Конспект урока алгебры "Функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость, ее график"

Технология построения урока

Элементы технологии исследовательской деятельности и системно - деятельностного подхода

Тема

Функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость, ее график

Цель

Создать условия для усвоения новых знаний о функции «обратная пропорциональность» и способов действий на уровне применения свойств функции и её графика в изменённой ситуации.

Основные термины, понятия

Обратная пропорциональность, зависимая переменная, независимая переменная, гипербола, свойства обратной пропорциональности

Планируемый результат

Предметные умения:

• Знать понятие функции обратной пропорциональности.
• Сформировать четкое представление о различиях свойств и расположения графика функции при различных значениях k.
• Уметь строить график функции y = k/x, опираясь на ее свойства.
• Расширить представления учащихся о функциях.

 Личностные УУД:

способность к самооценке на основе критерия успешной учебной деятельности;

усилить мотивацию к обучению;

ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, исправлять и дополнять ответы других учащихся

Регулятивные УУД:

уметь определять и формулировать цель урока; проговаривать последовательность действий на уроке; уметь объективно оценивать свою деятельность и деятельность других; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета сделанных ошибок; высказывать свое предположение.

Познавательные УУД:

 уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания; находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную в ходе исследования.

Коммуникативные УУД:

регулировать собственную деятельность посредством речевых действий; умение слушать и вступать в диалог;  воспитывать чувство взаимопомощи, уважительное отношение к чужому умению, культуре учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.

№ п/п

Этапы урока

Дидактические задачи (цель этапа)

1

Организационный

(этап мотивации)

Создать условия для формирования внутренней потребности учеников во включении в учебную деятельность, положительного настроя на плодотворную работу

2

Актуализация знаний и пробное учебное действие

Создать условия для осознания потребности к построению пробного учебного действия

3

Выявление места и причины затруднения

Создать условия для выявления и фиксации места и причины затруднения.

4

Открытие нового знания

Создать условия для построения и фиксации нового знания. Исследовательская работа в группах.

5

Первичное закрепление.  Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Создать условия для применения нового знания в типовых заданиях, для выявления и коррекции собственных ошибок

6

Включение в систему знаний и повторение

Создать условия для включения нового знания в систему знаний, повторение и закрепление ранее изученного

7

Рефлексия учебной деятельности на уроке

Соотнесение цели урока и его результатов, самооценка работы на уроке, осознание метода построения нового знания.

Этапы урока

Формируемые умения

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Организационный

Метапредметные:

регулятивные:

формировать способность к мобилизации сил и

организация своей учебной деятельности

коммуникативные:

уметь слушать учителя, совместно договариваться о порядке и форме общения, следовать им

познавательные:

расширение кругозора

личностные:

самоопределение, настрой на урок

– У  вас  на столе лежат карточки, представьте, что это вы и закончите рисунок:

     Иду на урок

- Весь реальный мир состоит из множества тел. Эти тела в любой момент времени взаимодействуют друг с другом на различных уровнях: химическом, физическом, информационном. Так, на уроках физики вы изучаете зависимость силы тока от сопротивления.  Из жизни мы знаем о  зависимости радиуса колеса и числа совершаемых им оборотов на определенном отрезке пути.  Умение анализировать эти взаимодействия или зависимости сделает вас успешными в своей деятельности!

Сегодня нам предстоит провести небольшое собственное исследование. Пусть оно не такое значимое, как открытия ученых. Ведь как сказал Пойа, «Крупное  научное  открытие  дает  решение  крупной  проблемы,  но и  в решении  любой  задачи  присутствует  крупица  открытия».

Подготовка класса к работе

Обозначают своё настроение

Настраиваются на исследовательскую работу на уроке

Актуализация знаний и пробное учебное действие

Предметные:

актуализация опорных знаний обучающихся по теме «Свойства функций»

Метапредметные:

регулятивные:

контроль в форме сличения результата с заданным эталоном

коммуникативные:

уметь слушать и понимать других; оформлять мысли в устной и письменной форме

познавательные:

анализировать, сравнивать

личностные:

уметь ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, исправлять и дополнять ответы других учащихся

- Устная работа

На рисунке изображен график функции на отрезке [- 3; 2].

1) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно  – 1.

2) Укажите наибольшее значение функции.

3) Укажите промежуток, в котором функция возрастает. В каком убывает?

4) Найдите область значений функции.

5) Укажите области определения следующих функций (слайд презентации проецируется на доску)

y=x²+8,       y=4x-1/5,     y=2x,     y=7-5x,

y=2/x,              y= 14x²,          y= -10/x

Устно выполняют предложенные задания

Выявление места и причины затруднения

Предметные:

уметь отличать аналитическую запись известных функций Метапредметные:

регулятивные:

уметь проговаривать последовательность действий на уроке; высказывать свое предположение

коммуникативные:

умение полно и точно излагать свои мысли

аргументация своего мнения

планирование учебного сотрудничества

познавательные:

уметь отличать новое от уже известного, преобразовывать информацию из одной формы в другую; анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать

личностные:

уметь ясно, точно, грамотно излагать свои мысли

- Разбейте указанные функции на группы. Сколько разных групп у вас получилось? Как называются следующие функции, заданные формулами? Известны вам их графики и свойства?

3. Почему последняя группа функций, где числитель  k=2 и -10, а в знаменателе переменная х, вызвала затруднение? В чём проблема?

(Незнакомы с данной функцией).

4.  Какова цель урока?  (Познакомиться с функцией y=k/x, ее свойствами и графиком.)

Записываем число, классная работа

и тему урока: “Функция y=k/x, ее свойства и график”.

Классифицируют функции на группы

Сравнивают полученный результат с результатами других

Пытаются сформулировать цели и тему урока

Записывают тему урока

Мотивированы к новой учебной деятельности

Открытие нового знания

Предметные:

соотнесение условия задачи с математической моделью;

образец оформления типовых задач; вывод формулы обратной пропорциональности, построение графика, знание свойств

Метапредметные:

регулятивные:

уметь проговаривать последовательность действий

контроль, коррекция

коммуникативные:

планирование учебного сотрудническтва

познавательные:

выдвижение гипотез, выведение следствий.

личностные:

смыслообразование, самоопределение

 - Предлагаю задачи для решения в парах по рядам: №1- 1 ряд, №2 – 2 ряд, №3 – 3 ряд. Задача № 1. Скорость пешехода V км/ч; t ч – время. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти 12 км. Выразить зависимость t от V.

Задача № 2. Площадь прямоугольника 60 кв. см. Одна сторона прямоугольника а см, другая b см. Выразить зависимость b от а.

Задача № 3. p руб. - цена товара, m - количество товара. Сколько товара можно купить на  500 руб? Выразить зависимость m от p.

- А теперь проверьте парную работу.

- Как называются переменные a, v, p?

- Как называются переменные m, b, t?

- Запишите каждую зависимость в виде функции?

Что общего и в чем различие этих формул?

- Составить функцию, которая является обобщением рассмотренных зависимостей.

- Но что будет происходить с у, если  х увеличить в 2 раза?  А что произойдет с у, если х уменьшить в 2 раза?

Аналогичная работа проводится с увеличением (уменьшением) в 4 раза.

Определение. Функция, заданная формулой  , где  y-зависимая переменная, x-независимая переменная и k 0, называется обратной пропорциональностью.

Детально рассмотрим эту зависимость с помощью графика на примере функции .

 функции .

Как построить график незнакомой нам функции?

А как вы думаете, как будет называться график этой функции?

Построение графика функции.

1.     Составить таблицу значений (взять значения аргумента с расчетом, чтобы положение графика определялось с достаточной полнотой).

2.     Отметить точки на координатной плоскости.

3.     Соединить точки линией.

(Все учащиеся строят в тетради, один ученик на интерактивной доске)

-  Давайте перечислим свойства этой функции.

(Учащиеся с помощью учителя перечисляют свойства построенной функции).

- Как по вашему мнению, можно назвать такую зависимость переменных?

Работают по рядам в парах, отвечают на вопросы, пытаются выразить зависимость одной переменной от другой

Сверяют с образцом на слайде

1 ряд                  2 ряд      

                     3 ряд     

Определяют зависимые и независимые переменные в функции

Учащиеся с помощью учителя составляют формулу

Обсуждают фронтально решение задачи.

Учащиеся делают вывод из своих наблюдений.

Вывод: при увеличении одной переменной в несколько раз вторая переменная уменьшается во столько же раз. И, наоборот, при уменьшении одной переменной в несколько раз вторая переменная увеличивается во столько же раз. Обратная пропорциональность.

Открытие нового знания

-  Как построить график незнакомой нам функции?

Построение графика функции.

1.Составить таблицу значений Нам сначала удобнее проводить вычисления, придавая аргументу положительные значения, а затем - только отрицательные.

2.Отметить точки на координатной плоскости.

3.Соединить точки линией.

Историческая справка. Полученная кривая называется гиперболой, что в переводе с греческого означает «прохожу через что-либо» и с течением времени получило второе смысловое значение «преувеличение». Одним из первых, кто начал изучать эту кривую, был ученик знаменитого Платона, древнегреческий

математик Менехм в IV в. до н. э., но так и не сумел ее полностью изучить. А вот полностью исследовал свойства гиперболы и дал ей название крупнейший геометр древности Апполоний Пергский в III в. до н. э.

Гипербола состоит из двух веток.

-  Давайте перечислим свойства этой функции

(свойства функции появляются на слайде презентации).

Физкультминутка.

     Почти 90% всей инфор­мации человек

     воспринимает глазами. Если устают      глаза,

с    снижается наше внимание и активность. Да-­

     вайте перед следующей задачей дадим отдых

     глазам и себе.

Все учащиеся строят в тетради, один ученик на интерактивной доске

Учащиеся с помощью учителя перечисляют свойства построенной функции

      1. Закройте глаза на несколько секунд, сильно

1.   напрягая глазные мышцы, затем раскройте их,

2.   рас­слабив мышцы. Повторите 3-4 раза.

3.     2. Посмотрите на переносицу и задержите

4.   взор. Затем посмотрите вдаль. Повторите 3-4

5.   раза.

6.    3. Медленно наклоняйте голову: вперед –

7.   влево – вправо - назад. Повторите 3-4 раза.

8.    4. Встаньте. Сделайте глубокий вздох- руки

    поднимите вверх, и медленный выдох-

    опустите руки. Садимся.

-  А как вы думаете, если мы возьмем отрицательное число k, что произойдет с расположением графика в системе координат?

Исследовательская работа в группах.

Задание. Построить график функции и описать свойства на раздаточных листах.

-  Что произошло с графиком функции, при изменении коэффициента?

- А теперь откроем учебники  и сравним полученный нами график с тем, что нам предлагает учебник?

- Вернёмся к графикам, которые вы получили.

 На какие две группы можно разделить эти графики, чем отличаются эти группы? (Эти группы располагаются в разных четвертях)

- От чего зависит расположение графиков? 

Выполняют упражнения для отдыха глаз

Делают предположения

Выполняют задания в группах, после выполнения один из учеников 1 группы презентует график функции, один из учеников 2 группы  - свойства на доске.

Сверяют с образцом

Обобщают результаты исследования и делают вывод: расположение графика зависит от знака коэффициента обратной пропорциональности

Если k>0, то ветви гиперболы располагаются в 1 и 3 четвертях, функция убывает; если  k<0, то ветви гиперболы располагаются во 2 и 4 четвертях, функция возрастает.

Первичное закрепление. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Предметные:

соотнесение условия задачи с математической моделью;

умение работать с функциональной зависимостью с разными компонентами

Метапредметные:

регулятивные:

работа по плану, с формулой; контроль, коррекция

коммуникативные:

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

познавательные:

формирование интереса к данной теме

личностные:

самоопределение, самопроверка

Самостоятельная работа в трех вариантах (дифференцированная по степени сложности): I вариант - облегченный, II – средней трудности, III - повышенной.

Карточка 1

Постройте график обратной пропорциональности y= - 6/x с помощью таблицы

Карточка 2

Постройте график обратной пропорциональности y=16/x, предварительно заполнив таблицу

Карточка 3

Постройте таблицу некоторых значений функции y=10/x и ее график.

- Работы проверяются по эталону. Ошибки исправляются, анализируются, выясняется их причина.

Выбирают вариант по степени сложности, выполняют самостоятельно

Осуществляют самопроверку по эталону, анализируют ошибки, исправляют

Включение в систему знаний и повторение

Предметные:

работа с формулой , графиком, свойствами функции обратной пропорциональности

Метапредметные:

регулятивные:

контроль в форме сличения достигнутого результата с поставленной целью

коммуникативные:

умение определять пути коррекции

познавательные:

умение ориентироваться в системе своих знаний

личностные:

осознание ответственности за выполненную работу

- Какие вопросы вы задали бы друг другу по новой теме урока?

• Что является графиком функции y=k/x.
• В каких координатных четвертях расположен график функции?
• Какова область определения функции?
• Какими свойствами обладает график функции обратной пропорциональной зависимости?
• Из чего состоит гипербола?

1. – Укажите, какие из функций являются обратной пропорциональностью?

; ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .

2. Перечислите свойства функции а) и в).

Ориентируются в своих знаниях и умениях, задают вопросы, подводят итог урока

Рефлексия учебной деятельности на уроке

Предметные:

фиксирование нового содержания

Метапредметные:

регулятивные:

осознавать конечный результат решения проблемы;

оценивание собственной деятельности на уроке

коммуникативные:

умение анализировать собственные успехи, неудачи, определять пути коррекции

познавательные:

умение анализировать,

классифицировать и обобщать факты и явления

личностные:

способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности

– У  вас  на столе лежат карточки, представьте, что это вы и закончите рисунок:

     После урока

-          Сравните настроение в начале и в конце урока.

-          В начале урока мы ставили цель и задачи. Теперь подведём итоги проделанной работе. Оцените каждый свою работу на уроке по от 3 до 5 баллов: 3, 4 или 5 (на уроке открытия нового знания оценку можно поставить по желанию).

-          Сегодня, ребята, вы     все     выступили в роли исследователей, вывели

формулу        новой функции    «обратная пропорциональность», исследовали график и свойства функции.      Молодцы!

Определяют свое настроение, сравнивают его с настроением в начале урока

Ставят себе оценку за работу на уроке и сдают карточки