ФОРМУЛЫ
СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
Класс 7
Учитель математики :
Цели:
Познакомиться с формулами
сокращенного умножения:
квадрат суммы
квадрат разности
разность квадратов
Рассмотреть геометрический смысл
формул сокращенного умножения.
Закрепить полученные знания в ходе
выполнения заданий
2 из 56
Вы знаете, что при умножении
многочлена на многочлен
каждый член одного
многочлена умножается на
каждый член другого.
Но в некоторых случаях
умножение многочленов
можно выполнить короче.
3 из 56
Для этого нужно
воспользоваться
Формулами
сокращённого
умножения
4 из 56
ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА РАВНА (a + b)2
a b
a
b
a
b
6 из 56
a
b
ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА РАВНА
S1+S2+S3+S4
b
a
a
b
S1 = a2
S2=ab
S3=ab
S4=b2
a
b
a
b
7 из 56
ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА РАВНА
S1+S2+S3+S4
S1 +
S2
+
S3
+
S4
а2
+
ab
+
ab
+
b2
а2 + 2ab + b2
8 из 56
Выразили одну и ту же
площадь двумя способами
S = (a+b)2
S = a2 + 2ab + b2
9 из 56
ПОЛУЧИЛИ
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
10 из 56
Полученное тождество
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
называется
Формуло
й
квадрата
суммы
11 из 56
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
Квадрат суммы
двух выражений
равен квадрату
первого выражения,
плюс удвоенное
произведение
первого на второе,
плюс квадрат
второго выражения.
12 из 56
Пример
применения формулы квадрата суммы
Раскройте скобки в
выражении
(3x + 4ky)2
13 из 56
Пример
применения формулы квадрата суммы
3х
4kу
+
2 •
•+2
3x
3x
2 =
2
4kу
4kу
+
14 из 56
Пример
применения формулы квадрата суммы
3х
+
4kу
2 =
= 9x 2 +24xky + 16k2y2
15 из 56
Возведем в квадрат
По формуле квадрата суммы
сумму
7n + 4m
получим:
(7n + 4m)2 =
= (7n)2 + 2 7n 4m + (4m)2
=
= 49n2 + 56nm + 16m2
16 из 56
Раскройте скобки в
выражениях
= 64р2 + 48р + 9
= 36х2 + 48х + 16
1) (3 + 8р)2
2) ( 6х + 4)2
3) (4,2 + 0,5х)2
4) (0,3ху+k)2
= 0,25х2+4,2х+17,64
=0,09х2у2+0,6хуk+k2
17 из 56
КВАДРАТ
РАЗНОСТИ
18 из 56
Возведем в квадрат разность
a - b
(a – b) =
2
= (a – b)(a – b) =
…
Закончите
преобразование 19 из 56
Проверьте результаты
преобразований
2
2
(a – b) =
= a – 2ab
+ b 20 из 56
2
Полученное тождество
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
называется
Формуло
й
квадрата
разности
21 из 56
(a b)2 = a2 2ab + b2
Квадрат разности двух
выражений равен квадрату
первого выражения, минус
удвоенное произведение
первого на второе, плюс
квадрат второго
выражения.
22 из 56
Пример
применения формулы квадрата разности
Раскройте скобки в
выражении
(5pn – 2m)2
23 из 56
Пример
применения формулы квадрата разности
5pn
2m
2 =
2
5pn
2 •
5pn
•
2
2m
2m
+
24 из 56
Пример
применения формулы квадрата разности
5pn
2m
2 =
= 25p2n2 20pnm + 4m2
25 из 56
Возведем в квадрат
разность
7х – 4у
получим:
(7х – 4у)2 =
По формуле квадрата разности
= (7х)2 - 2 7х 4у + (4у)2 =
= 49х2 - 56ху + 16у2
26 из 56
Раскройте скобки в
выражениях
1) (5х-3)2
2) (13-
6р)2
3) (2,3-
0,4х)2
4) (0,6ху-
=25х2 – 30х + 9
=36р2–156р+169
=0,16х2–1,84х+5,29
=0,36х2у2–1,2хуk+k2
27 из 56
РАЗНОСТЬ
КВАДРАТО
В
28 из 56
ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА со стороной а
равна а2, со стороной b – равна b2
b
b
a
a b
b
a b
29 из 56
Найдем разность
площадей квадратов
b
S1 = b2 S2=b(a-
b)
b
a b
S3=b(a-
b)
S4=(a-
b)2
a b
b
a b
30 из 56
S1 = b2
Найдем разность
площадей квадратов
b
S2=b(a-
b)
a b
S3=b(a-
b)
S4=(a-
b)2
a b
b
a b
31 из 56
Разность
площадей квадратов
а b2
а b
2
b
S2=b(a-
b)
a b
S3=b(a-
b)
S4=(a-
b)2
a b
b
a b
32 из 56
a2 – b2 = S2 + S3 + S4
S2 = b(a – b)
S3 = b(a – b)
S4 = (a – b)2
33 из 56
a2 – b2
S2
S3
S4
+
+
b(a – b) + b(a – b) + (a – b)2
(a – b)( a + b)
34 из 56
ПОЛУЧИЛИ
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
35 из 56
Полученное тождество
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
называется
Формуло
разности
квадрато
36 из 56
й
в
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Разность квадратов двух
выражений равна
произведению разности
этих выражений и их
суммы.
37 из 56
Пример
применения формулы разности квадратов
Разложите на множители
выражение
25x2 4y2
38 из 56
Пример
применения формулы разности квадратов
2
5х
2
2у
=
5x
2у
5x
2у
+
39 из 56
Пример
применения формулы разности квадратов
2
5х
2
=
2у
= (5x – 2у)(5х + 2у)
40 из 56
Разложите на множители выражение
49n2 - 4m2
По формуле разности
квадратов получим:
49n2 - 4m2 =
= (7n)2 - (2m)2 =
= (7n – 2m)(7n + 2m)
41 из 56
Разложите на множители
выражения
1) 9-
16р2
2) 36х2-
64
=(3 – 4p)(3 + 4p)
=(6x – 8)(6x + 8)
42из 56
Попробуйте разложить на
множители следующее выражение
16х8 – 9
Под ска з к а :
1 6 х 8
=
2
)
( 4 х 4
43 из 56
Проверьте свои
результаты
16х8 – 9=
= (4х4 – 3)(4х4 + 3)
44 из 56
Поменяем местами
правую и левую
части в формуле
разности квадратов.
получим:
(a – b)(a + b) =
a2 – b2 45 из 56
(a – b)(a + b) = a2 –
b2
Это тождество позволяет
сокращенно выполнять
умножение разности любых
двух выражений на их
сумму.
46 из 56
Выполните умножение
выражений
1)(k–c)(k+c)
2)(4f+3)(4f–3)
3)(5d–7b)(5d+7b)
= 16f 2– 9
= k2 – c2
= 25d2– 49b2
47 из 56
Самое главное:
Формула квадрата суммы:
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
Формула квадрата разности:
(a b)2 = a2 2ab + b2
Формула разности квадратов:
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
48 из 56
Закрепление
материала
№ 33.1
№ 33.4
№ 33.14
№ 33.18 (а, б)
№ 33.20
№ 33.23
49 из 56
Ответим на
вопросы:
1) Для чего нужны формулы сокращённого
умножения?
2) Сформулируйте формулу квадрата суммы.
3) Запишите формулу квадрата суммы.
4) Сформулируйте формулу квадрата разности.
5) Запишите формулу квадрата разности.
6) Сформулируйте формулу разности
квадратов.
7) Запишите формулу разности квадратов.
50 из 56
Используемая
литература:
1) Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков
К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7
класса общеобразовательных учреждений.
– М.: Просвещение, 2008.
2) Учебное издание «Программы
общеобразовательных учреждений:
Алгебра. 7-9 кл.»/ Сост. Т.А.Бурмистрова. –
2-е изд.– М. Просвещение, 2009.
3) Мартышова Л.И. Контрольно-
измерительные материалы. Алгебра: 7
класс. – М.: ВАКО, 2010.
51 из 56