Конспект и презентация к уроку математики "Числовые последовательности". 9 класс

«Числовые последовательности» Тип урока: урок обобщающего повторения и систематизации знаний. Цели:  повторить формулы для арифметической и геометрической прогрессий. Использовать полученные  теоретические знания для решения задач; развивать  интерес к предмету, послушать сообщения учеников об исторических сведениях о прогрессиях; осуществить контроль знаний с помощью тестов в форме ГИА. Ход урока: I .Организационный момент. СЛАЙД1 – Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем те знания, которые получили во время  изучения темы «Числовые последовательности». Используя сухой, но точный язык математики  покажем необходимость изучения ее для решения задач практического содержания СЛАЙД 2 Эпиграф урока. Закончился XX век.  Куда стремится человек?  Изучены космос и море,  Строенье звёзд и вся Земля.  Но математиков зовёт  Известный лозунг: “Прогрессио – движение вперёд”. 2. Актуализация знаний.  1) Повторить определения прогрессий. 2) Работа с формулами. Восприятие речи на слух. Учитель проговаривает название формулы один раз, а учащиеся пишут  номер формулы (двое у доски, с обратной стороны) СЛАЙД 3 Вопросы к формулам  1.Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.  2.Формула n­го члена арифметической прогрессии. 3.Сумма n­первых членов арифметической прогрессии. 4.Сумма n­первых членов геометрической прогрессии.  5.Формула n­го члена геометрической прогрессии. 6.Знаменатель геометрической прогрессии. 7.Разность арифметической прогрессии. Формулы. .1 d  1 a n  a n .2 b n  n 1 2 a 1   n  )1  n nd ( 2 qb 1  a a 1 2 n .3 S n  .4 S n  bqb n 1 1 q    qb ( 1 q n   1 )1 , q  1 .5 S  b 1  q 1 q  1 ,  (  )1 .6 .7 q an nd a 1 b  n 1 b n СЛАЙД 4 Листочки с каждого ряда собирает дежурный помощник. Выполняем проверку по коду. Получили 7­значное число 5834291. Это КОД ОТВЕТА. 3. Проверка домашнего задания. Сообщаются краткие исторические сведения, приготовленные учащимися.  СЛАЙД 5 Последовательности (сообщение) Фундаментальную роль числа в природе определил еще Пифагор своим утверждением "Все есть  число". Поэтому математика являлась одной из основ религии последователей Пифагора  (пифагорейского союза). Пифагорейцы считали, что бог Дионис положил число в основу мировой  организации, в основу порядка; оно отражало единство мира, его начало, а мир представлял собой  множество, состоящее из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству, и есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях.     Слово «прогрессия» латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение  вперед» ( как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V­VI вв.). Прогрессии известны издавна, а потому нельзя сказать, кто их открыл. Ведь и натуральный ряд –  это арифметическая прогрессия. Во время раскопок в Египте был найден папирус, который  датируется 2000 г. до н.э., но и его было переписано из другого, еще более раннего, отнесенного  к  ІІІ тысячелетию до н.э. Ученые расшифровали текст папируса, содержание некоторых задач дает  возможность отнести их к задачам на прогрессии. СЛАЙД 6,7 В вавилонских текстах рассказывается о том, что увеличение освещенной части лунного диска на  протяжении первых пяти дней происходит по закону геометрической прогрессии со знаменателем  2,  а  в следующие десять дней – по закону арифметической прогрессии с разностью 16. Задачи на прогрессии встречаются в одной из древнейших памяток права – «Русской правде»,  составленной при Киевском князе Ярославе Мудром (ХІ ст.). В этом документе есть статья,  посвященная вычислению приплода от 22 овец за 12 лет при условии, что каждая овца ежегодно  приносит одну овцу и два барана. Так же содержатся сведения о приплоде от пчел за определенный промежуток времени, о количестве зерна, собранного на определенном участкае земли и др. Эти  задачи не имели хозяйственного значения, а были результатом развития интереса к математике и  математическому содержанию данных задач. СЛАЙД 8 О том, как давно была известная геометрическая прогрессия, свидетельствует и легенда об  истории изобретения шахмат. Изобретатель шахмат, ученый Сета, попросил в награду у  индийского царя Сирама за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится,  если на первую клеточку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – два, на третью­  четыре, т.е. чтобы число зерен все время удваивалось. Рассказывают, что индийский царь Сирам  рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат. Сколько зёрен должен был получить изобретатель шахмат? (Учащиеся должны подсчитать дома) S64 = 264 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615. СЛАЙД 9 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона) 709миллионов 551  тысяча 615. СЛАЙД 10 Современники сказали бы так:  S64 = 1, 84• 1019 – стандартный вид данного числа. Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря , и  океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять  лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени.    Чтобы разместить это зерно в амбаре, то его размеры будут: высота 4 м, ширина 10м, длина будет 30 000 000км­ вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца Практическая часть урока. 1.Задача. Задача из папируса Райнда СЛАЙД 11       Папирус Ахмеса (древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода  Среднего царства, переписанное ок. 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса  длиной 5,25 м. и шириной 33 см.) был обнаружен в 1858 и часто называется папирусом Райнда по  имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая  часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью­Йорке.  Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач и является наиболее полным египетским  задачником, дошедшим до наших дней. СЛАЙД 12 Задача из папируса Райнда звучит так: «У семи лиц по семи  кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи  колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их  сумма?» Решение задачи выполняется  в тетрадях и на доске. Людей всего 7, кошек 72=49, они съедают 73=343 мыши, которые съедают всего  74=2401 колосьев,  из них вырастает 75=16807 мер ячменя. В сумме эти числа дают 19 607. СЛАЙД 13 2.Задача  (решают самостоятельно) Применение прогрессий в биологии и медицине. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из  них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут. СЛАЙД 14 (проверка задачи о бактериях) Решение задачи о бактериях дает результат равный 127. Решение задачи объясняет возникновение эпидемий. СЛАЙД 15 3.Задача Курс воздушных ванн начинает с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в  каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в  указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин? Ответ: 10 дней СЛАЙД 16 4.Задача Как известно из медицинской статистики, одна выкуренная сигарета сокращает жизнь человека на 10   минут.   Вычислите,   сколько   сигарет   в   среднем   сократят   жизнь   человека   на   1   день.   (144 сигареты). СЛАЙД 17 5. Индивидуальная работа. В этом году вы сдаёте свой экзамен по алгебре в форме тестов ЕГЭ. Следующий тест позволит  проверить вашу готовность к нему по теме “Прогрессии”. (Текст теста по вариантам). Решается тест в тетради, записывается в тетради номер ответа, тесты сдаются и выполняется  проверка по коду. Привожу пример теста.  Вариант 1. 1. (аn ) – арифметическая прогрессия, а1 =10; d = – 0,1. Найди а4.  1) 9,7; 2) 97; 3) –97; 4) 10,3; 5) –10,3.  2. В геометрической прогрессии b1; b2; 4; 8;…. Найди b1.  1) – 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8; 5) – 1.  3. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 4; q = 1/2  1)– 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5; 5) – 1,25.  4. Найди сумму бесконечной геометрической прогрессии 12;6;…  1) 6; 2) – 12; 3) –24; 4) 24; 5) 12.  5. Представь в виде обыкновенной дроби число 0, (1).  1) 9; 2) 11/9; 3) ­1/9; 4) – 9; 5) 1/9.  6. Найди сумму 100 – первых членов последовательности (x n ), если x n =2n +1.  1)10200; 2) 20400; 3)1200; 4) 102; 5) 1020.  7. Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 3.  1) 81; 2) 40; 3) 80; 4) –80; 5) – 40.  Код ответов 1234542 СЛАЙД 18 6. Домашнее задание – творческое:  составить 3 задачи по теме “Прогрессии” и их решения оформить на альбомном листе. 7. Подведение итогов. Итак, сегодня мы в нестандартных заданиях обобщили и систематизировали знания и умения,  приобретённые при изучении прогрессий, , поработали с формулами, встретились с занимательной  математикой, услышали исторические факты, решили задачу и написали тест.  СЛАЙД 19 Урок сегодня завершён,  Но каждый должен знать:  Познание, упорство, труд  К прогрессу в жизни приведут. 8. Выставление оценок. За работу с формулами и тестом каждый учащийся получает оценки в журнал. Дополнительные  оценки получают те, кто был активен на уроке.