Конспект и презентация к уроку математики "Синус, косинус, тангенс угла"

Конспект урока по математике НА ТЕМУ: тема урока:  «Синус, косинус и тангенс угла». Тип урока: изучение нового материала. Класс: 9. Цель урока:  ­ образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач; ­   развивающая:  развитие   внимания,   памяти,   речи,   логического   мышления, самостоятельности; ­ воспитательная: воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности. Методы обучения: дедуктивно­репродуктивный метод.  Оборудование: мультимедиа проектор, презентация. Используемые источники: 1) Атанасян, Л. С. Геометрия 7­9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 20­е изд. –М. : Просвещение, 2012. – 384 с. : ил.; 2) Саранцев, Г. И. «Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для   студентов   мат.   спец.   педвузов   и   университетов»   /   Г.   И.   Саранцев.     –     М.   : Просвещение, 2002. – 224 с.; 3) Внеклассный урок – http://raal100.narod2.ru/geometriya/sinus_kosinus_tangens/ 4) Тригонометрическая http://www.ankolpakov.ru/wp­ таблица       –   5) content/uploads/2012/08/Таблица–значений–тригонометрических–функций.gif;   Таблица   и   рисунок   «Знаки   тригонометрических   функций»   – http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFiguresTables/Trygyn ometricsSigns/ План урока: 1 2 3 4 5 Орг. момент (2 мин); Актуализация знаний (5 мин); Изучение нового материала (22 мин); Первичное закрепление нового материла (13 мин); Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин). Ход урока: 1. Организационный момент.  Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.  2. Актуализация знаний. Учитель:  сегодня   мы   приступаем   к   изучению   новой   главы   «Соотношение   между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1).  Запись в тетрадях:  Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла. Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.  – что называют синусом острого угла?  α Ученик:  отношение противолежащего катета к гипотенузе.  Учитель: что называют косинусом острого угла?  Ученик:  Косинус острого   угла   отношение прилежащего катета к гипотенузе.  Учитель: что такое тангенс острого угла?  Ученик:  Тангенс острого   угла   прилежащему катету. Учитель: теперь решите следующий пример (слайд 2).   –   это   отношение   противолежащего   катета   к   прямоугольного   треугольника   –   это синус острого   угла     прямоугольного   треугольника   –   это α α 1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 3, угол А = 30º. Выясним синус угла А и косинус угла В. Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В. (ученики самостоятельно решают в тетрадях) Решение 1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º: В = 90º – 30º = 60º. 2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:       sin A =   =   =  . 3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А: .       cos B =   =   =  В итоге получается: . sin A = cos B =  Или: sin 30º = cos 60º =  . 3. Изучение нового материала Учитель:  мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном   треугольнике.   Теперь   мы   познакомимся   с   этими   понятиями   в независимости от фигуры, в которой они находятся.  Введем   прямоугольную   систему   координат   Оху   и   построим   полуокружность радиуса   1   с   центром   в   начале   координат,   расположенную   в   первом   и   втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3) Запись в тетрадях:  Полуокружность   называется   единичной,   если   ее   центр   находится   в   начале координат, а радиус равен 1. Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой    угол между лучом  h  и положительной полуосью абсцисс. Если луч h  совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что  = 0 . Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin  =   , a cos  =  .  Но OM = 1, MD  это ордината, OD ­ абсцисса, поэтому sin  ордината у точки М, cos  это абсцисса х точки М. Запись на доске и в тетрадях:  Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin  =   , a cos  =  . Но OM = 1, MD = y, OD = x, поэтому sin  = y, cos  = x.   (1) Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс ­ это отношение , то тангенс будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему  tg  =   синуса угла  к косинусу угла   tg =  . Существует еще функция, обратная тангенсу ­ катангенс, и он равен отношению косинуса угла  к синусу ctg =   . Итак, синус острого угла  равен ординате у точки М, а косинус угла  ­ абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).  Запись на доске и в тетрадях:  Т.к. tg =  , то   tg =  , ctg =   . Учитель: если угол  прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB на рисунке 290 учебника, или  = 0 , то синус и косинус угла  также определим по формулам (1). Таким образом, для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 синусом угла  называется ордината у точки М, косинусом угла  ­ абсцисса х точки М.  Так   как   координаты   (х;   у)   точек   единичной   полуокружности   заключены   в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, ­ 1 ≤ х ≤ 1, то для любого    из промежутка 0  ≤    ≤ 180 справедливы неравенства: 0 ≤ sin  ≤ 1, ­ 1≤ cos  ≤ 1 (слайд 5).  Запишите это в тетради. Запись в тетрадях:  Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, ­ 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 0 ≤ sin  ≤ 1, ­ 1≤ cos  ≤ 1. Учитель:  а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90  и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (­1; 0), то  Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = ­ 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради. Запись в тетрадях:  Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = ­ 1 Учитель:  так как  tg =    , то при   = 90  тангенс угла    не определен, так как   cos 90 = 0 знаменатель обращается в нуль. Катангенс угла ctg =   не определен при  = 0 ,  =  180  , так как знаменатель sin 0 = 0, sin 180 = 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:  tg 0  = 0, tg 180  = 0.  ctg 90 = 0. Запишите это в тетради.  (слайд 7)  Запись в тетрадях:  Т.к. tg =   , то при  = 90 тангенс угла  не определен.  tg 0  = 0, tg 180  = 0, т.к. ctg =  определен    , то при  = 0 ,  =  180    катангенс угла  не ctg 90 = 0. Учитель:  кроме   этих   значений   при   решении   задач   вам   понадобятся   и   другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса (слайд 8). Запись в тетрадях: Учитель:  теперь   мы   познакомимся   с   вами   с   основным   тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради. Запись в тетрадях:  Основное тригонометрическое тождество. Учитель:  на   рисунке   290   учебника   изображены   система   координат   Оху   и полуокружность АСВ с центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой имеет вид х2  + у2  = 1. Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство sin2  + cos2  = 1, (4) Которое выполняется для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В   VIII  классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда. (слайд 9) Запись в тетрадях:  Для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 верно  sin2  + cos2  = 1 ­ основное тригонометрическое тождество. Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях. Знаки синуса.  Так   как  sin    =     ,  то   знак   синуса   зависит   от   знака   у.   В   первой   и   второй четвертях у > 0, в третьей и четвертой у > 0. Значит синус больше нуля, если угол  находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол  находится в третьей ил четвертой четверти.  Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)  Запись в тетрадях:  т.к. sin  =   ,  I , II ч ­ sin  > 0, III, IV ч ­ sin  < 0 Учитель: знаки косинуса. Так как cos  =   , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х > 0, а во второй и третьей четвертях x < 0. Следовательно: косинус больше нуля, если угол    находится в первой или четвертой четверти,   и   косинус   является   меньше   нуля,   если   угол    находится   во   второй   или третьей четверти.  Запишите это в тетради со слайда. Запись в тетрадях:  Так как cos  =  I , IV ч ­ cos  > 0, II, III ч ­ cos  < 0 Учитель: знаки тангенса и катангенса.  Так как tg  =  , а ctg  =  , то знаки tg  и ctg  зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg  > 0 и ctg  > 0, если угол  является углом 1 или 3 четверти; tg  < 0 и ctg  < 0, если угол  является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу. Запись в тетрадях:  tg  =   I , III ч ­ tg  > 0, II, IV ч ­ tg  < 0  ctg  =  I , III ч ­ ctg  > 0, II, IV ч ­ ctg  < 0. Учитель:  кроме   основное   тригонометрического   тождества   справедливы   также следующие   тождества,   которые   являются   формулами   приведения.   Запишите   их   в тетради. (слайд 11) sin (90 ­ ) = cos  cos (90 ­ ) = sin      (5)    при 0 ≤   ≤  90, sin (180 ­ )= sin  cos (180 ­ ) = ­ cos     (6)   при   0 ≤   ≤  180 . Запись в тетрадях:  Формулы приведения. sin (90 ­ ) = cos  cos (90 ­ ) = sin      (5)    при 0 ≤   ≤  90 , sin (180 ­ )= sin  cos (180 ­ ) = ­ cos     (6)   при   0 ≤   ≤  180  . Учитель:  и   последнее,   что   мы   сегодня   с   вами   рассмотрим,   это   формулы   для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12) Запись в тетрадях:  Формулы для вычисления координат точки. Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника). Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол  между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам  sin    =  y,  cos    =  x     координаты точки М соответственно равны cos  и sin . Вектор   имеет те же координаты, что и точка М, т.е.  (cos ; sin ). Вектор   имеет те же координаты, что и точка А, т.е.   (х; у). По лемме о коллинеарных векторах   = ОА ∙  , поэтому  x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin .   (7) Запишите все в тетрадь со слайда. Запись в тетрадях:  sin  = y, cos  = x    М(cos ; sin ),  (cos ; sin ),   (х; у). По лемме о коллинеарных векторах   = ОА ∙  , поэтому  x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin . (7) 4. Закрепление изученного материала Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015. К доске вызываются ученики. Учитель: № 1012. Проверьте, что точки М1(0; 1), М2 (   ;  ), М3 (  ;  ), М4  (­ ;   ), А(1; 0), В(­ 1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ. Запись на доске и в тетрадях:  № 1012. Дано: М1(0; 1), М2  (     ;   ), М3  (   ;   ), М4  (­ ;   ), А(1; 0), В(­ 1; 0) Найти: sin, cos, tg углов: АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ Ученик: чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны координаты точек подставить в уравнение окружности х2 + у2 = 1.  Запись на доске и в тетрадях:  М1 (0; 1), 02 + 12 = 0 +1 = 1, следовательно М1   Окр (0; 1). М2  (     ;   ),     +     =   1,     +     =   1,   1   =   1, следовательно М2   Окр (0; 1). М3 (  ;  ),  +  = 1,   +   = 1, 1 = 1, следовательно М3   Окр (0; 1). М4 (­ ;  ),   +   = 1,   +   = 1, 1 = 1, следовательно М4   Окр (0; 1). А(1; 0), 1 2 + 02 = 1 = 1, следовательно А   Окр (0; 1). В(­ 1; 0), (­1)2 + 02 = 1 = 1, следовательно В   Окр (0; 1). Ученик: найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ. Так как синус ­ это ордината точки, косинус ­ это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение. Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ1.  Запись на доске и в тетрадях:  Т.к. sin  = y, cos  = x, tg =  sinАОМ1= 1, cosАОМ1 = 0. sinАОМ2 =  , cosАОМ2 =  , tg АОМ2 =  . sinАОМ3 =  , cosАОМ3 =  , tg АОМ3 = 1. sinАОМ4 =  , cosАОМ4 = , tg АОМ4 =  . sinАОВ =  , cosАОВ = , tg АОВ =  . Учитель: теперь разберем номер 1013 (а, б). Найдите синус угла  , если известнее косинус.  К доске вызывается ученик.  Запись на доске и в тетрадях: № 1013 (а, б)  Дано: а) cos  =  .             б) cos  =  . Найти: sin  Ученик:  чтобы   найти   синус   угла,   используем   основное   тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус. Запись на доске и в тетрадях:  sin2  + cos2  = 1 a) sin2  = 1 ­ cos2 ; sin2  = 1 ­   = 1 ­   =  ; sin2  = Ученик:   так   как   точка   находится   в   первой   четверти,   синус   положителен, следовательно равен  .  Запись на доске и в тетрадях:  Так как  находится в 1 ч., то sin  > 0, sin  =    б) sin2  = 1 ­   = 1 ­   =  ; Ученик: так как  угол  находится во 2 ч., то sin  > 0 Запись на доске и в тетрадях:  Так как  находится во 2 ч., то sin  > 0, sin  =   . Учитель: теперь решите номер 1015(а, в), где необходимо найти тангенс угла . К доске вызывается ученик. Запись на доске и в тетрадях:  № 1015 (а, в) Дано: а) cos  = 1;            в) sin  =    и 0 <  < 90. Ученик:  так   как   тангенс   ­   это   отношение   синуса   угла   к   косинусу   угла,   нам необходимо   под   а)   найти   синус   угла,  а  под   б)   косинус   угла.  Используем   основное тригонометрическое тождество. Запись на доске и в тетрадях: a) tg =  ,  sin2  + cos2  = 1; sin2  = 1 ­ cos2 ; sin2  = 1 ­   = 1 ­   = 0; sin  = 0. tg =   =   = 1. в) sin2  + cos2  = 1; cos2  = 1 ­ sin2 ;  cos2  = 1 ­   = 1 ­   =  ; т.к. 0 <  < 90 , cos  > 0, cos  =  . tg =   = 1.  5. Подведение итогов урока и домашнее задание Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:  Что называется синусом угла? Ученик: синус острого угла  равен ординате у точки.  Учитель: что называется косинусом угла?  Ученик: косинус острого угла  равен абсциссе х точки Учитель: что такое тангенс угла? Ученик:  тангенс   ­   это   отношение   синуса   угла    к   косинусу   угла,   отношение ординаты точки к абсциссе. Учитель: А что такое катангенс угла?  Ученик: катангенс ­ это отношение косинуса угла у синусу. Учитель: какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?  Ученик: sin2  + cos2  = 1 является основным тригонометрическим тождеством. Учитель: какие есть формулы для вычисления координат точки?  Ученик   Учитель:  а как определить знаки синуса или косинуса?  Ученик:  нужно   определить,   в   какой   четверти   лежит   точка   с   заданными  : x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin . координатами, или данный угол . Учитель:  решение задач по пройденной теме мы продолжим еще на следующем уроке, а сейчас запишите задание на дом: §1, пп. 93 ­ 95, №№ 1014, 1015 (б, г). (слайд 13) Запись на доске и в тетрадях:  Д/з: §1, пп. 93 ­ 95, №№ 1014, 1015 (б, г) Учитель: урок окончен. До свидания. Решение домашней работы. № 1014.  Дано: а)  sin  =  ;            б) sin  =  ;            в) sin  =  . Найти: cos . Решение. а) Выразим cos  из основного тригонометрического тождества sin2  + cos2  = 1. cos2  = 1 ­ sin2 ; cos2  = 1 ­   = 1 ­   =  ; cos  = ±  . б) Аналогично:  cos2  = 1 ­   = 1 ­   =  ; cos  = ± . в) cos2  = 1 ­ 0  = 1  cos  = ± 1. № 1015(б, г). Дано: б) cos  = ­  ; г) sin  =   и 90 <  < 180 . Найти: tg . Решение. б) tg =  sin2  + cos2  = 1; sin2  = 1 ­ cos2 ; sin2  = 1 ­  ,   = 1 ­   =  ,  sin  = ±  . tg =   =   =  . г) cos2  = 1 ­ sin2 ; cos2  = 1 ­   = 1 ­   =  т.к. 90 <  < 180 , то sin  > 0, sin  =   , tg =   =  =  .