Класс: 10

Тема урока: «Производная и её применение»

Пояснительная записка.

 

Данная работа представляет собой разработку двух последовательных уроков, завершающих изучение темы «Производная и её применение». Данный урок является комбинированным. Он направлен на решение следующих задач: а) повторение, обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся; б) изучение нового материала; в) контроль и коррекцию знаний учащихся по изучаемой теме.

Материалы урока рассчитаны на учащихся 10 класса. В разработке применяется система рейтинговой оценки знаний и умений учащихся, хотя возможно применение и классической пятибалльной системы. В любом случае желательно предварительно ознакомить учащихся со всеми требованиями урока и критериями оценок за разные виды работ.

К разработке прилагается компьютерная презентация, которая сопутствует всем этапам, предусмотренным планом занятия. Использование слайдов помогает обеспечить урок качественными, быстро сменяющимися наглядными иллюстрациями, графиками, таблицами.

Особенно оправдано применение презентации во время устного тестирования («Задачи в картинках»),  организация которого без использования компьютера достаточно проблематична и затратна. В нашем случае тест удается провести за считанные минуты, с использованием ярких графиков и чёткого текста, причём учащиеся имеют возможность сразу же узнать, каков правильный ответ, обсудить ошибки, подсчитать набранные баллы. Это делает систему оценок открытой, понятной для всех учащихся.

Использование презентации удобно также и при выполнении графических работ, а если в классе есть интерактивная доска или комплекс, то построение графиков можно выполнять прямо на слайдах.

Материалы урока содержат задания самого разного содержания и уровня сложности – от самых простых до творческих. Для тех, кто опережает класс, предусмотрены дополнительные разноуровневые задачи.

В презентации предусмотрены ответы ко всем заданиям и тестам, как устным, так и письменным. Так что в конце занятия каждый из учащихся будет реально представлять, насколько успешной была его деятельность на уроке, и на какую оценку он может рассчитывать.

Тип урока: комбинированный урок.

Продолжительность: 2 урока - 80 минут.

Класс: 10.

Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран.

Программное  обеспечение: ОС Windows или ОС Linux, MS Power Point или OpenOffice, презентация к уроку.

Дидактический материал: презентация урока, карточки.

Цели урока:

 

Обучающие цели:

ü  обеспечить повторение учащимися  изученного материала, наиболее общих и существенных понятий, теорем и алгоритмов.

ü  предоставить учащимся возможность использовать приобретенные знания при решении задач разного содержания и уровня сложности.

ü  обеспечить проверку усвоения учащимися изученного материала.

Воспитательные цели:

ü  обучать объективной оценке своих возможностей и успехов;

ü  способствовать развитию навыков устной речи, умению грамотно вести диалог и аргументировать свои действия;

ü  способствовать осознанию исторической ценности изучаемого материала;

ü  осознание большой практической значимости производной в жизни человека.

Интеллектуально-развивающие  цели:

ü  способствовать развитию навыков работы с большими объемами информации: поиску, отбору, анализу, оформлению необходимого материала;

ü  создать условия для проявлений творческого подхода к учебным задачам, выдвижению гипотез, постановке проблем и поиску путей их решения;

ü  обучать методам научного познания - анализу, сравнению, обобщению и систематизации учебного материала.

 

План урока:

 

1.     Организация начала занятия.

2.        Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности     учащихся. Инструктаж по организации работы на уроке.

3.     Проверка домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.

4.     Повторение и анализ основных теоретических фактов,  ознакомление с историческими событиями, связанными  с изучаемой темой.

5.     Проверка знания учащимися основных теоретических фактов. Применение знаний в стандартных или частично измененных ситуациях.

·    Задание №1.

·    Устный тест №1.

·    Самостоятельная работа (тест №2). 

6.     Применение знаний при решении более сложных задач.  Задания №4-6.

7.       Введение нового материала. Теорема.

8.     Проверка знаний учащихся 

      Самостоятельная работа (тест №3).

9.     Подведение итогов. 

     Самооценка. Выставление оценок учащимся.

Ход урока:

 

I. Организационный момент.

Дежурные собирают домашние работы на проверку. Учитель приветствует учащихся, усаживает, настраивает на работу.

II. Вступление. Постановка цели и мотивация учебной деятельности     учащихся. Инструктаж по организации работы на уроке.

Вступительное слово учителя. Ребята! Мы с вами завершаем изучение большой и важной темы “Производная”. И сегодняшние два урока мы посвятим одному из серьезных и интересных ее разделов. Запишите тему урока: “Производная и ее применение”.

Я надеюсь, что вы все хорошо подготовились к уроку и сможете показать, как знаете теоретический материал, посвященный данной теме, понимаете геометрический, механический смысл производной, алгоритмы исследования свойств функций с помощью производной. Я уверен, что вы  продемонстрируете умение  применять полученные знания при решении задач разного уровня сложности, а также навыки  самоконтроля и самооценки.

За сегодняшний урок вы можете добавить к своему рейтингу 25 баллов  за следующие виды работ (у каждого учащегося на парте оценочный лист):

ü    устные и письменные тесты разного уровня сложности,

ü    ответы на теоретические вопросы, 

ü    подготовку докладов и исторических сообщений,

ü    решение задач у доски,

ü    ответы и выполнение практических заданий  на рабочих местах.

ü    решение дополнительных задач в свободные минуты.        

Оценочный лист.
Задания для всего класса	Основные виды  работ	Максимал. к-во баллов	Само- оценка	Итог
	Уст.тест №1	5 бал.
	Тест №2	4 бал.
	Тест №3.	8 бал.
Дополнительн. виды работ	Теория, доклады	4 бал.
	Решение задач у доски	5 бал.
	Дополнительные  задачи
Сумма баллов
Оценка

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Проверка домашнего задания. Выводы о сфере практического применения производной.

Ребята! На дом вы получили следующее задание: разбившись на группы по 2-3 человека, придумать или, поработав с информацией, отыскать не менее трех задач прикладного характера, при решении которых используется производная. Задачи должны охватывать различные сферы жизни или разные отрасли науки. Задания должны быть оформлены и сданы вместе с решениями.

Из этих задач наша редколлегия планирует создать сборник прикладных задач по изучаемой теме, который будет храниться в кабинете для того, чтобы любой желающий мог с ним ознакомиться и/или поработать.

Ребята, подготовившие наиболее интересные и полезные задачи, будут поощрены оценками.

А сейчас, после проведенного вами исследования, расскажите, что удалось вам узнать: в каких областях науки, в каких сферах жизни человека, при решении каких практических задач может применяться производная?  (Учащиеся рассказывают).

IV. Историческая справка. Повторение теоретического материала.

Один из учащихся делает сообщение об истории развития дифференциального исчисления. Максимальная оценка этой работы – 4 балла (см. оценочный лист).  В это время трое учащихся готовятся у доски к ответам по карточкам, содержащим вопросы теоретического содержания:

Карточка №1. Определение производной, таблица производных, правила дифференцирования, геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

Карточка №2. Угол между прямой (кривой) и      положительным направлением оси абсцисс, его величина. Угол между двумя пересекающимися прямыми, его величина. Условие параллельности, перпендикулярности двух прямых. Угол между двумя кривыми.

Карточка №3. Применение производной к исследованию     функций: на монотонность, экстремумы, выпуклость и точки перегиба.

Во время подготовки данных трех учащихся четвертый делает сообщение об истории развития дифференциального исчисления. Эта работа   также оценивается не более чем в 4 балла.

Затем после изложения, проверки и оценки теоретических сведений, подготовленных тремя учащимися в соответствии с вопросами карточек, класс приступает к следующему этапу урока.

 

IV. Проверка знания учащимися основных теоретических фактов, умения применять их в стандартных или частично измененных ситуациях.

Задание №1.       Заполните пустые клетки  

а) в таблице 1:                                           б) в таблице 2:

Функция	Производная		Функция	Производная

 

Если на уроке используется интерактивная доска или комплекс, то таблицы можно  заполнять прямо в презентации, используя  стилус. Обратим внимание учащихся, что задания из таблицы №2 будут выполняться в курсе 12 класса во время изучения темы «Интеграл».

Задание №2.       Устный тест №1   «Задачи-картинки». Учитель  поочередно демонстрирует учащимся 10 слайдов, содержащих рисунки к задачам, и три варианта ответов к ним.

№1. Какое значение принимает первая производная в точке А?		№2. Какое значение принимает первая производная в точке В?
№1. Какое значение принимает первая производная в точке А?		№2. Какое значение принимает первая производная в точке В?
№5. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции у=х3  в точке с абсциссой х=1.		№6. Найти угловой коэффициент нормали, проведённой к графику функции у=3х2  в точке с абсциссой х= - 1.
№7.. Найти угол между прямыми.		№8.. Найти угол между прямыми.
№9. Какие виды асимптот имеет график функции?		№10. Какие виды асимптот имеет график функции?
	1 )горизонтальные 2) вертикальные 3) наклонные		1 )горизонтальные 2) вертикальные 3) наклонные

  

Прослушав вопрос,  учащиеся по команде учителя поднимают сигнальные карточки с номерами ответов, которые,  по их мнению, являются  правильными. Максимальная оценка за весь тест – 5 баллов. Учитель фиксирует допущенные ошибки,  указывает на них ученикам. Каждый неверный ответ  уменьшает оценку на 0,5 балла. Учащиеся подсчитывают   баллы за выполнение теста и записывают   их  в  оценочный  лист.                                                                                                

   Задание №3.       Письменный тест №2 «Собери четверку». Состоит из восьми заданий «ценой» в 0,5 балла, представленных в виде таблицы, содержащей четыре раздела по восемь заданий (см. приложение 2а, 2б). Наибольшая возможная оценка за весь тест – 4 балла.

Задача учащихся заключается в том, чтобы найти соответствующие друг другу элементы таблицы и выписать столбиком соответствующие им номера. На рисунке представлен фрагмент теста.

Функция	График функции	Производная функции	График производной
y = x3		y= - sinx
y=-1/х		Y=3x2
y=arcsin x		y=1/х2
Фрагмент теста №2.

Запись ответов оформляется следующим образом:   

    После проверки теста, что занимает всего несколько минут, и объявления результатов учащиеся заносят их в свои оценочные листы.                                            

 После этого класс приступает к применению знаний, умений и навыков на более высоком уровне.   

V. Обобщение и применение знаний учащихся при решении   более сложных задач. 

Классу предлагается ряд задач более высокого уровня сложности, решение  которых,  сопровождая   комментариями,  по очереди выполняют  у  доски отдельные учащиеся. Максимальная оценка каждой задачи 5 баллов. Кроме того, для учащихся, опережающих класс, подготовлены списки дополнительных задач, каждая из которых имеет свою «цену». Решая задачи в свободные минуты, учащиеся увеличивают сумму набранных баллов, тем самым, повышая свой рейтинг и зарабатывая более высокую оценку.

 Задание №4.       Дан график производной функции y=f(x). Изобразите эскиз графика самой функции y=f(x).

На интерактивной доске можно построить эскиз графика с помощью стилуса.

Учащиеся должны сопровождать свои рисунки комментариями.

Задание №5.       (задача).   Русла двух рек (в пределах некоторой области) представляют параболу у=х²  и прямую х-у-2=0. Требуется соединить эти реки прямолинейным каналом наименьшей длины. Через какие точки его провести?

Решение.

1) . Проведем касательную к графику , параллельную прямой . Её угловой коэффициент , где  - абсцисса точки касания;  - координаты точки касания – одной из искомых точек.

2) Через точку  проведем нормаль к графику . Пусть  - угловой коэффициент нормали. Из условия перпендикулярности касательной и нормали  имеем: , т.е. уравнение нормали имеет вид:  . Подставим  в уравнение:   Итак, уравнение нормали

3) Найдем точку пересечения нормали и прямой :  Значит,

Ответ: канал нужно провести через точки и

Задание №6.       (задача).   Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой равна 5,6 м. На каком расстоянии от колонны должен стоять человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Решение. Вместо функции  будем рассматривать функцию , которая является монотонной (возрастающей) функцией от .

 

Найдем наибольшее значение :

Критическая точка:  при . Если , то  , если , то . Тогда  - точка максимума.

Ответ: расстояние должно быть равным  метрам.

 

VI. Введение нового материала.

Задание №7.      

I.  Практическое задание. 

а) Постройте  схематически график функции у=а/х. Что является графиком? Как расположен график?

 б)  Проведите через любую точку графика касательную к нему.

в) Определите, какая фигура ограничена графиком касательной и осями координат.

II. Вопрос: существует ли зависимость между площадью образованного треугольника и коэффициентом а?

Если нет – докажите, если да - найдите эту зависимость.

Вывод сформулируйте в виде теоремы.

Решение.

Рассмотрим первый случай, когда a>0 и выбранная точка лежит в первой четверти. Пусть АВ – касательная а гиперболе  в данной точке. Найдем площадь треугольника ОАВ.

1)  - точка касания. Уравнение касательной АВ тогда имеет вид: .

2) Найдем координаты точки В пересечения касательной с осью Ох, решив уравнение: . Получим: . Итак, точка В имеет координаты: .

3) Найдем координаты точки А пересечения касательной с осью Оу: , откуда . Значит,

4)   Тогда .

5) При а>0 проводим аналогичные рассуждения. Окончательно получаем: .

 

VII. Проверка усвоения знаний и навыков их применения учащимися.

В заключение урока проводится самостоятельная работа – заключительный тест № 3 (см. приложение). Максимальная сумма за выполнение теста составляет 8 баллов (см. оценочный лист). «Цена» каждого задания указана рядом с его номером. По истечении отведённого времени учащиеся сдают работу на проверку группе экспертов, а учитель демонстрирует классу слайд с правильными ответами. Каждый учащийся еще до объявления результата может подсчитать свою предварительную оценку за его выполнение.

 

VIII. Подведение итогов. Самооценка. Выставление оценок учителем.

Пока группа экспертов проверяет работы учащихся по подготовленным шаблонам, учащиеся подводят итоги, отвечая на вопросы учителя:

·        Назовите имена учёных, внёсших вклад в создание и развитие дифференциального исчисления.

·        С какими новыми понятиями  вы познакомились в процессе изучения темы?

·        Какие новые алгоритмы стали вам известны?

·        Задачи какого рода решаются с помощью производной?

·        Назовите сферы приложения производной.

Учитель предлагает учащимся вспомнить, какие цели ставились в начале уроке, и обсудить, все ли удалось выполнить.

 В это время эксперты завершают работу по проверке заключительного теста. Полученные результаты доводятся до сведения учащихся, которые фиксируют их в оценочных листах.

Затем учитель предлагает учащимся оценить свои результаты с помощью известных им критериев, приведенных в таблице:

Рейтинг (R)	90%£R£100%	75%£R<90%	50%£R<75%	25%£R<50%	R<25%
Баллы (В)	22,5£В£25б	18,8£В<22,5	12,5£В<18,8	6,25£В<12,5	В<6,25
Оценка	5	4	3	2	1

     

Подсчитанные учащимися баллы вносятся в оценочные листы в графу «самооценка». Учитель может выяснить у учащихся  результаты самостоятельного оценивания своего труда. По числу поднятых рук  легко подсчитать количество оценок каждого вида, и присутствующим будут  понятны предварительные итоги урока и степень готовности класса к контрольной работе.

После сообщения домашнего задания, которое также является разноуровневым (см. приложение), урок можно считать завершенным.

P.S. Учитывая, что разные учащиеся выполняют задания с разной скоростью, следует заранее подготовить дополнительные задачи для тех, кто будет работать с опережением (см. Приложение №4.  Тогда учащиеся не будут отвлекаться и мешать друг другу. Учащихся, набравших достаточное число баллов за эти задачи, также следует поощрить оценкой.

 

 

 

 

Литература.
 1. Аттестация учителей математики/авт.-составитель О.В. Тараканова.-изд. 3-е.-М.: Айрис-пресс, 2005. – 64с. – (Аттестация работников образования).

2. Коротаева Е.В. Ситуация успеха: психолого-педагогические механизмы и этапы организации // Директор школы. - 2002. - № 2. - С. 40

2. Мухаметзянова Ф.С.  Методические рекомендации. В помощь слушателям курсов учителей математики к практическим занятиям по теме: «Конструирование современного урока математики». – Ульяновск, ИПК ПРО, 1997, 11с.

3. Оценка без отметки. Сборник. Составитель О. Варшавер – М.: ЦГЛ, 2005. – 80с.

4. Паринова Г.К., Гришина Н.Ю. Формирование успешности учащихся средствами рейтингового контроля // Школьные технологии. - 2003. - № 6. - 94 с.

Другие источники информации:

1. А. Арзамов  и М. Зайдинер, С. Бирюков, М.П. Карпенко,: Рейтинговая система оценки знаний.

teacher.org.ru/files0/files1/files40/docs/Tikhov.rtf  · 41 КБ

2. Бойко В.Л.Рейтинговая система оценивания знаний, используемая на уроках математики.

www.krsk-obr.ru/arhiv/1/2/statii/23  · 58 КБ

Городская @вгустовская конференция 2005 Статьи.

3. Интернет-совещание  для управленческих кадров системы образования на базе Томского государственного педагогического университета (23-26 января 2006 г.) «Введение рейтинговой системы оценивания в старших классах СОШ?» "Учительская газета" №41/2001.  p.tspu.edu.ru/seminar/forum/?inc=forum_see&n=1&idtop=10&sec=1&TSPU-CHAMPION ..  · 5 КБ

4. Летучева И.Н. Оценка и её роль в формировании рефлексии у учащихся  www.eduekb.ru/files8/thesis3.doc  · 112 КБ  · 26.10.2003

5. Осипова Н.Р. Теоретические и практические основания введения рейтинговой системы оценивания учащихся.

www.profile-edu.ru/files/doclad_04.doc  · 291 КБ  · 30.09.2004

6. Рабочая учебная программа по дисциплине "Информатика и математика".  Положение о рейтинговой системе оценки успеваемости студентов в Институте государства и права.

www.jurati.ru/node/13  · 41 КБ

6. Тихов А.Н. Введение новой системы оценки в общеобразовательных школах России

teacher.org.ru/files0/files1/files40/docs/Tikhov.rtf  · 41 КБ

 20.11.2002 Газета «Управление школой»

7. Ястребова Ирина Михайловна. Совершенствование системы контроля и оценки знаний и умений учащихся по алгебре в основной школе. festival.1september.ru/index.php?numb_artic=314387  · 30 КБ

8. Ходзицкая Е.А. Рейтинг как эффективное средство повышения качества образования в школе. http://festival.1september.ru/articles/503632/

 

 

 

 

 

 

 

Приложения

Приложение 1.  Домашнее задание. Готовиться к контрольной работе.

1.Повторить изученный материал,

2.выучить теорему,

3.решить задачи:

1.	а) Напишите уравнение касательных к графику функции , параллельных асимптоте этого графика.   б) Напишите уравнение нормали к графику функции, проведенной в точке касания с положительной абсциссой.	4б     1б
2.	Из точки А вдоль координатных осей движутся 2 тела по законам  и . Определите, с какой скоростью они удаляются друг от друга.	3б
3.	Найти ускорение материальной точки, движущейся прямолинейно по закону  в момент t=5.	2б
4.	Найдите угол между наклонной асимптотой графика функции  и касательной к графику этой функции, проведённой в точке с абсциссой	4б

 

 

 

 

 

 

 

Приложение № 2.Тест №2.

 

 

 

	Вариант №1	Фамилия, имя, класс:
№	Номер ответа:	1	2	3	4	5
1	Найти угловой коэффициент нормали к графику функции      в точке с абсциссой х o =1	-7/5	5/7	-5/9	9/5		-9/5
2	Вычислить угол между кривыми  и  в точке их пересечения, имеющей положительную абсциссу.	arctg (4/13)	arctg (8/11)	arctg (4/11)	-arctg (8/13)		аrctg (12/13)
3	Вращение точки вокруг оси совершается по закону  .   Известно, что ускорение в некоторый момент  t   равно 9 рад/с². Найти этот момент  t.	2.5c	5c	2c	3.5c		3c
4	Определите количество корней уравнения:	0	1	2	3		4
5	При каком значении  a график функции  будет касаться прямой	12	2	-4	9		-3/2

Приложение № 3а. Тест № 3.

 

 

Приложение № 3б.  Тест №3.

 

	Вариант №2	Фамилия, имя, класс:
№	Номер ответа:	1	2	3		4	5
1	Найти угловой коэффициент нормали к графику функции  в точке с абсциссой х o =1	-2/5	9/2		-2/9	2/5		1/5
2	Вычислить угол между кривыми  и в точке их пересечения, имеющей положительную абсциссу.	arctg (12/73)	-arctg (6/73)		-arctg(12/73)	arctg (18/71)		-arctg(6/71)
3	Вращение точки вокруг оси совершается по закону .    Известно, что ускорение в некоторый момент  t   равно 4 рад/с². Найти этот момент  t.	3c	2c		2.5c	4c		1.5c
4	Определите количество корней уравнения:	0	1		2	3		4
5	При каком значении  a график функции y=a-0.5x² будет касаться прямой y=2x+3?	6	-3		2	3/2		1

 

Приложение №4.

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru