Конспект урока по теме Правильные многогранники

Государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

 

 

«Суражский промышленно-аграрный техникум»

 

 

 

 

Конспект урока по теме:

 

 

Подготовил

преподаватель математики

Агеенко Инга Григорьевна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сураж – 2016

 

Тема урока: Правильные многогранники.

Тип урока: изучение нового материала.

Продолжительность урока: 2 урока по 45 минут.

 

Цель урока: создание условий для формирования понятия правильного многогранника, полуправильных и звездчатых многогранников, знаний о свойствах многогранников, знаний из истории теории многогранников, представлений о связи математики с другими науками.

 

 Задачи урока:

1.                     Формировать пространственные представления, математическую культуру, культуру общения.

2.                     Развивать практические навыки учащихся по изготовлению правильных многогранников.

3.                     Развивать умения наблюдать, умения рассуждать по аналогии, интерес к предмету через использование информационных технологий и осуществление межпредметных связей.

4.                     Воспитывать  общетрудовые  умения, графическую культуру, умения работать в группе.

 

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, модели правильных многогранников.

 

Подготовительная работа: обучающиеся делятся на микрогруппы, каждая микрогруппа получает свое задание, готовят рефераты и сообщения на 5-6 минут по предложенным темам под руководством преподавателей математики, химии, биологии.

 

 

 

 

 

Ход урока:

1.Организационный момент (1 минута). Слайд 1

2. Целеполагание (2 минуты). Слайд 2

Преподаватель: Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера- Пуансо? И многие - многие другие.  И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них?

 

3. Введение в тему урока (2 минуты). Слайд 3

  Преподаватель: Мне хотелось бы начать со слов Льюиса Кэролла: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Название «правильные» идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные многоугольники  – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные правильными и одинаковыми многоугольниками.

 

4. Работа в микрогруппах( минут).

Преподаватель: Наша группа была поделена на 5 микрогрупп, кождой из которых было дано задание изучить один из правильных многогранников, выделить его отличительные признаки, построить его развертку. Сейчас каждая микрогруппа из полученной развертки изготовит многогранник, представит его нам и расскажет о результатах своей работы.

(Во время выполнения работы в микрогруппах преподаватель помогает тем, кто нуждается в помощи. Лучше иметь уже готовые модели многогранников про запас, чтобы в случае неудачи показать, как они выглядят).

 

5. Отчет микрогрупп о проделанной работе. ( 25 минут)

5.1. Гексаэдр и его свойства. Слайды 4 – 5

 

                                                                              

Ø     Куб составлен из шести квадратов.

Ø      Каждая его вершина является вершиной трех квадратов.

Ø      Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов.

Таким образом, куб имеет: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Ø     Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Ø     Радиус описанной сферы:

Ø     Радиус вписанной сферы:

Ø     Площадь поверхности куба: S = 6a²

Ø     Объем куба: V = a³

 

5.2.  Тетраэдр и его свойства. Слайды 6 – 7

 

                                        

Ø     Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников.

Ø      Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.

Ø     Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов.

Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Ø     Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Ø     Радиус описанной сферы:

Ø     Радиус вписанной сферы:

Ø     Площадь поверхности:

Ø     Объем тетраэдра:

 

5.3. Октаэдр и его свойства. Слайды 8 – 9

 

           

 

Ø     Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников.

Ø     Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников.

Ø      Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов.

Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Ø     Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Ø     Радиус описанной сферы:

Ø     Радиус вписанной сферы:

Ø     Площадь поверхности:

Ø     Объем октаэдра:

 

 

5.4. Икосаэдр и его свойства. Слайды 10 – 11

 

 

 

 

Ø     Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Ø      Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников.

Ø     Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов.

Таким образом, икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Ø     Икосаэдр имеет центр симметрии – центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Ø     Радиус описанной сферы:

Ø     Радиус вписанной сферы:

Ø     Площадь поверхности:

Ø     Объем икосаэдра:

 

 

 

 

 

 

5.5. Додекаэдр и его свойства. Слайды 12 – 13

Ø     Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Ø     Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников.

Ø      Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Ø     Радиус описанной сферы:

Ø     Радиус вписанной сферы:

Ø     Площадь поверхности:

Ø     Объем додекаэдра:

 

6. Правильные многогранники в геометрии (10 минут). Слайд 14

Из выступлений учащихся  можно сделать выводы о том, что все многогранники объединяет что-то общее. Давайте заполним таблицу и сделаем выводы:

№	Название многогранника	Число вершин В	Число ребер Р	Число граней Г	В – Р + Г
1	Гексаэдр	8	12	6	2
2	Тетраэдр	4	6	4	2
3	Октаэдр	6	12	8	2
4	Икосаэдр	12	30	20	2
5	Додекаэдр	20	30	12	2

 

В последнем столбце получилось одинаковое число 2. Это  число называется Эйлеровой характеристикой в честь Леонардо Эйлера.

6.1. Сообщение учащегося о Л. Эйлере

 7. Правильные многогранники в философской картине мира (15 минут).

Преподаватель: Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида. Как говорилось раньше, эти многогранники часто называют также платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое главное, основное, истинную сущность чего-либо.

 

7.1. Сообщение уч-ся по теме: «Правильные многогранники в философской картине мира Платона». Слайд 15

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Преподаватель: А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).

 

7.2. Доклад ученика по теме: «Кубок Кеплера». Слайд 16

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.

В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

 

7.3. Доклад учащегося по теме: «Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли». Слайд 17

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

 

8. Дополнительные сведения (15 минут).

Преподаватель: Кроме пяти правильных многогранников существуют полуправильные многогранники, тела Архимеда.

 

  8.1. Сообщение  уч-ся по теме: «Архимедовы тела». Слайд 18

Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом.

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).

 

Преподаватель: В глубины каких наук пробрались правильные многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать?

 

8.2. Сообщение уч-ся «Правильные многогранники и природа». Слайд 19

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2] × 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

 

 

 

8.3. Сообщение уч-ся «Искусство и правильные многогранники». Слайды 20 – 22

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''

Знаменитый художник эпохи возрождения Альбрехт Дюрер на переднем плане своей гравюры «Меланхолия» изобразил додекаэдр. В 1525 году он написал трактат, в котором представил, пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы

Сальвадор Дали использует в своей картине «Тайная вечеря» додекаэдр, который служит своеобразным «окном» в окружающий мир и подчеркивает важность этого события.

 

9. Рефлексия (2  минуты). Слайд 23

·     Что понравилось на уроке?

·     Какой материал был наиболее интересен?

·     Связь геометрии с какими науками вы увидели сегодня на уроке?

·     В каких еще областях деятельности можно встретиться с правильными многогранниками?

·     Как вы думаете, пригодятся ли вам знания данной темы в вашей будущей   профессии?

 

10. Подведение итогов. Выставление оценок (2 минуты).

 

11. Домашнее задание (1 минута). Слайд 24

Подготовиться к контрольному тесту по теме «Многогранники»