корзины, в которой находятся 4 белых и 7 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным. 2. Определить вероятность появления «герба» при бросании монеты. 3. В корзине 20 шаров: 5 синих, 4 красных, остальные черные. Выбирают наудачу один шар. Определить, с какой вероятностью он будет цветным. 4. Событие  А  состоит в том, что станок в течение часа потребует внимания рабочего. Вероятность этого события составляет 0,7. Определить, с какой вероятностью станок не потребует внимания. 5. В одной корзине находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой корзины вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. 6. Бросают две монеты. Определить, с какой вероятностью появится «герб» на обеих монетах. 7. В   лотерее   100   билетов.   Разыгрывается   один   выигрыш   в   200   рублей   и   двадцать выигрышей по 50 рублей. Пусть  Х  – величина возможного выигрыша для человека, имеющего один билет. Составить закон распределения этой случайной величины Х. 8. Случайная величина Х задана законом распределения: 1 0,1 4 0,6 6 0,3 Найти ее математическое ожидание. 9. Согласно статистике, вероятность того, что двадцатипятилетний  человек проживет еще год, равно 0,992. Компания предлагает застраховать жизнь на год на 1000 у.е. с уплатой 10 у.е. взноса. Определить, какую прибыль ожидает компания от страховки одного двадцатипятилетнего человека. 10. Случайная величина Х задана законом распределения: 1 0,1 5 0,2 8 0,7 Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х. 11. Случайные  величины  X  и  Y  заданы законом распределения.  Найти математическое ожидание этих случайных величин и определить по таблицам, какая из данных величин более рассеяна. Подсчитать дисперсии D(X) и D(Y). Убедиться, что D(X)>D(Y). X Y 2 1 4 20 1 4 28 1 4 50 1 4 23 1 4 25 1 4 26 1 2 24.2. Время на выполнение: 45 мин. Проверяемые результаты обучения: З 2 25. Устный ответ 1. Что такое множество? Привести примеры. 2. Назовите способы задания множеств. 3. Какие операции можно делать над множествами? 4. Что такое декартово произведение? Привести примеры. 5. Что такое случайное событие? 6. Что такое случайная величина? 7. Что такое комбинаторика? 25.2. Время на выполнение: 10 мин. Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики. Тема 3.1. Понятия события и вероятности события. Достоверные и невозможные  события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Проверяемые результаты обучения: З 2 26. Устный ответ 1. Какие события называются достоверными? 2. Какие события называются невозможными? 3. Запишите теорему сложения вероятностей. 4. Запишите теорему умножения вероятностей. 26.2. Время на выполнение: 10 мин. Проверяемые результаты обучения: У 3 27. Расчетное задание 27.1. Текст задания Вариант  1 1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 8, 9 так, чтобы в каждом числе  не было одинаковых цифр? 2. Из шести открыток надо выбрать 3. Сколькими способами это можно сделать? 3. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является  кратным 6? 4. Какова вероятность того, что при 5 бросаниях монеты она 3 раза упадёт орлом кверху? Вариант  2 1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого стола? 2. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос  различных цветов, если можно использовать материал семи различных цветов? 3. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно)  является делителем числа  30? 4. В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба языка. Какова вероятность того, что выбранный на удачу сотрудник не знает ни одного  иностранного языка? Вариант  3 1. Из десяти кандидатов нужно выбрать 3 человека на конференцию. Сколькими различными способами это можно сделать? 2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3,          5, 7 так,  чтобы в каждом числе не было одинаковых цифр 3. Группа туристов, состоящих из 12 юношей и 8 девушек, Выбирает по жребию  хозяйственную команду в составе 4 человек. Какова вероятность того, что в числе избранных  окажется двое юношей и две девушки? 4. Имеется три урны. В первой находится пять белых шаров и 3 чёрных, во второй – 6 белых  и 2 чёрных, в третьей – 10 белых. Вынимают наугад один шар. Найти вероятность, что шар  окажется белый. Вариант  4 1. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3 человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек? 2. На собрании должны выступать 5 человек (1, 2, 3, 4, 5). Сколькими способами их можно  разместить в списке выступающих, если 1 должен выступить первым? 3. Из пяти букв азбуки составлено слово книга. Ребёнок не умеющий читать рассыпал эти  буквы и составил в произвольном порядке. Найти вероятность что получилось слово книга. 4. Для   баскетболиста   вероятность   попадания   в   кольцо   составляет   0,4   т.е   из   4   мячей   3 окажутся   в   кольце   или   попадания   4   мячей   при   5   бросках   мяча,   если   броски   считаются независимыми? 27.2. Время на выполнение: 60 мин. 3.2. Пакет экзаменатора. Проверяемые результаты обучения: З 1, З 2 3.2.1. Экзаменационные вопросы. 1. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах. 2. Предел функции при x, стремящемся к бесконечности. Замечательные пределы. Число е. 3. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точка непрерывности функции. Точка разрыва функции. Свойства непрерывных функций. Приращение аргумента. Приращение функции. 4. Производная   функции.   Дифференциал   функции.   Геометрический   смысл   производной. Механический смысл производной. 5. Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции. 6. Схема   исследования   функции.   Область   определения   функции.   Множество   значений   Промежутки функции. знакопостоянства   функции.   Возрастание   и   убывание   функции,   правило   нахождения промежутков   монотонности.   Точки   экстремума   функции,   правило   нахождения экстремумов функции.   Четность   и   нечетность   функции.   Нули   функции. 7. Производные   высших   порядков.   Физический   смысл   второй   производной.   Исследование функции с помощью второй производной. 8. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. 9. Таблица неопределенных интегралов. 10. Методы   интегрирования:   метод   непосредственного   интегрирования;   метод   замены переменной (метод подстановки); метод интегрирования по частям. 11. 12. Определенный   интеграл.   Понятие   интегральной   суммы.   Достаточное   условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции). Основные свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. 13. Методы вычисления определенных интегралов. Формула Ньютона­Лейбница. 14. 15. 16. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Функции нескольких переменных. Частные производные. Понятие   дифференциального   уравнения.   Общее   и   частное   решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. 17. 18. Методы решения дифференциальных уравнений. 19. 20. 21. 22. 23. Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость числовых рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Признак сравнения. Признак Даламбера. Понятие знакочередующегося ряда. Признак сходимости Лейбница. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда. Функциональные   ряды.   Степенные   ряды.   Область   сходимости   степенного   ряда. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Понятие   события.   Достоверные,   невозможные,   совместные,   несовместные, 24. 25. 26. противоположные события. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Случайная   величина.   Дискретная   и   непрерывная   случайные   величины.   Закон распределения дискретной случайной величины. Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины. 27. Математическое ожидание  дискретной случайной величины. Отклонение случайной величины.   Дисперсия   дискретной   случайной   величины.   Среднее   квадратичное отклонение случайной величины. Проверяемые результаты обучения: У 1, У 2, У 3 3.2.2. Экзаменационные задания