Конспект урока геометрии в 8 классе по теме: «Применение подобия треугольников к решению задач»

Конспект урока геометрии в 8 классе по теме:  «Применение подобия треугольников к решению задач» Цели:  1. закрепить понятие пропорциональных отрезков, коэффициента подобия, признаков  подобия треугольников; 2. способствовать формированию умения применять признаки подобия треугольников к  решению задач; 3. способствовать развитию навыков исследовательской работы , умения конструировать  новые задачи;  4. способствовать развитию грамотной математической речи 5. способствовать развитию познавательной активности, интереса к изучению  математики. Задачи: 1. Повторить признаки подобия треугольников. 2. Решить задачу, используя подобие треугольников. 3. Сконструировать и решить новые задачи на основе решенной. Оборудование: 1. Доска, чертежные инструменты, мел 2. Маршрутный лист урока (по количеству учащихся в классе) (Приложение 1) 3. Карточки (индивидуальные) для проведения диктанта (6­10 шт) 4. Проектор и заранее подготовленное решение домашнего задания  5. Ступени познания (на слайде) (Приложение 2) Этапы урока: 1. Оргмомент. Проверка домашнего задания. (2­3 мин) 2. Актуализация опорных знаний (10 мин) 1. Математический диктант 2. Работа по готовым чертежам 3. Работа по теме урока (решение задачи) (13­12 мин) 4. Исследование задачи (работа в группах) (10 мин) 5. Решение новых задач (5 мин) 6. Рефлексия (3 мин) 7. Информация о домашнем задании (2 мин) 1. Оргмомент. Проверка домашнего задания. Ход урока Учитель Ученики Пояснения Здравствуйте, ребята. На предыдущих  уроках мы с вами познакомились с  признаками подобия треугольников.  Какими?  Познакомились со средней линией  треугольника и ее свойствами,  пропорциональными отрезками. Как вы думаете,чем мы будем  заниматься сегодня на уроке? 1) по двум углам 2) по двум сторонам  и углу между ними 3) по трем сторонам Учащиеся наряду с краткой  формулировкой дают полную  формулировку признаков  подобия Решением задач на  использование  Высказывают предположения признаков подобия,  свойств средней  линии,  пропорциональных  отрезков. Сегодня мы с вами не просто будем  решать задачи, но попробуем провести  настоящее исследование и выступить в роли авторов новых задач. Но сначала давайте выясним, вызвала  ли у кого­нибудь трудности домашняя  работа? Сравнивают свое  решение с решением, предложенным  учителем,  обсуждают,   Демонстрируют наличие д/р,  учитель проверяет, в случае  необходимости   демонстрирует слайд (или  заранее подготовленные  записи на отвороте доски) с  решением домашней задачи Оцените свою готовность к уроку,  выставив себе оценку за домашнее  задание в маршрутный лист. Оценивают свою  работу.  2. Актуализация опорных знаний 6­8 учащихся получают индивидуальные карточки с математическим диктантом. В заданиях  1­3 необходимо вставить пропущенные слова вместо многоточий, а в заданиях 4­5 ответить на вопросы. Карточка 1 1. Запись AB : A1B1 = CD : C1D1 означает, что отрезки AB и CD … отрезкам A1B1 и C1D1 2. Число, равное … … сторон треугольников, называется … …. 3. Отношение периметров двух подобных треугольников равно … …. 4. Площади   двух   подобных   треугольников   равны   75   см2  и   300   см2.Одна   из   сторон второго треугольника равна 9 см. Чему равна сходственная сторона первого треугольника?  5. Подобны ли треугольники ABC и KDE, если A = 350, B = 750, K = 350,      E = 700, AB = 5см, BC = 7см, AC = 8см, KD = 10см, DE = 14см, KE = 16см. Карточка 2 1. Отношением отрезков AB и CD называется отношение … …. 2. Два треугольника называются подобными, если их … … … и стороны одного  треугольника пропорциональны  … … другого. 3. Отношение площадей двух подобных треугольников равно … … …. 4. Сходственные стороны двух подобных треугольников равны 5 дм и 10 дм. Периметр  первого треугольника равен 60 дм. Чему равен периметр второго треугольника? 5. Подобны ли треугольники ABC и KDE, если A = 250, B = 750, K = 250,      E =  800, AB = 15см, BC = 21см, AC = 24см, KD = 5см, DE = 7см, KE = 8см. Ответы для проверки: Карточка 1 1. пропорциональны 2. отношению сходственных, коэффициентом подобия 3. коэффициенту подобия = 1 2 4. 4,5 см, т.к. k = 75 ,  9   1 2 = 4,5 см. 300 5. треугольники подобны, т.к. углы треугольников соответственно равны A = K = 350, B = D = 750, C = E = 700, а стороны треугольника ABC пропорциональны сходственным сторонам треугольника KDE, с k =  1 2 . Карточка 2 1. их длин 2. углы соответственно равны, сходственным сторонам  3. квадрату коэффициенту подобия 4. P = 120см, т.к. k = 10 : 5 = 2.  5. треугольники подобны, т.к. углы треугольников соответственно равны  A = K = 250, B = D = 750, C = E = 800, а стороны треугольника ABC пропорциональны сходственным сторонам треугольника KDE, с k = 3 Фронтальная работа с классом по готовым чертежам Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 АВСD ­  трапеция Доказать: BO:OD=CO:OA Какие  треугольники  подобны? По  какому  признаку? Из подобия  треугольников  ВОС и AOD  следует  BO:OD=CO:OA Дано: Найти: АС:АВ С1О, А1О Наводящ ие  вопросы, решение: Чем является  AD? В каком  отношении  делит  биссектриса  противоположн ую сторону? Что можно  сказать об  отношении  отрезков АС  АВ? АС:АВ=4,5:13,5 =1:3 Чем являются  Отрезки АА1 и  СС1? В каком  отношении  делятся  медианы  треугольника? Как найти С1О,  А1О? С1О=0,5*ОС=4, 5 А1О=0,5*ОА=3 AB пересекает  CD в точке O └CAO?  SAOC:SBOD? Что можно  сказать о  треугольниках  AOC BOD? Почему  треугольники  подобны? Чему  равен  коэффициент  подобия? Как относятся  площади  подобных  треугольников? SAOC:SBOD  =(2/5)2=4/25=0,1 6 Доказать: h=ab/c a2/ac=b2/bc Какие подобные треугольники вы видите на  чертеже? Чем  является высота треугольника,  проведенная из  вершины  прямого угла? Что называется  средним  пропорциональн ым двух  отрезков? Чем является  катет  прямоугольного  треугольника? b:c=h:a, h=ab/c b2=c*bc, a2=c*ac,  c=b2/bc=a2/ac Учащиеся оценивают свою работу и выставляют оценку в маршрутный лист.  Карточки с математическим диктантом проверяются учителем. Учащимся можно для  самопроверки предложить заранее подготовленное решение на слайде или отвороте доски. 3. Работа по теме урока (решение задачи)  Задача 1 В параллелограмме ABCD  BAC= ADB. Доказать, что АС=AD └ └ C B A Решение: D Учитель 2 , BD=AB  2 . Ученики Что будем использовать для решения задачи? Подобие треугольников Какие треугольники подобны? Почему? └ AOD и ACD └ BAC= AСD, как накрест лежащие при A B ? C D . В треугольниках AOD и ACD есть равные углы, один угол общий — поэтому  эти треугольники подобны по 1 признаку  подобия Равенство отношений сходственных сторон Стороны подобных треугольников, лежащие  напротив равных углов. AO и AD, AD и AC, OD и CD Равенство отношений сходственных сторон AO:AD=AD:AC  AO*AC=AD2 AC=AD2:AO AC=2*AO, 2*AO2=AD2, 2=AD2:AO2,  2 =AD:AO AC=AD2:AO= 2 AD Аналогично (проводят доказательство  самостоятельно) Что следует из подобия? Какие стороны называются сходственными? Какие стороны в треугольниках AOD и ACD  являются сходственными? Что следует из подобия треугольников? Составьте пропорцию  Выразите из пропорции АС Как связаны между собой длины отрезков АС и АО? Выразите одну величину через другую  и подставьте в формулу. Как доказать второе равенство Задача 2 Медианы BD, AF, CE треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что  └ ABD= MAD. Доказать, что AF= Решение можно провести в группах 3 AB/2,   BD= 3 AC/2,  CE= 3 BC/2, └ 4.­5.Исследование задачи. Решение новых задач Предлагаю вам поработать в группах. Вам предстоит из решенных задач составить новые и  предложить ее решение.  Возможные варианты задачи1:  1. В параллелограмме ABCD  AC= 2 AD. Доказать, что  BAC= ADB. 2. В параллелограмме ABCD  AC= 2 AD. Доказать, что  BAC= DBС. 3. В параллелограмме ABCD  AC= 2 AD. Доказать, что  ACD= ADB. 4. В параллелограмме ABCD  AC= 2 AD. Доказать, что  ACD= DBC. 5. В параллелограмме ABCD  BD=AB  2 . Доказать, что  BAC= ADB. 6. В параллелограмме ABCD  BD=AB  2 . Доказать, что  BAC= DBС. 7. В параллелограмме ABCD  BD=AB  2 . Доказать, что  ACD= ADB. 8. В параллелограмме ABCD  BD=AB  2 . Доказать, что  ACD= DBC. 9. Построить параллелограмм ABCD, такой что  BAC= ADB. └ └ └ └ └ └ └ └ └ └ └ └ └ └ └ └ └ └ Возможные варианты задачи2:  10. Построить треугольник ABC, такой что  ABD= CAF (BD и AF — медианы  └ └ треугольника, если известны стороны АВ и АС. 11. В треугольнике АВС на сторонах ВС и АС взяты точки F и D соответственно.  Известно, что AF= 3 AB/2,   BD= 3 AC/2,  CE= 3 BC/2. Доказать, что AF BD —  медианы. 12.  и др. Группы предлагают свои задачи и их решения.  У доски можно разобрать 3­4 решения. Учащиеся оценивают свою работу и выставляют отметку в маршрутный лист. 6. Рефлексия (3 мин) Какую цель мы ставили в начале урока? Достигли ли цели? Что помогало, а что мешало нам в процессе достижения цели? Какие понятия и свойства сегодня повторили? Что нового научились делать? В маршрутном листе в течение урока вы оценивали свою работу. Теперь, исходя из личных  ощущений, определите, на какой ступеньке познания вы находитесь сейчас (Демонстрируется  слайд с лесенкой). Теперь подсчитайте набранное количество баллов и сравните это значение  (объективный показатель) с личным ощущением (субъективный показатель).  Прокомментируйте полученный результат. 7. Информация о домашнем задании (2 мин) № 575, 538 * составить и решить задачу, на основе решенной в классе Приложение 1 Маршрутный лист _______________________учащегося ____ класса (Фамилия Имя) Оцени свою работу на каждом этапе урока Этапы урока: 1. 2. Домашнее задание _____(max 5) Актуализация опорных знаний   Математический диктант _________  Работа по готовым чертежам ____________(max 5) Работа по теме урока (решение задачи) __________(max 5) Исследование задачи (работа в группах) ___________(max 5) Решение новых задач ____________________(max 5) Рефлексия _____ (выбери букву) 3. 4. 5. 6. Всего баллов:______ ( max 25) D Приложение 2 C На уроке мне было интересно, все понятно, я активно  участвовал в решении и составлении задач На уроке было понятно объяснение учителя, сам я  затрудняюсь в самостоятельном решении задач B A На уроке было не интересно, много сложного и  непонятного Мне все равно