«Показательны
е уравнения и
неравенства»
«Показательны
е уравнения и
неравенства»
Цель урока: обобщение
знаний о способах решения
показательных уравнений и
неравенств, подготовка к ЕГЭ.
Показательные уравнения
а x
b
a
,0
a
)1
(
1.
x
log
a
b
• если , то решений нет
• если , то
0b
0b
2.
xf
)(
a
)(
xg
a
)(
xf
)(
xg
Показательные неравенства
Решение показательных неравенств
часто сводиться к решению неравенств
в
а
в
а
х
а
или
Эти неравенства решаются с помощью
свойства возрастания или убывания
показательной функции
а
х
Задание
№ 1
Укажите промежуток, на
котором лежит корень
уравнения
3x+2 + 3x+1 + 3x=39.
2
x
x
Решение:
x
1
3
9
x
33
1
3
1
1
x
3
3
3
3
3 x
x3
x
,39
,39
,39
3
,
1
1,
1
x = .
Из данных промежутков только промежуток
содержит найденный корень.
(0 ;
2)
1
Ответ:
(1) [-2;0]; (2) [2;4];
(0;2).
(3) (4;9];
4
Номера правильных ответов:
(4)
Задание
№ 2
Укажите промежуток,
которому принадлежит корень
уравнения
x
4
x
2
1
.3
Решение:
x
1
x
,3
2
x
2
,03
x4
Сделаем замену переменных. Пусть
Уравнение принимает вид
.03
y
2
y
.2x
-3;
1
2
x
1
4
2
у
1
2
1
x
x
2
2
Полученное уравнение имеет корни
,3
1
Сделаем обратную замену:
1
[0;
Из данных промежутков только промежуток
1)
1
1
[3;4); (4) [5;5).
0
(1) [log2 6; 3); (2) [0;1); (3)
содержит найденный корень.
Ответ:
x
.
2
Номера правильных ответов:
Задание
№ 3
Найдите область
определения функции
.1
x
3
5 1
y
3x
5 1
Решение:
Составим неравенство . Решив
его, получим:
[-1/3;
x
.
+∞)
1
Подробнее.
x
3
5 1
5
1
x
1
0
1
0
(1) (-∞;-1/3]; (2) [1/3; +∞); (3) [-
1/3;+∞); (4) (-∞;-1/3).
3
Номера правильных ответов:
3x
1
3
5
01
-
x
1/3
x
3
5
0
Ответ
:
Задание
№ 4
Найдите область определения
функции
y
1
3
3
x
7
.1
Решение:
Составим неравенство . Решив
3x
7
Ответ:
(1) [7/3;∞); (2) (-∞;-7/3]; (3) (-∞;7/3];
x
3
1
его, получим:
x
(-
∞;7/3]
1
3
Подробнее.
0
3x
7
7
3
x
3
x
7
1
3
1
3
1
3
1
1
7/3
0
7
01
0
3
3
Номера правильных ответов:
(4) (-∞;7/3).
x
Способы решения показательных уравнений
и неравенств
• Уравнивание оснований
• Вынесение общего множителя
за скобку
• Введение вспомогательной
переменной
(замена переменной)
Работа в группах
1. Составить и решить уравнение и
неравенство
2. Найти ошибку в решении (Бланк
№2)
Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
Решение.
)125,0(
3
3
x
3
2 x
16
2 x
)125,0(
,16
2
1
1
8
2
1
1
2
2
x
6
,4
.10x
6
x
4
,
4
,
1) (9;11) 2) (9;10) 3) (3;5]4) [0;3]
Укажите множество решений неравенства
Решение.
5,1
1 x
5,1
1
3
2
2
3
x
1
,
.
4
9
4
1 x
9
x
1
2
3
2
3
,2
.1x
x
2
2
,
,
1) (-1;+∞) 2) (- ∞;-1) 3) (3;+ ∞) 4) (- ∞;3)
Тест
• Выберите уровень задания на Бланке
№3 и приступайте к его выполнению.
• Время на выполнения задания 6 минут.
Ответы теста
I уровень: II уровень:
1) 1)
2) 2)
3) 3)
4) 4)
5) 5)
2
-2,5
-2;2
(5;+
∞)(-∞;-
2]
1
0
-2;2
[5;
+∞)(-
2;2)
Критерии:
I уровень
5 заданий - «4»
4 задания - «3»
3 задания - «2»
II уровень
5 заданий - «5»
4 задания - «4»
3 задания - «3»
2 задания - «2»
х
11
22
2
2
х
2
.2
х
х
,09
х
2
33
х
1
2
328
;0
х
х
2
2
2
11
х
х
11
2
.2
х
2
,2
х
С 1. Решите уравнение
х
93
328
Возможная запись решения ученика.
х
328
93
2
33
2
х
22
33 2
х
у
х
,3
у
у
9
х
3
9
х
2
х
22
22
328
;0
328
09
0
3 2
, тогда
у
1
или
у
3
1
3
1
или
или
,09
28
у
х
3
х
х
т.к.
1
2 х
0
, то
1х
Ответ
1:
• Задание с использованием показательных
функций, показательных уравнений и
неравенств являются весьма популярными
заданиями во всех вариантах ЕГЭ.
• Некоторые наиболее часто
встречающиеся виды трансцендентных
функций, прежде всего показательные,
открывают доступ ко многим
исследованиям.
Л. Эйлер
Учебно-методический комплект:
Математика. Алгебра и математический анализ.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Мордкович
А.Г. 11 класс. Учебное пособие.
Углубленное изучение курса алгебры и математического
анализа. Контрольные и самостоятельные работы под
редакцией М.Л.Галицкого и др.
Показательные уравнения и неравенства.pptx
